[include(틀:초등함수의 목록)] [목차] == 개요 == {{{+1 hyperbolic function ・ [[雙]][[曲]][[線]] [[函]][[數]]}}} '''쌍곡선 함수'''는 [[삼각함수]]가 원과 연관된다면 쌍곡선 함수는 [[쌍곡선]]과 연관된다는 특징이 있다. [[삼각함수]]와 매우 유사한 성질을 띠며, 둘 다 미분방정식, 함수 이론에서 쓰인다는 점도 비슷하다는 특징이 있다. == 상세 == [[삼각함수]]는 원과 관련있는 함수이다. 즉, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\begin{cases}x=\cos t \\ y=\sin t\end{cases})]}}} 로 매개변수화를 하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(x^2+y^2=\cos^2t+\sin^2t=1)]}}} 이 되므로 [math(xy)]평면 상 중심이 원점인 단위원이 나오게 된다. 이와 유사한 방법으로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\begin{cases}x=\cosh t \\ y=\sinh t\end{cases})]}}} 로 매개변수화를 하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(x^2-y^2=\cosh^2t-\sinh^2t=1)]}}} 이 되므로 [[쌍곡선]]의 방정식이 나온다. 바로 이 점 때문에 이 함수들을 쌍곡선 함수라 부르는 것이다. 그래프 상에서 삼각함수와 쌍곡선 함수가 어떻게 정의되는 지 보고자 한다. [[파일:나무_삼각함수_쌍곡선함수_비교.png|width=400&align=center]] 삼각함수는 위의 (a)와 같이 중심이 원점인 단위원 [math(x^2+y^2=1)]위의 한 점에 대하여 부채꼴 [math(\mathrm{OAP})]의 넓이가 [math(\theta/2)]가 되게하는 점 [math(\mathrm{P})]에 대하여 해당 점의 [math(x)]좌표와 [math(y)]좌표를 각각 [math(\cos{\theta})], [math(\sin{\theta})]로 정의한다. 한편, 쌍곡선 함수는 위의 (b)와 같이 쌍곡선 [math(x^2-y^2=1)]과 그 위의 한 점 [math(\mathrm{P})]에 대하여 원점과 [math(\mathrm{P})]를 지나는 직선과 [math(x)]축, 쌍곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이가 [math(a/2)]가 될 때, 점 [math(\mathrm{P})]에 대하여 해당 점의 [math(x)]좌표와 [math(y)]좌표를 각각 [math(\cosh{a})], [math(\sinh{a})]로 정의한다. 이렇듯, [[삼각함수]]와 유사한 특징이 많은 함수이지만, 결정적으로 '''쌍곡선 함수는 주기함수가 아니라는 차이점이 있다.''' == 정의 == === 기본형 === {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\begin{aligned} \sinh x &\equiv \dfrac{e^x-e^{-x}}2 \\ \cosh x &\equiv \dfrac{e^x+e^{-x}}2 \\ \tanh x &\equiv \dfrac{\sinh x}{\cosh x} = \dfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \end{aligned} )]}}} [math(\sinh)], [math(\cosh)], [math(\tanh)]의 정식 명칭은 '쌍곡선의(hyperbolic)'라는 단어를 각 삼각함수의 명칭 앞에 붙인 표현, 즉 'Hyperbolic sine', 'Hyperbolic cosine', 'Hyperbolic tangent'이다.[* hyperbolic을 의미하는 [math(\rm h)]가 뒤쪽에 붙어있기 때문에 한국에서는 '싸인 하이퍼볼릭' 혹은 그냥 '싸인 에이치'라고 하기도 한다.] 영어권에서는 발음이 길어지는 문제가 있어 다음과 같은 명칭이 통용되기도 한다. * [math(\sinh)]: 샤인(/ʃaɪn/), 신치(/sɪntʃ/) * [math(\cosh)]: 코샤인(/koʃaɪn/), 코시(/koʊʃ/) * [math(\tanh)]: 쌘(/θæn/), 탠치(/tæntʃ/) 각 함수의 그래프는 아래와 같다. ||<width=155px> [[파일:나무_sinhx_그래프_수정.png|width=100%&align=center]] ||<width=155px> [[파일:나무_coshx_그래프_수정.png|width=100%&align=center]] ||<width=155px> [[파일:나무_tanhx_그래프_수정.png|width=100%&align=center]] || ||<table align=center><table bgcolor=#ffffff><rowbgcolor=#efefef,#555555> [math(y=\sinh x)] || [math(y=\cosh x)] || [math(y=\tanh x)] || 위에서 볼 수 있듯, [math(\sinh x)], [math(\tanh x)]는 [[대칭함수|기함수]], [math(\cosh x)]는 [[대칭함수|우함수]]임을 알 수 있다. 