[include(틀:정수론)] [include(틀:약수의 합에 따른 자연수의 분류)] [목차] == 수학에서 완전수 == === 개요 === '''完全數''' ''Perfect number'' 완전수란, 자기 자신을 제외한 약수(진약수)들의 합이 자기 자신이 되는 수를 말한다. 예를 들어, 6의 약수는 자기 자신인 6을 제외한 1, 2, 3이고 진약수들의 합은 1 + 2 + 3 = 6, 즉 자기 자신이므로 6은 완전수이다. 수학적으로 표현하자면, 다음 식을 만족시키는 자연수 [math(n)]을 완전수라고 한다. 여기서 [math(\sigma_1(n))]은 [[약수 함수]](divisor function)이다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\sigma_1(n)=2n)]}}} [[6]], [[28]], [[496]], [[8128]] 등이 있다. 이러한 규칙성에 따라 다섯 번째로 6으로 끝나는 5자리 완전수가 존재할 것이라 예상되었으나 다음 완전수는 33550336이다. 6으로 끝나긴 하지만 8자리. 6번째 완전수는 8589869056으로 6, 8이 교대해서 나타날 것이라는 예측도 빗나갔다. 조금 더 확장하면, 짝수 완전수의 마지막 수는 6 또는 28로 나타남이 증명되어 있다. 현재까지 알려진 짝수 완전수들은 [math(2^{n-1}(2^n-1) )]의 형태로 존재하며, [math(2^n-1)]이 소수인 경우에 완전수가 된다.[* [math(2^n-1)]이 소수가 아닐 경우 해당 수는 [[과잉수]]가 된다.][*2 왜냐하면, 짝수 완전수는 계속 반으로 쪼개다보면 결국 메르센 소수가 나오는데, 이 소수와 대응하는 수를 만들기 위해서는 '2의 거듭제곱 - 1'이 필요하기 때문이다.] 이 때, 이 소수인 [math(2^n-1)]을 [[메르센 소수]]라 한다. 레온하르트 오일러는 모든 짝수 완전수가 위의 형태임을 증명했으며, 따라서 메르센 소수와 짝수 완전수는 일대일 대응이다.[* 오일러가 처음 증명했으니 증명이 무지하게 어려울 거라고 생각하기 쉬운데, 의외로 그다지 어렵지 않으므로 완전수에 관심 있는 위키러는 한 번 연습삼아 시도해보자.] 메르센 소수의 수가 유한한지 무한한지는 알려져 있지 않으므로 짝수 완전수의 유,무한 여부도 알려져 있지 않다. 또한 홀수 완전수가 존재하는지 존재하지 않는지도 알려져 있지 않다. 그러나 만약 홀수 완전수가 존재한다면, 그 수는 최소한 10^^1500^^ 이상인 것으로 알려져 있다. [[http://navercast.naver.com/science/math/127|관련링크(끝부분)]] 또한 모든 완전수는 [[삼각수]]다. === 완전수의 예 === * [[6]] = 1 + 2 + 3 = 1 + 2 + 3 = 2^^3^^-2^^1^^ * [[28]] = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 1 + 2 + 3 + ... + 6 + 7 = 2^^5^^-2^^2^^ * [[496]] = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 1 + 2 + 3 + ... + 30 + 31 = 2^^9^^-2^^4^^ * [[8128]] = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064 = 1 + 2 + 3 + ... + 126 + 127 = 2^^13^^-2^^6^^ {{{#!folding [더 보기 · 접기 ] * 33,550,336 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1024 + 2048 + 4096 + 8191 + 16382 + 32764 + 65528 + 131056 + 262112 + 524224 + 1048448 + 2096896 + 4193792 + 8387584 + 16775168 = 1 + 2 + 3 + ... + 8190 + 8191 = 2^^25^^-2^^12^^ * 8,589,869,056 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1,024 + 2,048 + 4,096 + 8,192 + 16,384 + 