[목차] == 개요 == '''프톨레마이오스'''의 저서 알마게스트(Almagest)에 최초로 언급되어 정리되었으며, 그 이후 삼각법을 다루는 데 중요한 공식 중의 하나다. 특히 이 삼각함수의 덧셈정리는 문제를 박박 꼬면 정말 미칠 듯한 난도를 자랑한다. 본 덧셈정리들의 증명법 또한 알아두어야 한다. == 공식 == (이하 [[복부호 동순]]) * [math(\sin\left(\alpha\pm\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta)] * [math(\cos\left(\alpha\pm\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta)] * [math(\displaystyle\tan\left(\alpha\pm\beta\right)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta})] [[복소수]]에서는 다음과 같다.[* 밑에서 증명을 보면 알겠지만, 위의 세 등식도 복소수 범위의 [math(\alpha, \beta)]에 대해 잘 성립한다.][* [math(\sinh, \cosh, \tanh)]은 [[쌍곡선 함수]]이다.] * [math(\sin\left(\alpha\pm i \beta\right)=\sin\alpha\cosh\beta\pm i \cos\alpha\sinh\beta)] * [math(\cos\left(\alpha\pm i \beta\right)=\cos\alpha\cosh\beta\mp i \sin\alpha\sinh\beta)] * [math(\displaystyle\tan\left(\alpha\pm i \beta\right)=\frac{\tan\alpha\pm i \tanh\beta}{1\mp i \tan\alpha\tanh\beta})] === 외우는 요령 === 싸코플코싸 코코마싸싸 ||<tablebgcolor=#eaf2f4,#111e21> sin(α+β) || = || sinα · cosβ || + || cosα · sinβ || ||[* '싸고 풀고 싸'라는 바리에이션도 있다. ~~화장실도 아니고 더럽게~~]|| || 싸코 || 플 || 코싸 || || cos(α+β) || = || cosα · cosβ || - || sinα · sinβ || ||<-2> || 코코 || 마 || 싸싸 || || tan(α+β) || = || [math(\dfrac{tan α + tan β}{1 - tan α · tan β})] || ||<-2> || 일 마 탄탄 분의 탄 플 탄 || 가장 기본적이고 널리 알려진 방법 중 하나. 마이너스일 때는 +- 부호를 뒤집으면 된다. || sin(α+β) = 신(sin)코(cos)픈(+)꽃(cos)신(sin) || || cos(α+β) = 고(cos)구(cos)마(-)사(sin)소(sin) || 이런 배리에이션도 있다. === 증명 === * 단위원을 이용한 증명 [[파일:SHEt6fl.png]] ||단위원의 중심을 O, 양의 x축을 시초선으로하고 각의 크기가 각각 [math(\beta, \alpha)]인 동경이 단위원과 만나는 점을 각각 [math(\rm B, C)]라고 하자 (즉, [math({\rm \angle AOB}=\beta, \angle {\rm AOC}=\alpha)]). 그럼 두 점의 좌표는 [math({\rm B}\left(\cos\beta, \sin\beta\right), {\rm C}\left(\cos\alpha, \sin\alpha\right))]이다. 두 점 사이의 거리를 구하는 공식으로 부터, [math(\overline{\rm BC}^2=\left(\cos\beta-\cos\alpha\right)^2+\left(\sin\beta-\sin\alpha\right)^2=\left(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha\right)+\left(\cos^2\beta+\sin^2\beta\right)-2\left(\cos\beta\cos\alpha+\sin\beta\sin\alpha\right)=2-2\left(\cos\beta\cos\alpha+\sin\beta\sin\alpha\right))]. 한편, 코사인법칙으로부터, [math(\overline{\rm BC}^2=1^2+1^2-2\cdot1\cdot1\cdot\cos\left(\alpha-\beta\right))]이다. 따라서, [math(\cos\left(\alpha-\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta)]. 여기서 [math(\beta)]에 [math(-\beta)]를 대입하면 [math(\cos\left(\alpha+\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)]. || ||한편, [math(\displaystyle\sin\left(\alpha+\beta\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\left(\alpha+\beta\right)\right)=\cos\left(\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)-\beta\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\cos\beta+\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\sin\beta=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)]. 여기서[math(\beta)]에 [math(-\beta)]를 대입하면 [math(\sin\left(\alpha-\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta)]. || ||마지막으로, [math(\displaystyle\tan\left(\alpha+\beta\right)=\frac{\sin\left(\alpha+\beta\right)}{\cos\left(\alpha+\beta\right)}=\frac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta})]. 