[include(틀:해석학·미적분학)] [목차] == 개요 == 무한 [[수열]] [math( \{a_{n}\} )]에 대하여 [math(n)]이 무한히 커지는 상황에서 [math(a_{n})]이 [math(L)]에 한없이 가까워지면 [math({\displaystyle \lim_{n\to\infty}}a_{n}= L )]이라 한다. 이를 수열의 극한이라고 한다. == 상세 == 엄밀하게는 수열의 극한을 [math(\varepsilon - N)] 논법[* [[연속함수]]의 극한을 [[엡실론-델타 논법]]이라 하는 것과 같은 맥락이다.]으로 정의한다. 수열 [math( \left(a_{n}\right) )] 이 [math(L)]로 수렴한다는 것의 정의는 다음과 같다. >임의의 양수 [math(\varepsilon)]에 대하여, ' [math(n\geq N)] 이면 항상 [math(\left|a_{n}-L\right|<\varepsilon)] ' 이 성립하게 되는 자연수 [math(N)] 이 존재한다. 여기서 [math(N)]은 [math(\varepsilon)]의 값이 어떤지에 따라 변할 수 있다. 그래서 [math(N)]의 구체적인 값은 [math(\varepsilon)]에 의존한다는 뜻에서 [math(N\left(\varepsilon\right))]과 같이 함수처럼 표현하기도 한다. 수열 [math( \left(a_{n}\right) )]이 [math(L)]로 수렴한다는 것은, 아무리 [math(\varepsilon)]을 작게 잡아도 [math(n)]이 커지다 보면 어느 순간부터는 [math(a_{n})]이 구간 [math(\left(L-\varepsilon,\,L+\varepsilon\right))] 안에만 들어있다는 것이다. 아직 무슨 뜻인지 모르겠으면, 아래 함수의 극한에서 [math(\varepsilon-\delta)] 논법을 참고하자. 설명이 잘 되어 있으니 그걸 이해하면 [math(\varepsilon-N)] 논법도 쉽게 이해할 수 있을 것이다. 예를 들어 [math({\displaystyle \lim_{n\to\infty}}\displaystyle\frac{n}{2n+1}=\displaystyle\frac{1}{2})] 임을 보이자. 임의의 양수 [math(\varepsilon>0)]에 대해, [math(n)]이 충분히 커지면 [math(\left|\displaystyle\frac{n}{2n+1}-\displaystyle\frac{1}{2}\right|<\varepsilon)] 이 성립함을 보이면 충분하다. 이때 [math(\left|\displaystyle\frac{n}{2n+1}-\displaystyle\frac{1}{2}\right|=\displaystyle\frac{1}{2} \left(\displaystyle\frac{1}{2n+1}\right))]이므로 [math(\displaystyle\frac{1}{2} \left(\displaystyle\frac{1}{2n+1}\right)<\varepsilon)]인 [math(n)]을 찾으면 되는데, 이는 [math(\displaystyle\frac{1}{4\varepsilon} - \displaystyle\frac{1}{2} < n)]과 동치이다. 그런데 [[아르키메데스 성질]]에 의해 저러한 [math(n)]은 아무리 작은 [math(\varepsilon)]에 대해서도 존재한다.[* [[아르키메데스 성질]]이란 아무리 작은 양수라도 유한 번 더해서 임의의 실수보다 크게 만들 수 있다는 것이다. 쉽게 말하면 "임의의 실수 [math(a)]에 대해, [math(n>a)]인 자연수 [math(n)]이 존재한다" 정도로 이해하면 된다. 여기서는 역으로 "아무리 작은 양수가 주어지더라도 그보다 더 작은 [math( 1 \over n)]이 존재한다"가 사용되었다.] 따라서 이 [math(n)]을 [math(\varepsilon-N)]논법에서의 [math(N)]으로 잡으면, [math(n\ge N)]일 때 항상 [math(\left|\displaystyle\frac{n}{2n+1}-\displaystyle\frac{1}{2}\right|=\displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{1}{2n+1}\right)<\varepsilon)] 가 성립하게 되므로 [math({\displaystyle \lim_{n\to\infty}}\displaystyle\frac{n}{2n+1}=\displaystyle\frac{1}{2})] 이다. 이 부분은 2015 개정 교육과정에서 [[미적분]]으로 넘어가 자연계 지망자(舊 이과생)만 배우는 내용이 되었다. 대학 해석학 수준이 되면 수열의 수렴성보다 엄밀한 조건으로 수열의 코시 수열 성질을 배우게 되는데, 코시 수열은 다음과 같이 정의된다. >수열 [math(a_{n})]이 존재한다고 하자. 그렇다면 이 수열이 코시 수열일 조건은 임의의 양의 실수 [math(\epsilon)]에 대하여, 이에 대응하는 적당한 자연수 [math(N)]가 존재하여 [math(n,m > N)]을 만족하는 자연수 [math(n, m)]에 대하여 다음 성질을 만족하는 수열이다. >[math(d\left( a_{n}, a_{m}\right)<\epsilon)] >(단, [math(d)]는 거리함수. 유클리드 공간에서는 두 수의 차의 절댓값이 된다.) 일반적인 유클리드 공간 내라면 수렴성 = 코시 수열 성질이지만, 일반 거리 공간이 되면 코시 수열 성질과 수렴성이 꼭 일치하는 건 아니다. 거리 공간이 완비성을 지니게 되면 코시 수열의 수렴성이 보장되며 반대로 말해서, 코시 수열이 수렴하게 되면, 이 코시 수열이 전제된 거리공간은 완비 거리 공간(Complete metric space)이 된다. [include(틀:문서 가져옴, title=수열, version=156)] [[분류:수학 용어]][[분류:해석학(수학)]]