32,768 + 65,536 + 131,071 + 262,142 + 524,284 + 1,048,568 + 2,097,136 + 4,194,272 + 8,388,544 + 16,777,088 + 33,554,176 + 67,108,352 + 134,216,704 + 268,433,408 + 536,866,816 + 1,073,733,632 + 2,147,467,264 + 4,294,934,528 * 137,438,691,328 = 2^^18^^×524287 * 2,305,843,008,139,952,128 = 2^^30^^×2147483647 * 2,658,455,991,569,831,744,654,692,615,953,842,176 * 191,561,942,608,236,107,294,793,378,084,303,638,130,997,321,548,169,216 * 13,164,036,458,569,648,337,239,753,460,458,722,910,223,472,318,386,943,117,783,728,128 * 14,474,011,154,664,524,427,946,373,126,085,988,481,573,677,491,474,835,889,066,354,349,131,199,152,128 * 23,562,723,457,267,347,065,789,548,996,709,904,988,477,547,858,392,600,710,143,027,597,506,337,283,178,622,239,730,365,539,602,600,561,360,255,566,462,503,270,175,052,892,578,043,215,543,382,498,428,777,152,427,010,394,496,918,664,028,644,534,128,033,831,439,790,236,838,624,033,171,435,922,356,643,219,703,101,720,713,163,527,487,298,747,400,647,801,939,587,165,936,401,087,419,375,649,057,918,549,492,160,555,646 (무려 '''314자리 수'''이다.) * 54,162,526,284,365,847,412,654,465,374,391,316,140,856,490,539,031,695,784,603,920,818,387,206,994,158,534,859,198,999,921,056,719,921,919,057,390,080,263,646,159,280,013,827,605,439,746,262,788,903,057,303,445,505,827,028,395,139,475,207,769,044,924,431,494,861,729,435,113,126,280,837,904,930,462,740,681,717,960,465,867,348,720,992,572,190,569,465,545,299,629,919,823,431,031,092,624,244,463,547,789,635,441,481,391,719,816,441,605,586,788,092,147,886,677,321,398,756,661,624,714,551,726,964,302,217,554,281,784,254,817,319,611,951,659,855,553,573,937,788,923,405,146,222,324,506,715,979,193,757,372,820,860,878,214,322,052,227,584,537,552,897,476,256,179,395,176,624,426,314,480,313,446,935,085,203,657,584,798,247,536,021,172,880,403,783,048,602,873,621,259,313,789,994,900,336,673,941,503,747,224,966,984,028,240,806,042,108,690,077,670,395,259,231,894,666,273,615,212,775,603,535,764,707,952,250,173,858,305,171,028,603,021,234,896,647,851,363,949,928,904,973,292,145,107,505,979,911,456,221,519,899,345,764,984,291,328 (무려 '''770자리 수'''이다!)