[include(틀:기하학·위상수학)] [include(틀:삼각형)] [목차] == 개요 == [[삼각형]]의 오심(외심, 내심, 무게중심, 수심, 방심)을 서술하는 문서. [[정삼각형]]은 방심을 제외한 사심(외심, 내심, 무게중심, 수심)이 같다. == 외심 == '''외심'''은 삼각형의 외접원의 중심을 의미한다. [math(\rm O)]로 표기하는 것이 일반적이다. [[파일:namu_외심_NEW_NEW.png|width=220&align=center]] 예각 삼각형일 경우 삼각형 내부에, 직각 삼각형일 경우 빗변의 중점에, 둔각 삼각형일 경우 삼각형 외부에 존재한다. === 성질 === * 외심에서 각 꼭짓점까지 이은 선분의 길이는 외접원의 반지름 [math(R)]로 모두 동일하다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \overline{\rm OA}=\overline{\rm OB}=\overline{\rm OC}=R )] }}} * 외심에서 각 변에서 내린 수선의 발은 그 변을 수직이등분한다. * 수직이등분점을 모두 이은 삼각형은 본래 삼각형의 자기[[쌍대다면체|쌍대]]이다. * [[사인 법칙]]이 성립한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \frac{\overline{\rm CB}}{\sin{\angle \rm A}}=\frac{\overline{\rm AC}}{\sin{\angle \rm B}}=\frac{\overline{\rm AB}}{\sin{\angle \rm C}}=2R )] }}} * [[원주각]]의 성질에 의하여 다음이 성립한다. [math({\rm acrd})]는 [[삼각함수/관련 함수#s-2.2|역현 함수]]이다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \angle{\rm A}&=\dfrac12\angle{\rm BOC} = \dfrac12{\rm acrd}\,\overline{\rm BC} \\ \angle{\rm B}&=\dfrac12\angle{\rm COA} = \dfrac12{\rm acrd}\,\overline{\rm AC} \\ \angle{\rm C}&=\dfrac12\angle{\rm AOB} = \dfrac12{\rm acrd}\,\overline{\rm AB} \end{aligned} )] }}} == 내심 == [[파일:namu_내심_NEW_NEW_NEW.png|width=270&align=center]] 삼각형에 내접하는 원의 중심 혹은 세 내각의 이등분선의 교점을 '''내심'''이라고 한다. 보통 기호 [math(\rm I)]로 표시한다. 이등변삼각형의 외심과 내심은 꼭지각의 이등분선 위에 있다. === 성질 === 1. 삼각형의 내심에서 각 변에 내린 수선의 길이는 모두 같다. 1. 삼각형의 두 꼭짓점과 내심을 이은 각은 나머지 한 꼭짓점이 이루는 각을 [math(\dfrac{1}{2})]배 한 뒤 [math(90^{\circ})]를 더한 것과 같다. 1. 삼각형의 넓이는 세 변의 길이를 [math(a)], [math(b)], [math(c)], 내접원의 반지름을 [math(r)]이라 하면, [math(\dfrac{1}{2}r(a+b+c))]이다. == 무게중심 == [[파일:namu_무게중심_NEW.png|width=215&align=center]] 삼각형의 세 중선의 교점을 무게중심이라고 한다. 보통 기호 [math(\rm G)]로 표시한다. === 성질 === * 평면좌표 상의 세 점 [math(A\left(x_1,y_1\right), B\left(x_2,y_2\right), C\left(x_3,y_3\right))]이 꼭짓점인 삼각형의 무게중심 [math(G)]의 좌표는 [math(\displaystyle \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right))]임을 유도할 수 있다. 즉 (1) 세 중선의 교점과 (2) 삼각형의 세 꼭지점의 (물리학적) 무게중심 두 점은 일치한다. 대학 과정에서는 이 점과 (3) 삼각형 전체 영역의 (물리학적) 무게중심도 일치하다는 것을 증명할 수 있지만, 증명에 [[중적분]]이 필요하기 때문에 고교과정에서는 맞다고 가정하고 넘어간다. * 삼각형의 각 변을 일정한 비율로 내분한 점들을 이어 만든 삼각형의 무게중심은 원래 처음의 삼각형의 무게중심과 일치한다. * 무게중심을 구하기 위하여 그은 선으로 만들어진 6개의 삼각형의 넓이는 모두 같다. * 고급 평면기하학에서 무게중심은 물리적인 의미와는 전혀 별도로, 다른 오심들과 엮여서 수많은 성질들과 정리들을 탄생시키므로 주된 연구대상이 되었다. == 수심 == [[파일:namu_수심_NEW.png|width=215&align=center]] 삼각형의 세 꼭짓점에서 대변에 수선을 그었을때 그 세 수선이 만나는 교점을 수심이라고 한다. 보통 기호 [math(\rm H)]로 표시한다. 6차 교육과정까지는 중등교육과정 상에 있었지만 7차 교육과정에 오면서 삭제되었다. 기존에는 내심, 외심, 무게중심이랑 같이 배웠다. 수심과 외심의 관계를 설명하는 정리가 바로 '''세르보어 정리'''이며, 수심의 성질을 이용해 [[구점원]]의 성질을 유도할 수 있다. === 성질 === 둔각삼각형의 수심은 삼각형 밖에 있다. 직각삼각형의 경우도, [[특수각#s-7|직각]]을 끼고 있는 꼭짓점이 수심이 된다. [[구면삼각형]]은 특이하게 수심을 최소 3개, 직각삼각형인 경우에 한해 4개까지 갖는다. == 방심 == [[파일:namu_방심_1_수정.png|width=235&align=center]] 삼각형에서 한 내각의 이등분선과 다른 두 외각의 이등분선의 교점이고, 아래와 같이 한 삼각형에 3개 존재한다. 보통 방심과 대칭 관계의 점이 [math(\rm A)]인 경우, [math(\rm{I_{A}})]로 표시한다. [[파일:namu_방심_2.png|width=255&align=center]] 교육과정에서 수심이랑 함께 삭제된 내용이다. 정규 교과과정 상에서는 삭제되었기 때문에 학교에서 배울 때도 쓸데 없고 문제도 안 나온다고 하고 무시해버리는 쿨한 선생님들이 많다. 특히 한 내각을 설정해야 하기 때문에 한 삼각형에 세 개가 존재하며, 따라서 방접원도 세 개가 존재하게 되고 이를 이용해 객관식, 주관식, 서술형으로 문제 내기 귀찮아서 포기하는 경우도 많다. 물론 방심이라는 명칭 없이 모양만 시험문제에 나올 수도 있다. === 성질 === 방심을 모두 이은 삼각형은 원래 삼각형의 쌍대 관계이다. 참고로, 내심에서 성립하는 대부분의 성질은 방심에서도 유사하게 성립한다. == 오일러 직선 == 삼각형의 외심, 무게중심, 수심, 구점원의 중심은 항상 일직선 위에 있는데, 이를 오일러 직선이라고 한다. 본 증명으로 들어가자면, AH//OM이고, AH=2OM이므로 AM과 OH의 교점을 G라 하면 닮음에 의해 AG:GM=2:1이므로 G는 삼각형 ABC의 무게중심이다. 따라서 삼각형 ABC의 무게중심은 두 직선 AM과 HO의 교점이고, 따라서 O, G, H는 이 순서대로 한 직선 위에 있다. 이때 OG:OH=1:3이 된다. 세르보어의 정리를 이용해 구점원의 중심도 그 위에 있음을 보일 수 있다. == 오심과 관련된 정리 == [[오심과 관련된 정리]] 문서 참조 [[분류:삼각형]]