[[분류:수학 용어]][[분류:나무위키 수학 프로젝트]] [목차] == 개요 == [[가우스 정수]]와 비슷하며, 두 정수 a, b 에 대해서 [math( a + b\omega )] 로 표현되는 수이다. 여기서 [math(\omega)] 는 [[1의 거듭제곱근/세제곱근|[math(\omega^3 = 1)]]] 또는 [math({\omega}^2 + \omega + 1 = 0)]의 허근 중 한 값이며, 정확하게는 [math(\displaystyle \omega = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt 3}{2}i = e^{i\cdot{2\pi}/{3}})] 이다. 수학자 [[고트홀트 아이젠슈타인]]에 의해 연구되었고, 이 사람의 이름이 붙었다. == 상세 == 아이젠슈타인 정수 전체의 집합은 기호로 보통 [math(\mathbb{Z}[\omega])]로 나타낸다. 이 집합은 덧셈군, 그리고 곱셈에 대한 항등원 [math(1)]을 가지는 [[환(대수학)|가환환]]을 이룬다. 또한, 유클리드 정역(ED)이고, 주 아이디얼 정역(단항 이데알 정역, PID)이며, 유일 인수분해 정역(UFD)이다. [[가우스 정수]]와 특성이 유사하다. [[복소평면]]상에서는 [[https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Eisenstein%27s_integer_numbers.svg|삼각형 격자]]를 그린다. == 아이젠슈타인 소수 == 아이젠슈타인 정수는 유일 인수분해 정역(UFD)이며, 다시 말해 아이젠슈타인 소수로 '''유일하게''' 소인수 분해가 가능하다. 가우스 정수와 마찬가지로 자연수에서는 소수이지만 아이젠슈타인 소수는 아닌 경우가 나오는데, 예를 들어 자연수에서는 7은 소수이지만, 한편으로는 [math(7 = (3 + ω)(2 − ω))]으로 분해가 가능하기에 아이젠슈타인 소수는 아니다. == [[페르마의 마지막 정리]]와의 연관성 == 이 아이젠슈타인 정수는 뜬금 없이 [[페르마의 마지막 정리]]와도 연결이 된다. n = 3 인 경우에 대한 식 [math(x^3 + y^3 = z^3)] 에 대해서 이 식은 3차 단위근 [math( \omega = e^{2 \pi i / 3})] 을 동원해 다음과 같이 인수분해된다. [math(\left(x + y\right)\left(x + \omega y\right)\left(x + {\omega}^2 y\right) = z^3)] 그러므로, 아이젠슈타인 정수에 대해서 파고 들면 FLT 의 n=3 인 경우에 대해서 해결이 가능하다. 좀더 자세한 내용은 [[대수적 정수론]] 문서 참조.