[include(틀:이산수학·수리논리학)] [include(틀:해석학·미적분학)] [목차] == 개요 == {{{+1 sequence · [[數]][[列]]}}} [[https://oeis.org/|정수 수열 백과사전]]. 자연수 집합(또는 양의 정수 집합)을 정의역으로 갖는 [[함수]]. 쉽게 말하자면, 수를 늘어놓고 그것에 순번을 붙이는 것이다. 늘어놓는 규칙은 있어도 되고 없어도 된다. 다만 교육과정에서는 주로 [[패턴#s-3|규칙적으로 나열된]] 수열들을 다룬다. 만약 수열의 정의역이 첫 n개의 자연수이면 유한수열이라 하며, ([math(\left<1, 6, 3, 9\right>)], [math(\left<3, 4, 7\right>)] 등), 수열의 정의역이 자연수인 경우 무한수열이라 한다. ([math(\left<1, 2, 3, 4,\ldots\right>)], [math(\left<1, 3, 5, 7,\ldots\right>)] 등). [[초등학교 수학]]에서는 [[뛰어 세기]], [[규칙과 대응]] 등으로 수열을 익히기 위한 첫걸음을 뗀다. == 상세 == === 정의 === >수열 [math(a)]이란 정의역이 [[순서수]](ordinal number) [math(\alpha\in \bold{ON})]인 함수를 말한다. >[math(a:\alpha\to S)] 일반적으로 함수를 나타내는 기호는 주로 [math(f,g,h)]를 많이 쓰지만, 수열의 경우 [math(a,b,c)] 등을 주로 사용한다. 정의역이 유한 순서수(n 이하의 자연수의 집합)이면 유한수열, 가산 무한 순서수(자연수 집합)이면 무한수열이라고 하며, 일반적으로 순서수 [math(\alpha)]가 정의역이면 [math(\alpha-)]수열([math(\alpha-)]sequence)라고 한다. 자연수집합 뿐만 아니라, 순서수라면 자신의 원소를 정렬하여 나타낼 수 있기 때문에, 정의역이 비가산 무한 서수일 때도 수열이라고 할 수 있다. 이 문서는 물론 정의역이 가산집합일 때(유한수열과 무한수열) 위주로 작성되었다. 공역에 따라서는 공역이 정수이면 정수열, 유리수면 유리수열, 무리수면 무리수열, 실수면 실수열, 복소수면 복소수열, 점이면 점열 등이라고 하며, 문맥을 통해서 공역이 무엇인지 알 수 있으면 생략하여 그냥 수열이라고 할 수도 있다. 고등학교 교육과정에서 수열이라고 하면 주로 실수열을 뜻한다. 실함수에서 다변수 함수가 있듯 수열에서도 이중수열, 삼중수열 등을 정의할 수 있다. >[math(n)]개의 순서수 [math(\alpha_{1},\cdots,\alpha_{n})]에 대하여, [math(n)]중 수열은 정의역이 [math(\alpha_{1}\times\cdots\times\alpha_{n})]인 함수를 말한다. >[math(a:\alpha_{1}\times\cdots\times\alpha_{n}\to S)] [math(n=2)]이고, [math(\alpha_{1})], [math(\alpha_{2})]가 모두 유한 순서수이면, 함수 [math(A:\alpha_{1}\times\alpha_{2}\to S)]를 [[행렬]]이라고 한다. 무슨 말이냐면, [math((i,j)\in\alpha_{1}\times\alpha_{2})]에 대응하는 항을 [math(i)]행 [math(j)]열의 성분으로 적으면 된다. ==== 일반항 ==== 수열의 항은 정의역의 특정한 원소에 대응하는 함수값을 의미한다. 수열의 일반항은 수열의 함수식을 뜻한다. 즉, 정의역의 원소와 그에 대한 함수값의 관계를 식으로 표현한 것이다. 일반적으로 수열의 일반항의 독립변수는 [math(x)]대신 [math(n)], [math(m)], [math(k)], [math(i)], [math(j)], [math(l)] 등을 주로 사용한다. 예를 들어서, 무한수열 [math(a:\mathbb{N}\to\mathbb{R})]의 일반항이 [math(a_{n}=2n-1)]로 주어지면 [math(a)]의 3번째 항은 [math(a_{3}=5)]가 된다. ==== 수열의 표기 ==== 수열 [math(a)]의 항이 [math(a_{1},a_{2},a_{3}\ldots)]으로 주어졌을 때, 이를 나열하여 수열 [math(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots)]이라고 쓰기도 한다. 혹은 괄호 [math((,))] 또는 [math(\langle, \rangle)]등을 사용하여 [math((a_{1},a_{2},a_{3},\ldots))] 또는 [math(\langle a_1, a_2, \ldots\rangle)]로 나타내기도 한다. 