또한, [math(\cosh x)]는 점 [math((0,\,1))]을 지남을 알 수 있고, [math(\tanh x)]는 점근선으로 [math(y = \pm 1)]을 가짐을 알 수 있다. [math(\tanh x)]는 [[오차함수|[math(\mathrm{erf}(x))]]]와 개형이 비슷하다.[*비교 [[파일:namu_compare_erf_tanh_new.png|width=250]]] [[https://core.ac.uk/download/pdf/82669741.pdf|아예 이걸로 논문을 쓰기도 했다!]] [math(\cosh x)]는 [[현수선]](Catenary)의 방정식이라고도 한다. 실의 양 끝을 팽팽하지 않게 고정시켜 늘어뜨렸을 때의 형태를 현수선이라고 하는데, 이 방정식의 일반항이 [math(\displaystyle \begin{aligned} a\cosh{\left( \frac{x}{a} \right)}=\frac{a}{2}(e^{x/a}+e^{-x/a}) \end{aligned} )]이다. [math(a=1)]일 때 [math(\cosh x)]가 나온다. === 역수형 === 이 함수들은 기본형에 역수를 취한 함수이다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\begin{aligned} \coth x &\equiv \dfrac1{\tanh x} \\ \mathrm{sech}\,x &\equiv \dfrac1{\cosh x} \\ \mathrm{csch}\,x &\equiv \dfrac1{\sinh x} \end{aligned} )]}}} [math(\coth)], [math(\mathrm{sech})], [math(\mathrm{csch})]는 각각 'Hyperbolic cotangent', 'Hyperbolic secant', 'Hyperbolic cosecant'라 읽는다. 기본형의 함수들과 마찬가지로, 영어권에서는 발음의 편의상 다음 명칭이 통용되기도 한다. * [math(\coth)]: 코쓰(/koʊθ/) * [math(\mathrm{sech})]: 셰크(/ʃɛk/), 세치(/sɛtʃ/) * [math(\mathrm{csch})]: 코셰크(/koʊʃɛk/), 코세치(/koʊsɛtʃ/) [math(\mathrm{sech})]은 따로 '[[오일러 수열]] 함수'라고 하기도 한다. 또한 [[정규 분포]] 그래프와 개형이 비슷하다. === 역함수 === 이 함수들은 기본형과 역수형의 역함수들이다. 쌍곡선 [math(x^2-y^2=1)]과 직선 [math(y=(\tanh a)x)], [math(x)]축으로 둘러싸인 도형[* 즉 가로, 세로의 길이가 [math(\cosh a)], [math(\sinh a)]인 직각삼각형의 넓이에서 [math(\displaystyle\int_1^{\cosh a}\sqrt{x^2-1}\,\mathrm dx)]를 뺀 값의 2배]의 넓이(area)가 [math(a)]라는 특징으로부터, 이들 역함수에는 접두사 [math(\rm ar)]-을 붙여 쓰는 것이 정식 표기이고, 따라서 이 표기에서 각 함수의 정식 명칭은 'Area Hyperbolic ~'이다. 그런데, 쌍곡선 함수가 삼각함수와 유사하기 때문인지 [math(\rm arc)]-를 붙인 '''틀린 표현'''[* 역삼각함수의 접두사 [math(\rm arc)]-가 붙은 유래를 잘 생각해보면 당연한 건데, 단위원에서 각의 크기(역삼각함수의 값)는 곧 호(arc)의 길이와 같다. 즉, [math(\rm arc)]-라는 접두사는 단위원과 관련이 있음을 나타내는 용어인 셈이다.]도 자주 볼 수 있다. 한편, 쌍곡선 함수가 [[지수함수]]를 이용해서 정의되는 특성상, [[복소해석학|복소함수론]]에서는 역쌍곡선 함수의 정의역이 원래 함수의 지수, 즉 '''편각'''(argument)이 되기 때문에 간혹 접두사를 [math(\rm arg)]-로 쓰고 argument로 읽는 학자도 있다.[* 함수 표기가 길어진다는 단점이 있지만 혼동의 여지를 막는다는 점에서는 매우 효과적인 표기다. 당장 아래 예에서 [math(\rm arcosh)], [math(\rm arcoth)], [math(\rm arcsch)]만 봐도 접두사를 [math(\rm arc)]-로 잘못 읽을 여지가 있으며 특히 [math(\rm h)]가 맨 마지막에 있기 때문에 대충 읽으면 역삼각함수로 오해하기 딱 좋다.] 