[include(틀:전자기학)] [목차] == 개요 == {{{+1 '''Ampère's law'''}}} [[앙드레 앙페르]](André-Marie Ampère;1775~1836)가 발견한 앙페르 법칙은 특정 경로의 [[자기장]]과 경로 내부의 알짜 전류의 관계에 대한 법칙이다. == 초기 이론 == 앙페르 법칙은 다음과 같이 수학적으로 나타난다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \oint_{C} \, \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l}=\mu_{0}\int_{S}\, \mathbf{J} \cdot d \mathbf{a}=\mu_{0}I_{\textrm{enc}} )] }}} 각각의 의미는 다음과 같다. [math(C)]는 임의의 폐곡선, [math(S)]는 그 폐곡선을 둘러싸는 임의의 곡면이다. 또한, [math(\mathbf{B})]는 자기장, [math(d \mathbf{l})]는 곡선의 미소 변위 벡터, [math(d \mathbf{a})]는 곡면의 미소 벡터 넓이를 나타내는 벡터이고, [math(\mathbf{J})]는 전류밀도, [math(\mu_{0})]는 진공에서의 투자율, [math(I_{\textrm{enc}})]는 잡은 폐곡선 [math(C)] 안을 통과하는 전류이다. 즉, 어떤 폐곡선과 수평한 방향의 [math(\mathbf{B})]의 성분은 그 폐곡면 안을 통과하는 전류에 비례한다는 것을 나타내는 수식이며, 쉽게 설명하면, '''전류가 자기장을 형성한다'''라는 것이다. 또한, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \oint \, \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l}=\mu_{0}\int\, \mathbf{J} \cdot d \mathbf{a} )] }}} 의 좌변에 [[스토크스 정리]]를 쓰면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \int \, (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B}) \cdot d\mathbf{a}=\int\, \mu_{0}\mathbf{J} \cdot d \mathbf{a} )] }}} 이므로 앙페르 법칙의 미분 형태의 표현 식을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B}= \mu_{0}\mathbf{J} )] }}} === 물질에서의 앙페르 법칙 === {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \int \mathbf{H} \cdot d \mathbf{l}=I_{f} \qquad \qquad \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{H}= \mathbf{J}_{f} )] }}} [include(틀:상세 내용, 문서명=자기장 세기, 문단=5)] === 관련 예제 === ==== 무한 원통 ==== 축이 [math(z)]위에 놓여있고, 반지름이 [math(R)]인 원통에 균일하고, [math(+\hat{\mathbf{z}})]방향의 정상 전류 [math(I)]가 흐르는 도체를 고려해보자. 원통 좌표계에서 생각했을 때, 자기장은 [math(\hat{\boldsymbol{\rho}},\,\hat{\boldsymbol{\phi}},\,\hat{\mathbf{z}})]방향으로 존재한다. 현재 문제에서는 [math(\phi,\,z)]에 대한 대칭성이 있으므로 자기장은 [math(\rho)]에만 의존할 것이다. 즉, 구하는 자기장은 아래의 꼴로 주어진다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \mathbf{B}(\rho)=B_{\rho}(\rho)\hat{\boldsymbol{\rho}}+B_{\phi}(\rho)\hat{\boldsymbol{\phi}}+B_{z}(\rho)\hat{\mathbf{z}} )] }}} [[파일:앙페르법칙_무한원통도선-02.png|width=230&align=center]] 우선 위 그림의 (가)처럼 반지름이 [math(\rho)]이고, 높이가 [math(L)]인 원기둥인 폐곡면을 잡는다. 자기에 관한 가우스 법칙에 따르면, 폐곡면 표면을 지나가는 총 선속(Flux)은 [math(0)]이 돼야하고, 자기장이 [math(\rho)]에만 의존하므로 윗면과 아랫면의 선속은 서로 상쇄된다. 따라서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \oint \, \mathbf{B} \cdot d \mathbf{a}=B_{\rho}(\rho)\cdot 2\pi RL=0 \,\rightarrow \,B_{\rho}(\rho)=0 )] }}} 이상에서 구하는 자기장의 [math(\hat{\boldsymbol{\rho}})] 성분은 없는 것을 알 수 있다. 