}}} === 홀수 완전수? === [[메르센 소수]]가 짝수 완전수와 일대일 대응함을 레온하르트 오일러가 증명했으나, 홀수 완전수는 존재하는지조차 알려지지 않았다. 홀수 완전수가 존재한다면 다음 조건을 만족해야 함이 알려져 있다. * [math(10^{1500})] 이상이다.[* 컴퓨터로 모조리 뒤졌다.] * 어떤 소인수는 [math(10^8)] 이상이다.[* [math(10^8)] 미만의 모든 소수 조합을 모조리 뒤졌다.] * 101개 이상의 소수의 곱이며[* 100개 소수 곱으로 표현 가능한 조합 패턴을 모조리 뒤졌다.] 소인수의 개수는 9개 이상이다.[* 소인수 8개인 경우를 패턴화하여 모조리 뒤졌다.] 한편, 간단한 증명을 통해 다음 조건을 만족해야 함을 알 수 있다. * [math(p^{4m-3}n^2)]의 꼴로 나타낼 수 있다. 이 때, [math(p)]는 4로 나눈 나머지가 1인 소수이고, [math(m)]은 자연수이며, [math(n)]은 [math(p)]와 [[서로소]]이고 소인수의 개수가 8개 이상인[* 여기만 증명이 --귀찮--어렵다.] 홀수다. 현재 수학자들은 홀수 완전수가 없을 것으로 추측하고 있다.[* 위 방법들을 확장해 조합에 들어가는 가짓수를 늘린 뒤 증명하는 건 어렵지 않아 보이는데, 가짓수 자체가 무한해서 노가다로 방법이 없다. 어떤 의미에서 1900년 초의 [[페르마의 마지막 정리]]와 비슷한 상태. --[[앤드루 와일즈|90년 뒤에 풀릴 모양이다.]]--] 홀수 완전수가 되기 위해 필요한 조건들이 너무나도 까다롭기 때문. 1888년, 수학자 실베스터(Sylvester)는 다음과 같은 말을 남겼다. > ...a prolonged meditation on the subject has satisfied me that the existence of any one such '''odd perfect number''' — its escape, so to say, from the complex web of conditions which hem it in on all sides — would be little short of a '''miracle'''. > ----- > 이에 대한 기나긴 명상 끝에 나는 확신했다. '''홀수 완전수'''가 존재한다면 — 모든 방향에서 빈틈없이 감싸는 복잡한 조건들의 그물을 모두 헤치고 빠져나올 수 있다면 — 그것은 거의 '''기적'''이나 마찬가지라고. === 반완전수 === 半完全數, Semiperfect number 완전수가 아니지만 진약수의 일부만을 더하면 자기 자신이 되는 수를 말한다. 유사완전수(pseudoperfect number) --짝퉁완전수--라고도 한다. 대표적으로 [[20]]이 있다. 20의 진약수들을 모두 더하면 1+2+4+5+10=22이므로 20은 [[과잉수]]이지만, 2를 제외한 나머지 진약수들을 더할경우 20(=1+4+5+10)이 되기 때문이다. 반대로, 어떤 진약수들로도 더해서 자기 자신을 만들 수 없는 수는 괴짜수(weird number)라고 한다. 당연히 모든 반완전수는 [[과잉수]][* 진약수들의 합이 자기 자신보다 큰 수]이며, 완전수의 배수는 모두 반완전수이다.[* 예를 들면 [math(6a)]([math(a)]는 1보다 큰 정수)의 경우 [math(a+2a+3a=6a)]이므로 반완전수다.] 그리고 어떤 반완전수는 진약수들의 합으로 표현할 수 있는 방법이 한두 가지밖에 없는 경우도 있지만, 진약수의 일부의 합으로 자기자신이 되도록 하는 방법이 3가지 이상인 것도 있다. 반완전수들의 예시는 다음과 같다. 참고로, 제외할 양의 약수는 취소선으로 표시했다. 