수열의 일반항 [math(a_{n})]이 주어지면 [math((a_{n}))], [math(\langle a_{n}\rangle)], [math(\{a_{n}\})] 등으로 나타내기도 하고, 여기에 아랫첨자와 윗첨자를 추가하여 정의역까지 나타내는 표기법도 있다. 예를 들어서 [math((2^{n}-1)_{n=0}^{\infty})]는 일반항이 [math(a_{n}=2^{n}-1)]이고 [math(n=0)]부터 시작하는 무한수열이다. ==== 부분수열 ==== 수열 [math(a:\alpha\to S)]에 대하여, [math(\beta\subseteq\alpha)]인 [math(\beta)]에 대하여, 수열 [math(k:\beta\to\alpha)]가 강한 증가함수라고 하자. 이때 합성함수 [math(a\circ k:\beta\to S)]를 [math(a)]의 부분수열이라 한다. 부분수열이 나오는 유명한 정리로는 '어떤 무한수열의 임의의 무한 부분수열이 [math(L)]로 수렴하면, 그 수열은 [math(L)]로 수렴한다'라는 기초 해석학의 정리가 있다. === [[수열의 귀납적 정의]] === [[수열의 귀납적 정의]] 문서 참고. === [[생성함수]] === 수열 [math(\{a_n\})]에 대해 생각하는 형식적인 멱급수 [math( \displaystyle A(x) = \sum_{i=0}^{\infty} a_i x^i )] 로 정의된다. 자세한 것은 문서를 참고. === 수열의 합 === [math( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_k =a_1+a_2+a_3+...+a_n)] [[수학]]에서의 수열 [math( a_1, a_2, a_3, ... , a_n)]이 주어졌을 때 이들의 합을 [[시그마]] 기호로 나타낼 수 있다. 시그마를 쓰는 이유는 합을 뜻하는 summation의 앞글자를 땄기 때문이다. 그리스 문자 [math(\Sigma)]는 영어의 S에 대응되기 때문. 때문에 영어권에서는 [math(\Sigma)]라고 쓰고 sum이라고 읽는 경우가 거의 대부분이다. 비슷한 것으로 [[Π#s-2|[math(\Pi)](파이)]]가 있는데, 이것은 [[곱하기]] 버전 (곱하기의 영문 표현인 product의 p에 대응). * 시그마 밑에는 각 항수를 대입할 문자를 지정하고, 더하기를 시작할 첫 항을 지정한다. [math(k)]에 대한 일반항을 제1항부터 더할 것이라면, [math(k=1)]이라고 쓰면 된다. 만약 일반항에 여기서 지정한 문자가 아닌 다른 문자가 들어간다면 그 문자는 상수로 취급한다.(문자를 [math(k)]로 지정했는데 일반항에 [math(m)]이 튀어나온다거나) * 시그마 위에는 마지막 항을 지정한다. 제[math(n)]항까지 더할 것이라면, [math(n)]이라고 쓰면 된다. * 시그마 오른쪽에는 일반항을 써준다. 항수가 들어갈 문자는 앞에서 지정한 문자와 같아야 한다. 예를 들어 [math(n)]에 대한 수열에서 일반항이 [math(3n-2)]이고 [math(n)]에 들어가는 수가 항수라면, [math(n)] 대신에 앞에서 지정한 문자 (본 예시에서는 [math(k)])로 바꿔 써야 한다. 시그마의 일반적인 성질은 다음과 같다. >1. [math( \displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left(a_k \pm b_k\right) = \sum_{k=1}^{n}a_k \pm \sum_{k=1}^{n}b_k)] (복호동순) [br] 2. [math( \displaystyle \sum_{k=1}^{n}ca_k = c\sum_{k=1}^{n}a_k)] ([math(c)]는 상수) [br] 3. [math( \displaystyle \sum_{k=1}^{n}c = cn)] [br] 4. [[생성함수]] [math(A(k))]에 대해서 [math(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} A(k) = \int_{1}^{n} A(k) \ \mathrm{d}\lfloor k \rfloor)] ([math(\lfloor k \rfloor)]는 [[최대 정수 함수]]) 증명은 급수를 각 항의 합으로 나타낸 뒤 정리해주면 된다. 4번의 경우는 너비가 1이고 높이가 [math(A(k))]인 [[직사각형]]을 모아서 그 넓이를 합하는 것을 떠올리면 쉽다.[* 물론 쉽게 표현하자면 이렇다. 엄밀한 정의는 [[스틸체스 적분]] 문서 참조.] [[https://youtu.be/2K6LKAGbIuI|자세한 설명을 담은 영상]] 어린 시절 산수를 배울 때 1에서 10까지 다 더하면1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 =55가 된다는 재미있는 사실을 발견한 적 있을 것이다. 