여기서 분자, 분모를 [math(\cos\alpha\cos\beta)]로 나누면 [math(\displaystyle\tan\left(\alpha+\beta\right)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta})]. 여기서 [math(\beta)]에 [math(-\beta)]를 대입하면 [math(\displaystyle\tan\left(\alpha-\beta\right)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta})]. || * 벡터를 이용한 증명 ||두 벡터 [math(\vec{\rm OB}, \vec{\rm OC})]의 내적을 구하면, [math(\vec{\rm OC}\cdot\vec{\rm OB}=\left|\vec{\rm OC}\right|\cdot\left|\vec{\rm OB}\right|\cos\left(\angle {\rm COB}\right)=1\cdot1\cdot\cos\left(\alpha-\beta\right))]. 한편 두 벡터의 내적을 성분으로 나타내면, [math(\vec{\rm OC}\cdot\vec{\rm OB}=\left(\cos\alpha, \sin\alpha\right)\cdot\left(\cos\beta, \sin\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta)]. 따라서 [math(\cos\left(\alpha-\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta)]. || ||사인 및 탄젠트의 덧셈정리 증명은 위의 '단위원을 이용한 증명' 부분을 참고하면 된다.|| * 미분을 이용한 증명 || [math(\left( \sin x \right)'=\cos x ,\,\left( \cos x \right)'=-\sin x)]임을 알고 있다. 임의의 실수 [math(a)]에 대하여 [math(a)]를 고정한 후 [math(f(x)=\cos (a-x)\cos x-\sin x \sin (a-x))]로 놓으면 [math(f'(x)=\sin (a-x)\cos x-\cos(a-x) \sin x- \cos x \sin(a-x)+\sin x \cos(a-x)=0)]이다. 또한 [math(f(0)=\cos a)]이므로 [math(f(x)=\cos (a-x)\cos x-\sin x \sin (a-x)=\cos a)]이다. 이 때 모든 실수 [math(x,\,y)]에 대하여 [math(a=x+y)]로 놓으면 [math(\cos(x+y)=\cos x \cos y-\sin x \sin y)]이다. || 단위원을 이용한 삼각함수의 정의에서는 삼각함수의 미분을 덧셈정리로부터 유도하기 때문에 이러한 방법이 불가능하지만, 삼각함수를 처음부터 무한 급수로 정의하는 경우에는 이러한 방법으로 삼각함수의 덧셈정리를 증명한다. * '''오일러 공식을 이용한 증명''' ||[math(e^{i\alpha}=\cos\alpha+i\sin\alpha)]이므로, [math(e^{\left(i\alpha+i\beta\right)}=\cos\left(\alpha+\beta\right)+i\sin\left(\alpha+\beta\right))]. 한편, [math(e^{\left(i\alpha+i\beta\right)}=e^{i\alpha}\cdot e^{i\beta})]이므로, 실수부와 허수부를 나눠주면 된다. [br] [math(\cos\left(\alpha+\beta\right)=\Re\left(e^{i\alpha}\cdot e^{i\beta}\right)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)] [br] [math(\sin\left(\alpha+\beta\right)=\Im\left(e^{i\alpha}\cdot e^{i\beta}\right)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)]|| --오일러! 오일러!-- 복소수의 곱셈과 상등 그리고 [[오일러의 공식]]을 이용해서 순식간에 증명해냈다! 이것 말고도 삼각함수의 합성을 제외한 많은 공식은 오일러의 등식을 사용하면 매우 쉽게 풀린다. 외울 필요가 없어질 정도. 위 방법 외에도 닮음, 일차변환, 삼각형의 넓이를 이용한 증명 등 여러 가지 방법이 있다. == 삼각함수의 합성 == 삼각함수의 덧셈정리를 응용해서 [math(a\sin\theta+b\cos\theta)]형태로 나타난 삼각함수를 아래와 같이 하나로 합칠 수 있다. || 1. [math(\displaystyle a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\sin\left(\theta+\alpha\right), \, \left(\cos\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, \sin\alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right))][* [math(a\sin \theta+b\cos \theta=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sin\left(\theta+\frac{\left|b\right|}{b}\arccos\left(\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\right)\right))]] 2. [math(\displaystyle a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\cos\left(\theta-\beta\right), \, \left(\cos\beta=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}, \sin\beta=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right))] || 증명은 그림을 그려서 각 [math(\alpha)]나 [math(\beta)]를 찾아서 합성하거나, 아니면 우변에 있는 합성된 삼각함수를 덧셈정리로 풀어서 정리하면 된다. == 배각, 반각 공식 == 삼각함수의 덧셈정리에서 두 각을 같게 놔두면 2배각의 공식을 만들 수 있다. ||[math(\begin{aligned} &\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha \\ &\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha \\ &\tan 2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha} \end{aligned})]|| 특히 코사인의 2배각 공식은 3가지 형태가 있는데, [math(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1)]를 이용해서 변형한 것이다. 