또한, 두 가지 이상으로 표시 가능하다면 그중에서 몇 개만 예시로 들어서 표현했다. * 12 = 1 + 2 + 3 --+ 4-- + 6 = --1 +-- 2 + --3 +-- 4 + 6 *18 = --1 + 2 +-- 3 + 6 + 9 *24 = --1 + 2 + 3 +-- 4 + --6 +-- 8 + 12 *30 = 1 + --2 +-- 3 + 5 + 6 + --10 +-- 15 = --1 + 2 + 3 +-- 5 + --6 +-- 10 + 15 *36 = --1 + 2 + 3 + 4 +-- 6 + --9 +-- 12 + 18 = --1 +-- 2 + --3 +-- 4 + --6 + 9 +-- 12 + 18 = 1 + 2 + 3 + --4 + 6 + 9 +-- 12 + 18 = --1 + 2 +-- 3 + --4 +-- 6 + 9 + --12 +-- 18 = 1 + 2 + --3 + 4 +-- 6 + 9 + --12 +-- 18 = --1 +-- 2 + 3 + 4 + --6 +-- 9 + --12 +-- 18 = --1 +-- 2 + 3 + 4 + 6 + 9 + 12 --+ 18-- *42 = --1 + 2 + 3 + 6 +-- 7 + 14 + 21 *88 = 1 + 2 + --4 +-- 8 + 11 + 22 + 44 홀수인 반완전수 중 제일 작은 수는 [[945]]이다.[* 945는 가장 작은 홀수 과잉수이기도 하다.] 945 = 1 + 3 + 5 + 7 + --9 +-- 15 + --21 +-- 27 + 35 + 45 + 63 + 105 + 135 + 189 + 315가 되어 반완전수의 조건을 만족한다. ==== 괴짜수 ==== 아이러니하게도, 사실 과잉수 중 반완전수가 아닌 수를 찾기가 더 힘들다. 이러한 수를 weird number(괴짜수, 번역하기에 따라 '운명수'라고도 한다.)라고 하는데, 1만 이하의 수 중 딱 7개 존재한다.[* [[70]], [[836]], 4030, 5830, 7192, 7912, 9272] 제일 작은 수는 [[70]][* 70의 약수는 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70으로, 70을 제외한 약수의 합은 74이다. 하지만 위 약수들 중 어떤 조합을 제외해도 합이 70이 되도록 할 수는 없다. 5 이상의 수는 아예 뺄 수 없고, 나머지는 1, 2 뿐이어서 둘 모두를 빼도 71이기 때문.]. 단지, [math(n)]이 괴짜수인 경우 [math(n)]의 약수의 합보다 큰 소수 [math(p)]에 대해 [math(pn)]이 괴짜수가 되는 성질 때문에, 1만 이상에서는 [math(70p)]([math(p)]는 144보다 큰 모든 [[소수(수론)|소수]])로 인해 갑자기 빈도가 확 늘어난다. 물론 그렇다 해도 빈도가 1%를 넘지 않고, 이는 과잉수의 비율인 25%에 한참 못 미친다. 또한 다른 괴짜수에 의해 이러한 형태로 표현되지 않는 괴짜수는 primitive weird number(원시괴짜수)라고 하며, 백만 이하의 수 중 딱 24개 존재한다. 참고로 현재까지 알려진 괴짜수는 모두 짝수이며, 홀수 괴짜수가 존재하는지는 알려지지 않았다. === 준완전수 === 진약수들의 합이 자기 자신이 되지는 않지만 자기 자신의 값과 매우 비슷한 수들을 준완전수라고 부르기도 한다. 그러나 수학적인 의미에서의 준완전수(quasiperfect number)는 보통 진약수의 합이 자기 자신보다 1 큰 수를 가리키는데, 그 이유는 자명하지 않은 약수[* 모든 자연수는 1과 자기 자신을 약수로 가지며, 이 둘을 제외한 약수는 자명하지 않은 약수이다.]의 합이 자기 자신이 된다는 의미를 부여할 수 있기 때문이다. 그러나 정의가 무색하게도 현재까지 알려진 준완전수는 '''없다'''. 홀수 완전수 문제와 마찬가지로 정말로 존재하지 않는지 아닌지도 알려져 있지 않다. 해당 문제와 나란히 유클리드 시대에 발견된 이후 정수론 분야에서 제일 오래 된 미해결 문제 중 하나. ==== Abundance ==== 일반적으로 진약수의 합에서 자기 자신을 뺀 수를 abundance라고 한다.[* 우리말로 할 경우 과잉값 혹은 과잉도 정도로 번역될 수 있다. --어번던수--] 이 수가 양수이면 과잉수, 0이면 완전수, 음수이면 부족수가 된다. 준완전수는 abundance가 1인 수라고 할 수 있는데 사실 이 abundance가 1을 비롯한 홀수가 되는 경우는 상당히 드물다. 어떤 수 [math(n)]의 abundance가 홀수가 되기 위해서는 [math(n)]이 제곱수이거나 제곱수와 2의 곱이어야 한다. 