이것이 바로 일종의 유한급수이다. 이를 급수식으로 바꿔 보면 > [math( \displaystyle \sum_{k=1}^{10}k)] 이렇게 된다. 위의 공식을 [math( \displaystyle \sum^{n}_{k=1}k = \frac{n(n+1)}{2} )] 와 같은 일반적인 식으로 나타낼 수도 있으며 10*(10+1)/2=55가 나오는 것을 확인할 수 있다. [math( \displaystyle k^2)]의 경우는 아래와 같다. [math( \displaystyle \sum^{n}_{k=1}k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} )] 이를 [math( \displaystyle k^c)]일 경우로 일반화한 식이 바로 [[파울하버의 공식]]이다. 자세한 것은 문서 참조. 2015 개정 교육과정에서 수열의 합은 [[수학1(2015)|수학1]] 과목에서 다룬다. 한편 [math(n)]항까지 더하는 것이 아니라 무한 개의 항을 모두 합하는 경우도 생각할 수 있는데, 이는 2015 개정 교육과정의 [[미적분(교과)|미적분]] 과목에서 다루며, 자세한 설명은 [[무한급수]] 문서를 참고할 것. [include(틀:문서 가져옴, this=문단, title=급수(수학), version=131, paragraph=2)] ==== 여러 수열의 합 ==== 다음은 고등학교 과정에서 흔히 나오는 수열의 합의 계산이다. ||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023> * [math(\displaystyle\sum_{k=1}^n\left(\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}\right)=\left(\dfrac11-\cancel{\dfrac12}\right)+\left(\cancel{\dfrac12}-\cancel{\dfrac13}\right)+\cdots+\left(\cancel\dfrac1{n-1}-\cancel{\dfrac1n}\right)+\left(\cancel{\dfrac1n}-\dfrac1{n+1}\right)=1-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{n}{n+1})]|| ||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023> * [math(\begin{aligned}\displaystyle\sum_{k=1}^n\left(\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+2}\right)&=\left(\dfrac11-\cancel{\dfrac13}\right)+\left(\dfrac12-\cancel{\dfrac14}\right)+\left(\cancel{\dfrac13}-\cancel{\dfrac15}\right)+\cdots+\left(\cancel{\dfrac1{n-2}}-\cancel{\dfrac1n}\right)+\left(\cancel{\dfrac1{n-1}}-\dfrac1{n+1}\right)+\left(\cancel{\dfrac1{n}}-\dfrac1{n+2}\right)\\&=\dfrac11+\dfrac12-\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n+2}\;(n\geq 2)\end{aligned})]|| ||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023> * [math(\displaystyle\sum_{k=1}^n (\sqrt{k+1}-\sqrt k)=(\cancel{\sqrt 2}-\sqrt 1)+(\cancel{\sqrt 3}-\cancel{\sqrt 2})+\cdots+(\cancel{\sqrt n}+\cancel{\sqrt {n-1}})+(\sqrt{n+1}-\cancel{\sqrt n})=\sqrt{n+1}-1)]|| ||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023> * [math(\begin{aligned}\displaystyle\sum_{k=1}^n (\sqrt{k+2}-\sqrt k)&=(\cancel{\sqrt 3}-\sqrt 1)+(\cancel{\sqrt 4}-\sqrt 2)+(\cancel{\sqrt 5}-\cancel{\sqrt 3})+\cdots+(\cancel{\sqrt n}-\cancel{\sqrt {n-2}})+(\sqrt {n+1}-\cancel{\sqrt {n-1}})+(\sqrt {n+2}-\cancel{\sqrt