편의상 정의역은 실수라고 가정했다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\begin{aligned} \mathrm{arsinh}\,x &= \ln{(x+\sqrt{x^2+1})} \\ \mathrm{arcosh}\,x &= \ln{(x+\sqrt{x^2-1})} &&\qquad (x\ge1) \\ \mathrm{artanh}\,x &= \dfrac12\ln{\dfrac{1+x}{1-x}} &&\qquad (|x|<1) \\ \mathrm{arcoth}\,x &= \dfrac12\ln{\dfrac{x+1}{x-1}} &&\qquad (|x|>1) \\ \mathrm{arsech}\,x &= \ln\biggl( \dfrac1x+\sqrt{\dfrac1{x^2}-1} \biggr) &&\qquad (0<x \le 1) \\ \mathrm{arcsch}\,x &= \ln\biggl( \dfrac1x+\sqrt{\dfrac1{x^2}+1} \biggr) &&\qquad (x \ne 0) \end{aligned} )]}}} 표기에 관련하여, [math(\rm arsinh)], [math(\rm arcosh)], [math(\rm artanh)], [math(\rm arsech)], [math(\rm arcsch)], [math(\rm arcoth)]는 각각 [math(\rm sinh^{-1})], [math(\rm cosh^{-1})], [math(\rm tanh^{-1})], [math(\rm sech^{-1})], [math(\rm csch^{-1})], [math(\rm coth^{-1})]로 나타내기도 하나, [[역삼각함수]]와 같이 수학계가 권장하는 표현은 아니다. == 관련 공식 == === 항등식 === {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\begin{aligned} \cosh^2x-\sinh^2x&=1 \\ 1-\tanh^2x&=\mathrm{sech}^2\,x \\ \coth^2x-1&=\mathrm{csch}^2\,x \\ \\ \sinh\,(-x) &= -\sinh x \\ \cosh\,(-x) &= \cosh x \\ \tanh\,(-x) &= -\tanh x \\ \coth\,(-x) &= -\coth x \\ \mathrm{sech}\,(-x) &= \mathrm{sech}\,x \\ \mathrm{csch}\,(-x) &= -\mathrm{csch}\,x \end{aligned})]}}} === 덧셈 정리 === {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\begin{aligned} \sinh\,(x\pm y) &= \sinh x\cosh y \pm \cosh x\sinh y \\ \cosh\,(x\pm y) &= \cosh x\cosh y \pm \sinh x\sinh y \\ \tanh\,(x\pm y) &= \dfrac{\tanh x \pm \tanh y}{1\pm\tanh x\tanh y} \end{aligned})]}}} 이상은 '''모두''' 복부호동순이다. 덕분에 [[삼각함수의 덧셈정리]] 형태를 알고 있으면 쌍곡선함수 덧셈정리를 외우는 것은 부호에 일관성이 있으므로 더 쉽다. === 배각 공식 === {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\begin{aligned} \sinh 2x &= 2\sinh x\cosh x \\ \cosh 2x &= \cosh^2x + \sinh^2x \\ &= 2\sinh^2x+1 \\ &= 2\cosh^2x-1 \\ \tanh 2x &= \dfrac{2\tanh x}{1+\tanh^2x} \end{aligned})]}}} === 반각 공식 === {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\begin{aligned} \sinh^2{\dfrac x2} &= \dfrac{\cosh x-1}2 \\ \cosh^2{\dfrac x2} &= \dfrac{\cosh x+1}2 \\ \tanh^2{\dfrac x2} &= \dfrac{\cosh x-1}{\cosh x+1} \end{aligned})]}}} === 합을 곱으로 고치는 공식 === {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\begin{aligned} \sinh x \pm \sinh y &= 2 \sinh\dfrac{x \pm y}2 \cosh\dfrac{x \mp y}2 \\ \cosh x+\cosh y &= 2 \cosh\dfrac{x+y}2 \cosh\dfrac{x-y}2 \\ \cosh x-\cosh y &= 2 \sinh\dfrac{x+y}2 \sinh\dfrac{x-y}2 \end{aligned})]}}} 이상은 모두 복부호동순이다. === 곱을 합으로 고치는 공식 === {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\begin{aligned} \sinh x\cosh y &= \dfrac12 \{\sinh\,(x+y)+\sinh\,(x-y)\} \\ \cosh x\sinh y &= \dfrac12 \{\sinh\,(x+y)-\sinh\,(x-y)\} \\ \cosh x\cosh y &= \dfrac12 \{\cosh\,(x+y)+\cosh\,(x-y)\} \\ \sinh x\sinh y &= \dfrac12 \{\cosh(x+y)-\cosh(x-y)\} \\ \end{aligned})]}}} === [[도함수]] === ==== 쌍곡선 함수 ==== {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle\begin{aligned} \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \sinh x &= \cosh x \\ \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \cosh x &= \sinh x \\ \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \tanh x &= \mathrm{sech}^2\,x \\ \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \coth x &= -\mathrm{csch}^2\,x \\ \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \mathrm{sech}\,x &= -\mathrm{sech}\,x\tanh x \\ \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \mathrm{csch}\,x &= -\mathrm{csch}\,x\coth x \\ \end{aligned})]}}} ==== 역쌍곡선 함수 ==== {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle\begin{aligned} \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \mathrm{arsinh}\,x &= \frac1{\sqrt{x^2+1}} \\ \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \mathrm{arcosh}\,x &= \frac1{\sqrt{x^2-1}} &&\qquad (x>1)\\ \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \mathrm{artanh}\,x &= \frac1{1-x^2} &&\qquad (|x|<1)\\ \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \mathrm{arcoth}\,x &= \frac1{1-x^2} &&\qquad (|x|>1)\\ \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \mathrm{arsech}\,x &= -\frac1{x\sqrt{1-x^2}} &&\qquad (0<x<1)\\ \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \mathrm{arcsch}\,x &= -\frac1{|x|\sqrt{1+x^2}} &&\qquad (x\ne0) \end{aligned})]}}} [math(\mathrm{artanh}\,x)]와 [math(\mathrm{arcoth}\,x)]의 도함수는 형태는 같지만 [[조각적 정의|[math(x)]의 범위가 다르다]]는 것에 주의하자. === [[적분|역도함수]] === ==== 쌍곡선 함수 ==== {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \begin{aligned} \int \sinh x \,\mathrm dx &= \cosh x + C \\ \int \cosh x \,\mathrm dx &= \sinh x + C \\ \int \tanh x \,\mathrm dx &= \ln\,(\cosh x) + C \\ \int \coth x \,\mathrm dx &= \ln|\sinh x| + C \\ \int \mathrm{sech}\,x \,\mathrm dx &= 2\arctan\,(e^x) + C \\ &= \arctan\,(\sinh x) + C \\ &= \arcsin\,(\tanh x) + C \\ &= 2\arctan\left(\tanh\frac x2\right) + C \\ &= \mathrm{gd}\,x + C \\ \int \mathrm{csch}\,x \,\mathrm dx &= \ln\left(\tanh\dfrac x2\right) + C \\ &= \ln|\coth x-\mathrm{csch}\,x| + C \\ \end{aligned})]}}} 위 식에서 [math({\rm gd}\,x)]은 [[구데르만 함수]](Gudermannian function)이고, [math(C)]는 적분 상수이다. ==== 역쌍곡선 함수 ==== {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \begin{aligned} \int \mathrm{arsinh}\,x \,\mathrm dx &= x\,\mathrm{arsinh}\,x - \sqrt{x^2+1} + C \\ \int \mathrm{arcosh}\,x \,\mathrm dx &= x\,\mathrm{arcosh}\,x - \sqrt{x^2-1} + C &&\qquad (x\ge1) \\ \int \mathrm{artanh}\,x \,\mathrm dx &= x\,\mathrm{artanh}\,x + \frac12\ln (1 - x^2) + C &&\qquad (|x|<1) \\ \int \mathrm{arcoth}\,x \,\mathrm dx &= x\,\mathrm{arcoth}\,x + \frac12\ln (x^2-1 ) + C &&\qquad (|x|>1) \\ \int \mathrm{arsech}\,x \,\mathrm dx &= x\,\mathrm{arsech}\,x + \arcsin x + C &&\qquad (0<x\le1) \\ \int \mathrm{arcsch}\,x \,\mathrm dx &= x\,\mathrm{arcsch}\,x + \mathrm{arsinh}\,x + C &&\qquad (x\ne0) \end{aligned})]}}} 단, [math(C)]는 적분 상수이다. ==== 특수 적분 ==== {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \int \sinh{|x|} \,\mathrm{d}x &= \mathrm{sgn}(x) \,(\cosh x-1) - 1 + C \\ \int \cosh{|x|} \,\mathrm{d}x &= \sinh{x} + C \\ \int \tanh{|x|} \,\mathrm{d}x &= \mathrm{sgn}(x) \,(\ln\circ\cosh)(x) + C \\ \int \mathrm{coth}\,{|x|} \,\mathrm{d}x &= \mathrm{sgn}(x) \,(\ln\circ\sinh)(x) + C \\ \int \mathrm{sech}\,{|x|} \,\mathrm{d}x &= 2\,(\arctan\circ\tanh)\biggl(\frac{x}{2}\biggr) + C \\ \int \mathrm{csch}\,{|x|} \,\mathrm{d}x &= \mathrm{sgn}(x) \,(\ln\circ\tanh)\biggl(\frac{x}{2}\biggr) + C \\ \int \left|\sinh{x}\right| \,\mathrm{d}x &= (\mathrm{sgn}\circ\sinh)(x) \cosh x + C \\ \int \left|\cosh{x}\right| \,\mathrm{d}x &= (\mathrm{sgn}\circ\cosh)(x) \sinh x + C \\ \int \left|\tanh{x}\right| \,\mathrm{d}x &= (\mathrm{sgn}\circ\tanh)(x) \,(\ln\circ\cosh)(x) + C \\ \int \left|\mathrm{coth}\,{x}\right| \,\mathrm{d}x &= (\mathrm{sgn}\circ\mathrm{coth})(x) \,(\ln\circ\sinh)(x) + C \\ \int \left|\mathrm{sech}\,{x}\right| \,\mathrm{d}x &= 2\,(\mathrm{sgn}\circ\mathrm{sech})(x) \,(\arctan\circ\tanh)\biggl(\frac{x}{2}\biggr) + C \\ \int \left|\mathrm{csch}\,{x}\right| \,\mathrm{d}x &= (\mathrm{sgn}\circ\mathrm{csch})(x) \,(\ln\circ\tanh)\biggl(\frac{x}{2}\biggr) + C \\ \int x\tanh{x}\,\mathrm{d}x &= -\frac{1}{2} \,\mathrm{Li}_2(-e^{-2x}) + \frac{x^2}{2} + x\ln{(e^{-2x}+1)} + C \\ \int x\,\mathrm{coth}\,{x}\,\mathrm{d}x &= -\frac{1}{2} \,\mathrm{Li}_2(e^{-2x}) + \frac{x^2}{2} + x\ln{(-e^{-2x}+1)} + C \\ \int x\,\mathrm{sech}\,{x}\,\mathrm{d}x &= i\,\mathrm{Li}_2(ie^{-x}) - i\,\mathrm{Li}_2(-ie^{-x}) + 2x\,\mathrm{arccot}{(e^x)} + C \\ \int x\,\mathrm{csch}\,{x}\,\mathrm{d}x &= \mathrm{Li}_2(\sinh{x}-\cosh{x}) - \mathrm{Li}_2(e^{-x}) - 2x\,\mathrm{arcoth}{(e^x)}+C \\ \int \frac{\sinh{x}}{x} \,\mathrm{d}x &= \mathrm{Shi}(x) + C \\ \int \frac{\cosh{x}}{x} \,\mathrm{d}x &= \mathrm{Chi}(x) + C \\ \int \sinh{e^x}\,\mathrm{d}x &= \mathrm{Shi}(e^x) + C \\ \int \cosh{e^x}\,\mathrm{d}x &= \mathrm{Chi}(e^x) + C \\ \int \sinh(x^{-1}) \,\mathrm{d}x &= x \sinh(x^{-1}) - \mathrm{Chi}(x^{-1}) + C \\ \int \cosh(x^{-1}) \,\mathrm{d}x &= x \cosh(x^{-1}) - \mathrm{Shi}(x^{-1}) + C \\ \int \sinh x^2\,\mathrm{d}x &= \frac{\sqrt{\pi}}{4}\{\mathrm{erfi}(x) - \mathrm{erf}(x)\} + C \\ \int \cosh x^2 \, \mathrm{d}x &= \frac{\sqrt{\pi}}{4}\{\mathrm{erfi}(x) + \mathrm{erf}(x)\} + C \end{aligned} )]}}} 위 식에서 [math(\mathrm{sgn}(x))]는 [[부호 함수]], [math(\mathrm{Shi}(x))], [math(\mathrm{Chi}(x))]는 각각 [[쌍곡선 적분 함수|쌍곡선 사인 적분]], [[쌍곡선 적분 함수|쌍곡선 코사인 적분]], [math(\mathrm{Li}_2(x))]는 [[폴리로그함수]], [math(\mathrm{erf}(x))]는 [[오차함수]], [math(\mathrm{erfi}(x))]는 [[오차함수#s-2.3|복소오차함수]], [math(C)]는 적분 상수이다. == 복소수와 쌍곡선 함수 == 이 문단서부터는 이제부터 정의역을 복소수 영역까지 확장할 것이다. 우리는 다음을 안다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \sin{x}=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} \qquad \qquad \cos{x}=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} )]}}} 또한, [[오일러 공식]]에 의해 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle e^{ix}=\cos{x}+i\sin{x} )]}}} 임을 안다. 위를 이용하면 아래를 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \sinh{(ix)}&=i\sin{x} \\ \cosh{(ix)}&=\cos{x} \\ \tanh{(ix)}&=i\tan{x} \end{aligned} )]}}} 마찬가지로, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} -i \sin{(ix)}&=\sinh{x} \\ \cos{(ix)}&=\cosh{x} \\ -i\tan{(ix)}&=\tanh{x} \end{aligned} )]}}} 임을 얻는다. == 테일러 급수 == 아래는 [math(x=0)] 주위에서 전개한 것이다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \sinh{x}&=x+\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{5}}{120}+\cdots \\ &=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} \\ \cosh{x}&=1+\frac{x^2}{2}+\frac{x^{4}}{24}+\cdots \\ &=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k}}{(2k)!} \end{aligned} )]}}} == 기타 == * 쌍곡선 함수 중 [math(\cosh{x})] 곡선을 [[현수선]]이라 한다. * [[물리학]]적으로 균일한 밀도의 줄이나 선이 이 형태를 띄면 총 퍼텐셜 에너지가 최소화 되기 때문에 두 점 사이에 균일한 밀도의 줄이나 선을 연결하면 현수선 모양을 띄게 된다. * [[특수 상대성 이론]]에서 사용되는 기하학에서 쌍곡선 함수의 위상은 평범한 기하학에서 삼각함수의 위상과 비슷하다. * 본격적인 용어와 성질 등은 대학 미적분학을 배우면서 습득하게 되나, 고등학교 미적분 문제에서도 간간히 나오는 함수이다. 다만, 용어를 직접적으로 쓰진 못하고, 정의식을 그대로 주어 문제로 낸다. == 관련 문서 == * [[수학 관련 정보]] * [[삼각함수]] * [[쌍곡선]] * [[쌍곡선 적분 함수]] * [[해석학]] [각주] [include(틀:문서 가져옴, title=삼각함수, version=432)] [[분류:해석학(수학)]][[분류:초등함수]][[분류:수학 용어]][[분류:한자어]][[분류:나무위키 수학 프로젝트]]