그러나 2의 제곱수의 진약수의 합은 항상 자기 자신보다 1 작으므로, abundance가 -1이 아닌 홀수인 수는 반드시 3이상의 홀수의 제곱을 인수로 가져야 하고, 자연수 전체에서 그러한 수의 비율은 매우 낮기 때문이다. 1 이외에도 abundance가 해당 값이 되는 수가 없는 것처럼 보이는 홀수들은 상당히 많으며, 단 하나만 있는 것처럼 보이는 수들이 또한 나머지 중 거의 대부분을 차지한다. 예컨대 18은 abundance가 3인데, abundance가 3인 수는 18 외에는 알려져 있지 않다. -100~100 사이의 100개 홀수 중에서 해당 값을 abundance로 가지는 자연수 [math(n)]의 개수가 0인 수(즉, 해당 값을 만족하는 알려진 [math(n)]이 없는 수)가 무려 75개, 1개뿐인 수가 22개, 2개인 수가 2개 뿐이다. 유일한 예외는 -1[* 상술했다시피 모든 2의 제곱수가 해당한다.]. 반면, 짝수라면 상대적으로 홀수보다 빈도가 높아진다. -100~100 사이에서 75%가 0개인 홀수와 달리, 알려진 [math(n)]이 없는 짝수는 없다.[* 1개인 수는 종종 있다.][* 모든 짝수에 대해 이러한 [math(n)]이 있는지는 알려지지 않았다.~~사실 홀수도 알려지지 않았다.~~ 이를 흔히 강한 골드바흐 추측(8 이상의 모든 짝수는 '''서로 다른''' 두 소수의 합으로 표현된다는, 볼드체 부분이 없는 원래 골드바흐 추측보다 조금 더 강한 조건의 추측. 당연하지만 아직 증명되지 않았다.)과 연결된 문제라고 착각하는데, 해당 문제는 진약수의 합의 값의 존재성에 관련된 것이며, 이 문제와는 다르다. [[불가촉 수]] 문서 참고.] 특히 [math(n)]이 완전수인 경우, [math(n)]과 서로소인 임의의 소수 [math(p)]에 대해 [math(pn)]의 abundance는 [math(p)]의 값에 상관없이 항상 [math(2n)]이 된다. 즉, 임의의 완전수 [math(n)]에 대하여 [math(2n)]을 자신의 abundance로 가지는 수는 무한히 존재한다. 그것도, 마찬가지로 무한히 존재함을 쉽게 증명할 수 있는 -1보다 훨씬 높은 빈도로. 그리고 [math(n)]이 과잉수라면 [math(n)]과 서로소인 임의의 소수 [math(p)]에 대하여 [math(pn)]의 abundance는 [math(n)]의 abundance와 [math(p)]의 값을 곱한 값에 [math(n)]의 약수의 합을 더한 수이고, 만일 [math(n)]이 부족수라면 [math(n)]의 약수의 합을 abundance의 [[역원#s-2.1|덧셈 역원]]으로 나눈 값보다 큰 소수 [math(p)]에 대하여 [math(pn)]이 부족수가 된다는 성질을 가지고 있다. 참고로, 존재가 알려지지 않은 수 중 절대값이 제일 작은 짝수는 1870이다.[* 주어진 홀수 [math(n)]에 대해 [math(2^k-n)]이 소수가 되는 [math(k)]가 존재할 경우, abundance가 [math(n-1)]이 되는 수가 존재함이 알려져 있다. [math(n)]은 홀수여야 하므로, 이 성질을 이용해 대부분의 짝수 케이스는 찾을 수 있다. 문제는 그러한 [math(k)]가 없는 [math(n)]이 종종 있다는 것과, 그 역은 성립하지 않는다는 것.] 홀수는 물론 준완전수가 되는 1. == 문화에서 완전수 == 특별한 의미를 가져 '완전해진 상태'로 여기는 수를 의미한다. 이런 경우, 종교나 문화에서 찾아 볼 수 있다. --근데 3과 7은 [[소수(수론)|소수]]이다.-- * 3: 동양에서 완전성을 상징한다고 여겨진 수. [[3대 요소]]가 여기에 해당한다. 서양에서는 [[삼위일체]]와 같은 형태로 나타난다. * 7: 성경에서, 여호와가 세상을 창조하고 난 후, 7일 째 휴식하였다. * 10: 현대에 가장 보편적으로 쓰이는 십진법, 사람의 손가락과 발가락의 개수. * 12: 12시간, 12개월 등 과거, 현재에도 시간의 단위로 쓰이고 완전수 취급을 받았던 수. 아이러니하게도 이렇게 된 이유가 약수가 많기 때문, 즉 과잉수이기 때문이다. === 불완전수 === 반대 개념으로 '불완전수'가 있다. 불완전수는 [[부족수]]와 [[과잉수]]로 분류된다. 대표적으로 [[6]]은 [[7]]에서 [[1]]이 부족한 '부족수'이며, [[13]]은 [[12]]에 [[1]]을 더한 '과잉수'이다. [[분류:정수론]][[분류:수]][[분류:수학 용어]][[분류:한자어]]