n})\\&=\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2}-\sqrt 1-\sqrt 2\;(n\geq 2)\end{aligned})]|| 위 식들을 일반화하면 다음과 같으나 각각 [math(m=1)], [math(m=2)]인 경우에 해당하는 위 식들 말고는 계산이 지나치게 복잡하다고 하여 거의 나오지 않는다. ||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023> * [math(\begin{aligned}\displaystyle\sum_{k=1}^n\left(\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+m}\right)&=\left(\dfrac11+\dfrac12+\cdots+\dfrac1m\right)-\left(\dfrac{1}{n+1}+\cdots+\dfrac1{n+m}\right)\\&=\displaystyle\sum_{k=1}^m\left(\dfrac1k-\dfrac1{n+k}\right)\;(n\geq m)\end{aligned})] || ||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023> * [math(\begin{aligned}\displaystyle\sum_{k=1}^n(\sqrt {k+m}-\sqrt k)&=\sqrt{n+1}+\cdots+\sqrt {n+m})-(\sqrt 1+\sqrt 2+\cdots+\sqrt m)\\&=\displaystyle\sum_{k=1}^m(\sqrt {n+k}-\sqrt k)\;(n\geq m)\end{aligned})]|| 나아가, [math(\displaystyle\sum_{k=1}^n (\sqrt{k+1}-\sqrt k))]의 경우 다음과 같이 변형된 꼴로도 종종 나온다. ||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023> * [math(\begin{aligned}\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac1{\sqrt{k+1}+\sqrt k}&=\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{\sqrt{k+1}-\sqrt k}{(\sqrt{k+1}+\sqrt k)(\sqrt{k+1}-\sqrt k)}\\&=\displaystyle\sum_{k=1}^n (\sqrt{k+1}-\sqrt k)\end{aligned})]|| ===== [[부분분수분해]] ===== ||<table width=100%> * [math(\dfrac1{AB}=\dfrac1{B-A}\left(\dfrac1A-\dfrac1B\right)\quad(\textsf{단,}\;A\neq B,\;A\neq 0,\;B\neq 0))] || 위 공식을 이용하여, 변형된 수열의 합을 구하는 문제도 나온다. 다음과 같이 부분분수분해를 이용하여 식을 변형한 뒤 위의 방법대로 수열의 합을 구하면 된다. * [math(\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{3}{k(k+2)}=\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac32\left(\dfrac1k-\dfrac1{k+2}\right))] === [[수열의 극한]] === [include(틀:상세 내용, 문서명=수열의 극한)] == 목록 == === [[등차수열]] === [include(틀:상세 내용, 문서명=등차수열)] === [[등비수열]] === [include(틀:상세 내용, 문서명=등비수열)] === [[조화수열]] === [include(틀:상세 내용, 문서명=조화수열)] === [[계차수열]] === [include(틀:상세 내용, 문서명=계차수열)] === 계비수열 === 사실 계비수열이란 용어는 없다. 그저 자주 쓰이는 표현일 뿐이다. 계비수열은 어떤 항을 그 앞항으로 나눈 값이 일정하며, n번째 항이 첫째 항과 공비의 n-1제곱을 곱한 값이 되는 수열이다. === [[https://en.wikipedia.org/wiki/Subgroup_series|부분군열]] === == 관련 문서 == * [[시그마#s-1]] * [[수학적 귀납법]] * [[점화식]] * [[급수(수학)]] * [[피보나치 수열]] : [[황금비]]가 나온다. * [[콜라츠 추측|콜라츠 수열]] : 유명한 [[3n+1]]의 문제. 1937년에 나온 수열인데 2020년 기준 아직도 수렴하는지 알려지지 않은 난제중 하나이다. [[분류:이산수학]][[분류:해석학(수학)]][[분류:수학 용어]]