또한, (나)처럼 직사각형의 폐곡선을 잡자. 폐곡선 안을 지나가는 전류는 없으므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \oint \, \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l}=0 )] }}} 을 만족해야하고, 자기장은 [math(\rho)]에만 의존 하므로 위의 선적분 결과는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \left[B_{z}(\rho_{1})-B_{z}(\rho_{2}) \right] \cdot L=0 \,\rightarrow \,B_{z}(\rho_{1})=B_{z}(\rho_{2}) )] }}} 이상에서 구하는 자기장의 [math(\hat{\mathbf{z}})]성분은 상수가 되어야 하나, 전류가 자기장을 만든다는 논의를 하고 있기 때문에 그 상수를 [math(0)]으로 놓는 것이 합당하다. 따라서 [math(\hat{\mathbf{z}})]성분 또한 없다. [[파일:앙페르법칙_무한원통도선-01.png|width=150&align=center]] 이번엔 위 그림과 같이 반지름 [math(\rho\,(\rho>R))]인 원을 폐곡선으로 잡자. 여기에 통과하는 전류는 [math(I_{\textrm{enc}}=I)]이므로 앙페르 법칙을 적용하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \oint \, \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l}=B_{\phi}(\rho) \cdot 2 \pi \rho=\mu_{0}I )] }}} 따라서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle B_{\phi}(\rho) =\frac{\mu_{0}}{2\pi}\frac{I}{\rho} \,\rightarrow \, \mathbf{B}=\frac{\mu_{0}}{2\pi}\frac{I}{\rho} \hat{\boldsymbol{\phi}}\,\,(\rho>R) )] }}} 가 된다. 이번엔, [math(\rho\,(\rho<R))]인 원을 폐곡선으로 잡자. 원통형 도선에 균일한 전류가 흐르므로 전류밀도는 [math(I/(\pi R^2))]이므로 폐곡선 안을 통과하는 전류는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle I_{\textrm{enc}}=\left ( \frac{I}{\pi R^2} \right ) \left ( \pi \rho^{2} \right )=\frac{\rho^{2}}{R^{2}}I )] }}} 이다. 따라서 앙페르 법칙을 적용하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \oint \, \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l}=B_{\phi}(\rho) \cdot 2 \pi \rho=\mu_{0}\left ( \frac{\rho^{2}}{R^{2}}I \right ) )] }}} 이상에서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle B_{\phi}(\rho) =\frac{\mu_{0}I}{2\pi R^2}\rho \,\rightarrow \, \mathbf{B}=\frac{\mu_{0}I}{2\pi R^2}\rho \hat{\boldsymbol{\phi}}\,\,(\rho<R) )] }}} 가 된다. 이상의 결과를 정리하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \mathbf{B}=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{\mu_{0}I}{2\pi R^2}\rho \hat{\boldsymbol{\phi}} & \quad (\rho<R)\\ \\ \displaystyle \frac{\mu_{0}}{2\pi}\frac{I}{\rho} \hat{\boldsymbol{\phi}}& \quad (\rho>R)\end{array}\right. )] }}} 임을 알 수 있다. 특히나, [math(\rho>R)]인 경우는 [[비오-사바르 법칙]]을 이용하여 구했던 무한 도선이 만드는 자기장의 결과와 같은 것을 알 수 있다. ==== 무한 평면 ==== [[파일:나무_무한 평면-01.png|width=220&align=center]] 위 그림과 같이 [math(xy)]평면에 놓여있는 아주 넓고, 얇은 전도성 도체판에 표면 전류 밀도 [math(\mathbf{K}=K\hat{\mathbf{y}})]로 전류가 흐를 때, 자기장을 구해보자. 