[include(틀:기하학·위상수학)] [include(틀:삼각형)] [목차] == 개요 == '''스튜어트 정리'''(Stewart's theorem)는 스코틀랜드의 수학자 매튜 스튜어트가 증명한 정리로, [[삼각형]] 관련 문제를 풀 때 아주 유용하며, 아래와 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [[파일:나무_스튜어트_정리_수정_수정_수정.png|width=170&align=center]] [math(\displaystyle mb^2+nc^2=(m+n)(mn+d^2)=a(mn+d^2) )]}}} ~~~문자를 조금 바꿔서 [math(c)]를 [math(a)]로 바꾸면 [math(\displaystyle mb^2+na^2=(m+n)(mn+d^2))]가 되는데 이렇게 하면 "[[이명박|명박이]] [[노환|나이 너무 많아]] [[사망|다이]]"(...)로 외울 수 있다.~~~ 한편 [math(m=n )]이면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle mb^2+mc^2=2m(m^2+d^2) )]}}} 이고, 양변을 [math(m )]으로 나눠주면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle b^2+c^2=2(m^2+d^2) )]}}} 보통 고등학교 때 배우는 중선 정리(아폴로니우스 정리[* 파푸스의 정리라는 말은 우리나라 및 일본에서만 쓰임])가 된다. == 증명 == 일반적으로 제2 코사인법칙을 이용해 증명하나, 피타고라스의 정리로도 증명이 가능하다. === [[코사인 법칙]] === 두 변 [math(\overline{\rm AP})]와 [math(\overline{\rm CP})]가 이루는 각을 [math(\theta )]라 하자. 이때, [math(\triangle \rm APC)]에서 [[코사인 법칙|제2코사인 법칙]]에 의해, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle c^2=m^2+d^2-2md\cos\theta \quad \cdots \quad (\rm I) )]}}} 한편, [math(\triangle \rm ABP)]에 [[코사인 법칙|제2코사인 법칙]]을 적용하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} b^2&=n^2+d^2-2nd\cos(\pi-\theta) \\&=n^2+d^2+2nd\cos\theta \quad \cdots \quad (\rm I\!I) \end{aligned} )]}}} [math((\rm I))]에 [math(n)]을, [math((\rm I\!I))]에 [math(m)]을 곱하여 더하면, 스튜어트 정리가 유도된다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} mb^2+nc^2&=m^2n+nd^2-2mnd\cos\theta+mn^2+md^2+2mnd\cos\theta \\&=m^2n+mn^2+md^2+nd^2 \\&=mn(m+n)+d^2(m+n) \\&=(m+n)(mn+d^2)\\&=a(mn+d^2) \end{aligned} )]}}} === [[피타고라스 정리]] === [[파일:나무_스튜어트_정리_피타고라스_수정.png|width=170&align=center]] 위 그림과 같이 꼭짓점 [math(\rm A)]에서 [math(\overline{\rm BC})]에 내린 수선의 발을 [math(\rm{H})]라 하고, [math(\overline{\rm AH}=h )], [math(\overline{\rm PH}=x )]라 하자. 피타고라스 정리에 의하여 [math(\triangle \rm APH)]에서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} h^2+x^2=d^2 \end{aligned} )]}}} 이고, [math(\triangle \rm AHC)]에서 마찬가지로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} h^2+(m-x)^2&=c^2 \end{aligned} )]}}} 이것을 정리하고, [math(h^2+x^2=d^2)]임을 이용하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} c^2=d^2+m^2-2mx \end{aligned} )]}}} 이다. 또, [math(\triangle \rm AHB)]에 피타고라스 정리를 사용하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} h^2+(n+x)^2=b^2 \quad \cdots \quad (\rm I) \end{aligned} )]}}} 이것을 정리하고, [math(h^2+x^2=d^2)]임을 이용하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} b^2=d^2+n^2+2nx \quad \cdots \quad (\rm I\!I) \end{aligned} )]}}} 이때, [math((\rm I))]에 [math(n)], [math((\rm I\!I))]에 [math(m)]을 곱하여 더해주면, 스튜어트 정리가 유도된다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} & nd^2+m^2n-2mnx+md^2+mn^2+2mnx \\&=d^2(m+n)+mn(m+n) \\ &= (m+n)(mn+d^2) \\&=a(mn+d^2) \\&=mb^2+nc^2 \end{aligned} )]}}} == 관련 문서 == * [[수학 관련 정보]] * [[기하학]] * [[삼각형]] * [[코사인 법칙]] * [[피타고라스 정리]] [[분류:삼각형]][[분류:논증 기하학]]