[include(틀:대수학)] [include(틀:선형대수학)] [목차] == 정의 == __'''선형 변환(Linear Transformation)'''__은 [[벡터 공간]]에서 [[벡터 공간]]으로 가는 함수로, 그것들 중 벡터 공간의 성질을 보존하는, 즉 선형성을 갖는 함수이다. '''선형사상(Linear Map)''' 또는 '''일차변환'''이라고 부르기도 한다. 스칼라가 [math(F)]로 같은 벡터 공간[math(V)], [math(W)]에 대해, 흔히 [math(V)]에서 [math(W)]로 가는 선형 변환들의 모임을 [math(L\left(V,W\right))]라 표시한다. [math(f:V\rightarrow W)]가 선형 변환이라 함은 다음을 만족하는 것이다. > * (선형성(linearity)) 임의의 [math(a\in F)], [math(u,v\in V)]에 대해, [math(f\left(au+v\right)=af\left(u\right)+f\left(v\right))] 달리는 [[범주론|카테고리 이론]]을 이용하여 간단하게 Vect(K)에서의 morphism을 선형 변환이라고 정의할 수도 있는데, 집합론을 썼느냐 카테고리 이론을 썼느냐의 차이일 뿐 사실 같은 대상이다. [[실수(수학)|[math(\mathbb{R})]]]를 스칼라로 갖는 경우를 예로 들어보자. * [math(V=W=\mathbb{R}^{2})]에 대해, * [math(f\left(x,y\right)=\left(5x+3y,7x-2y\right))]는 선형 변환이다. * [math(f\left(x,y\right)=\left(6x,5x\right))]는 선형 변환이다. * [math(f\left(x,y\right)=\left(x^{2}+\sin y,0\right))]는 선형 변환이 아니다.[* 이를 따로 '''비선형'''이라고 한다.] * [math(f\left(x,y\right)=\left(0,0\right))]는 선형 변환이다. * [math(f\left(x,y\right)=\left(x+1,x+5y+2\right))]는 선형 변환이 아니다. * [math(V)]를 [math(\left[0,1\right])]에서 [math(\mathbb{R})]로 가는 연속함수들의 모임이라 하면, [math(\mathbb{R})]-벡터 공간이다. [math(\phi:V\rightarrow \mathbb{R})]을 [math(\phi\left(f\right):=\int_{0}^{1}f)]라 하면 [math(\phi)]는 선형 변환이다. * [math(V)]를 [math(n)]차 정사각 행렬의 모임이라 하면, [math(\mathbb{R})]-벡터 공간이다. [[주대각합]] [math(\text{tr}:V\rightarrow \mathbb{R})]은 선형 변환이다. * [math(V=W=\mathbb{C})], [math(T\left(z\right):=\overline{z})]라 정의하자. [math(\mathbb{R})], [math(\mathbb{C})]위에서, [math(V)], [math(W)]는 벡터 공간이다.[* 이 예는 스칼라체의 중요성을 보여준다.] * [math(\mathbb{R})]위에서, [math(T)]는 선형 변환이다. * [math(\mathbb{C})]위에서, [math(T)]는 선형 변환이 아니다. [math(iT\left(1\right)=i\ne-i=T\left(i\cdot 1\right))]이기 때문이다.[* 참고로 이런 꼴을 [[https://en.wikipedia.org/wiki/Antilinear_map|배반선형사상(Antilinear map)]]이라고 한다.] == 핵(kernel)과 상(image) == 벡터 공간[math(V)], [math(W)]와 [math(f\in L\left(V,W\right))]에 대해[* 핵과 상이 부분 공간임이라는 것은 쉽게 알 수 있다. ] > * (__'''핵(kernel)'''__)[* 영공간(nullsapce) 이라고도 한다. 그런데, 핵은 대수학에서 전반적으로 두루 쓰이는 용어인 반면, 영공간은 선형대수학에서만 한정적으로 쓰이는 경향이 있다.] [math(\ker f:=\left\{v\in V:f\left(v\right)=0\right\})] > * (__'''핵 공간의 차원(nullity)'''__) [math(\text{Null}\left(f\right):=\dim\ker f)] > * (__'''상(image)'''__) [math(\text{Im} f:=\left\{f\left(v\right):v\in V\right\})][* 선형변환 <math>Y=AX</math>의 상은 <math>A</math>의 열공간과 같다.] > * (__'''계수(차수; rank)'''__) [math(\text{rank}\left(f\right):=\dim\text{Im} f)] 라 정의한다. 다음이 성립한다. * [[Rank Theorem|nullity-rank theorem]][* 책에 따라서는 dimension theorem이라고 하기도 한다.] > [math(\dim V=\text{Null}\left(f\right)+\text{rank}\left(f\right))] == [[행렬(수학)|행렬]]과의 관계 == 선형 변환은 일종의 함수이기 때문에, 추상적이고 이해하기 힘들다. 반면, 행렬은 숫자를 시각적으로 배열한것이기 때문에, 선형변환보다는 이해하기 쉽고, 연산이 직관적이다. 그런데, '''[[선형대수학의 기본정리]]'''에 따르면, 유한차원 벡터공간에서 정의된 선형변환을 행렬로 볼 수도 있고, 거꾸로, 행렬을 선형변환으로 볼 수 있는 방법이 존재한다. 즉, 정의역과 공역의 기저가 정해지면, [[행렬표현|선형변환을 표현하는 행렬]]이 결정된다. 그 뿐만 아니라, 선형변환의 합과 스칼라배는 행렬의 합과 스칼라배로 바뀌고, 선형변환의 합성은 행렬의 곱으로 바뀐다. 즉, 행렬을 선형변환의 아바타처럼 취급할 수 있다.[* 물론 이 아바타는 기저에 따라서 바뀐다.] 이에 따라서, 행렬에 정의되는 개념들을, [[잘 정의됨|잘 정의]]만 된다면, 선형변환에도 정의할 수 있다. 그러한 예로는 [[주대각합]]과 [[행렬식]] 등이 있다. 또한, 선형변환에 대한 명제를 증명하기 어려운 경우, 행렬을 이용하여 증명하면 수월한 경우가 있다. 여담으로 개정으로 행렬이 수학 교육과정에서 완전히 빠지기전 [[기하와 벡터]] 과목에서 선형변환을 배웠다. 그러나 엄밀하게 정의하고 증명하고 넘어가는 방식을 채택하고 있는 대한민국 교육과정마저도 [[행렬]] 부분과 [[미적분]] 부분에 있어선 증명하지 않고 넘어가는 게 많은데, 행렬은 선형대수학의 선형사상 때문이고 미적분은 해석학의 [[엡실론-델타 논법]] 때문이다! 그래서 선형대수학을 공부하는 사람은 이 선형사상을 이해하는 것을 [[강요받고 있는 거다!|강요받고 있다]]고 할 수 있다. [[분류:선형대수학]]