위 문제에선 [math(x,\,y)]에 대한 대칭성 때문에 자기장은 [math(z)]에만 의존하므로 다음과 같이 주어진다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \mathbf{B}(z)=B_{x}(z)\hat{\mathbf{x}}+B_{y}(z)\hat{\mathbf{y}}+B_{z}(z)\hat{\mathbf{z}} )] }}} 또, 장의 대칭성 때문에 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle B_{x}(z)=-B_{x}(-z)\\ B_{y}(z)=B_{y}(-z) \\ \displaystyle B_{z}(z)=-B_{z}(-z)\end{array}\right. )] }}} 다음과 같이 윗면과 아랫면의 면적이 [math(S)], 높이가 [math(2z)]인 원기둥을 폐곡면으로 잡자. [[파일:나무_무한 평면-02_수정_수정.png|width=225&align=center]] 이때, 자기장이 [math(z)]에만 의존하므로 원기둥의 옆면을 통과하는 선속은 없다.[* 이 부분이 이해가 안되는 위키러는 적당한 벡터를 두어 직접 옆면에 대해 면적분을 해보아라.] 폐곡면에 대한 총 선속은 [math(0)]이 되어야 하므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \oint \, \mathbf{B} \cdot d \mathbf{a}=\left[B_{z}(z)-B_{z}(-z) \right]\cdot S=0 \,\rightarrow \,B_{z}(z)=B_{z}(-z) )] }}} 가 된다. 그런데 위에서 [math(B_{z}(z)=-B_{z}(-z))] 또한 만족해야 하는데, 이 두 조건을 동시에 만족하기 위해선 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle B_{z}(z)=0 )] }}} 즉, 구하는 자기장의 [math(z)]성분은 없다는 것을 알 수 있다. 이번엔 앙페르 법칙을 이용하기 위해, 다음과 같이 가로와 세로 길이가 각각 [math(a,\,2z)]인 직사각형을 폐곡선을 잡는다. [[파일:나무_무한 평면-03_재수정.png|width=225&align=center]] 우선 ①과 같이 폐곡선 안에 전류가 들어오지 않게끔 [math(\mathbf{K})]와 평행한 방향으로 잡은 경우를 생각해보자. 구하는 자기장은 [math(z)]에만 의존하므로 세로 부분에 대한 적분은 상쇄된다. 또한, 폐곡선안으로 유입되는 전류가 없으므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \oint \, \mathbf{B} \cdot d \mathbf{l}=\left[B_{y}(z)-B_{y}(-z) \right]\cdot a=0 \,\rightarrow \,B_{y}(z)=B_{y}(-z) )] }}} 가 된다. 그런데 이것은 아까 대칭성에서 도출됐던 조건이다. 따라서 구하는 자기장의 [math(y)]성분은 상수가 되어야함을 알 수 있다. 그러나, 위 문단에서도 논의했듯, 전류가 자기장을 만드것을 논의하고 있으므로 그 상수를 0으로 놓는 것이 합당하다. 따라서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle B_{y}(z)=0 )] }}} 즉, 구하는 자기장의 [math(y)]성분은 없다는 것을 알 수 있다. 다음으로, ②와 같이 폐곡선 안에 전류가 유입되게 폐곡선을 잡는다. 이때, 방향은 [math(\mathbf{K})]와 직교하는 방향이다. 마찬가지로 구하는 자기장은 [math(z)]에만 의존하므로 세로 부분에 대한 적분은 상쇄된다. 또, 폐곡선 안에 유입되는 전류는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle I_{\text{enc}}=Ka )] }}} 이므로, 앙페르 법칙을 적용하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \displaystyle \oint \, \mathbf{B} \cdot d \mathbf{l}=\left[B_{x}(z)-B_{x}(-z) \right]\cdot a=\mu_{0}Ka \,\rightarrow \,B_{x}(z)-B_{x}(-z)=\mu_{0}K )] }}} 그런데 위에서 대칭성에 의해 [math(B_{x}(z)=-B_{x}(-z))] 또한 만족해야 함을 도출했으므로 두 식을 연립함으로써 다음을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle B_{x}(z)=\frac{\mu_{0}K}{2} )] }}} 좀 더 자세히 쓰면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \mathbf{B}=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{\mu_{0}K}{2}\hat{\mathbf{x}}&\qquad(z>0)\\ \\ \displaystyle -\frac{\mu_{0}K}{2}\hat{\mathbf{x}}&\qquad(z<0)\end{array}\right. )] }}} 로 쓸 수 있고, 이것은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \mathbf{B}=\frac{\mu_{0}}{2}(\mathbf{K} \times \hat{\mathbf{n}}) )] }}} 로도 쓸 수 있다. [math(\hat{\mathbf{n}})]은 각 영역에서 도체판 표면의 법선 벡터이다. 여담으로 이 결과는 [[비오-사바르 법칙]]으로도 도출해낼 수 있다. 맨 위 그림에서 미소 길이 [math(dx)]에 흐르는 미소 전류 [math(dI=K\,dx)]는 무한 직선 도선에 전류가 흐르는 것과 같이 취급할 수 있음을 이용하면 된다. == [[제임스 클러크 맥스웰|맥스웰]]의 수정 == 거시적인 전자기장의 방정식은 아래의 네 가지로 나타낼 수 있다. 식에 대한 자세한 설명은 [[맥스웰 방정식]]을 참고하는 것을 권한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{D}&= \rho_{f} \\ \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{B}&=0 \\ \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E}&=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \\ \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{H}&= \mathbf{J}_{f} \end{aligned} )] }}} [[맥스웰]]이 수정을 거치기 전 까지 당대의 사람들은 거시적인 전자기장의 모습은 위와 같은 네 식으로 표현할 수 있다고 믿었다. 그러나, [[제임스 클러크 맥스웰|맥스웰]]은 마지막 식인 앙페르 법칙에 모순이 있다는 것을 아래와 같이 발견하게 된다. 마지막 식에 발산 연산을 하면, 좌변의 경우 회전을 취하고, 발산을 취했으므로 0이 돼야 한다. 즉, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \cdot ( \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{H})=0 )] }}} 그런데 우변의 경우엔 연속 방정식에 의해 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{J}_{f}=-\frac{\partial \rho_{f}}{\partial t} )] }}} 를 만족한다. 그런데 [math(\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{J}_{f}=0)]을 만족하는 경우는 정상 전류(Steady current)일 때만 가능하고, 일반적으로는 정상 전류가 아닌 경우가 많다. 즉, 일반적으로는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{J}_{f} \neq 0)] }}} 이다. 즉, 벡터해석학적(수학적)으로 접근했을 때와 전자기학적으로 접근했을 때, 등식이 성립되지 않는 것이다. 이때, [[제임스 클러크 맥스웰|맥스웰]]은 [[가우스 법칙]]인 맨 위의 식을 활용하여 이 식을 수정하게 되는데, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{J}_{f}=-\frac{\partial }{\partial t}(\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{D}) )] }}} 발산 연산과 시간 미분은 독립적이므로 아래와 같이 처리하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{J}_{f}=\boldsymbol{\nabla} \cdot \left( -\frac{\partial \mathbf{D} }{\partial t} \right) \rightarrow \boldsymbol{\nabla} \cdot \left( \mathbf{J}_{f}+\frac{\partial \mathbf{D} }{\partial t} \right)=0 )] }}} 을 만족하게 되고, 이상에서 아래와 같이 앙페르 법칙을 수정하게 되면, 벡터해석학적으로도, 전자기학적으로도 모순이 없는 식으로 다시 나오게 된다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{H}= \mathbf{J}_{f}+\frac{\partial \mathbf{D} }{\partial t} )] }}} 이렇게 수정된 식을 '''앙페르-맥스웰 법칙'''이라 하기도 한다. 이것을 기초로 하여, [[제임스 클러크 맥스웰|맥스웰]]은 전자기 진동 방정식을 유도하였고, 전자기파의 존재를 수학적으로 증명하기에 이른다. 또한, 추가된 항은 변위 전류와 관계있으며, 자세한 내용은 [[전자기파]] 문서를 참조하라. == 관련 문서 == * [[물리학 관련 정보]] * [[자기장]] * [[맥스웰 방정식]] [[분류:물리학]][[분류:전자기학]]