덧셈정리에서 두각을 [math(\alpha, 2\alpha)]로 놔두면 3배각의 공식을 만들 수 있다. ||[math(\begin{aligned} &\sin 3\alpha=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha \\ &\cos 3\alpha=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha \end{aligned})]|| 증명은 덧셈정리를 이용해서 쭉 풀어나가면 된다. n배각 공식의 일반화는 [[https://en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev_polynomials|쳬비쇼프 다항식]]이라 불리며 나름 특이한 성질이 있다. 아니면 또 오일러 공식을 이용해 n배각의 경우 n제곱과 이항정리만으로 유도할 수 있다. 또한, 코사인의 2배각 공식에서 반각 공식을 유도할 수 있다.[math(\alpha)]대신 [math(\alpha/2)]를 대입하면 된다. ||[math(\begin{aligned} \displaystyle &\sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2} \\ &\cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{2} \\ &\tan^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}\end{aligned})]|| ~~얘는 덧셈정리처럼 벡터로 증명 못 하나~~[* 증명하지 못하는 건 아니지만, 벡터의 회전변환 자체가 삼각함수의 합차공식에서 유도되는지라 회전변환에서 역으로 합차공식을 가져오는 것이 조금 더 복잡해진다. 간단히 말해서 좌표평면을 일단 극좌표 형식으로 바꿔줘야 하는데, 이 과정에서 삼각함수를 사용하기 때문. 오히려 회전행렬을 이용하는 게 빠르다.] == 곱을 합 또는 차로 바꾸는 공식 == 위의 합차공식에서 두 식을 적당히 더하거나 뺀 뒤, 넘겨서 정리하면 나온다. * [math(\displaystyle\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta) ] )] * [math(\displaystyle\cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta) ] )] * [math(\displaystyle\cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta) ] )] * [math(\displaystyle\sin\alpha\sin\beta=-\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta) ] )] == 합 또는 차를 곱으로 바꾸는 공식 == 위 문단의 곱을 합차로 바꾸는 공식에서 유도되는 또다른 공식. [math(\alpha+\beta=A, \alpha-\beta=B)]로 치환한뒤 [math(\alpha, \beta)]에 관해서 풀면, [math(\displaystyle\alpha={(A+B)}/{2})], [math(\displaystyle \beta={(A-B)}/{2})]이고, 이 값을 식에 대입한 뒤 좌변과 우변을 바꾸면 아래 공식을 얻는다. * [math(\displaystyle\sin A+\sin B=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2})] * [math(\displaystyle\sin A-\sin B=2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2})] * [math(\displaystyle\cos A+\cos B=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2})] * [math(\displaystyle\cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2})] == [[복소수]]의 경우 == 간단히 [math(\sin\beta)] → [math(i \sinh \beta)], [math(\cos\beta)] → [math(\cosh \beta)]로 갈음하면 된다. * [math(\sin(\alpha+i \beta)=\sin\alpha\cosh\beta+i\cos\alpha\sinh\beta)] * [math(\sin(\alpha-i \beta)=\sin\alpha\cosh\beta-i\cos\alpha\sinh\beta)] * [math(\cos(\alpha+i \beta)=\cos\alpha\cosh\beta-i\sin\alpha\sinh\beta)] * [math(\cos(\alpha-i\beta)=\cos\alpha\cosh\beta+i\sin\alpha\sinh\beta)] == 적용 == (1) [math(\sin75\degree=\sin30\degree\cos45\degree+\cos30\degree\sin45\degree)]=[math(\dfrac{1}{2}\dfrac{\sqrt2}{2}+\dfrac{\sqrt3}{2}\dfrac{\sqrt2}{2}=\dfrac{\sqrt2+\sqrt6}{4})][* 이를 알면 삼각함수의 성질에 의해 [math(\cos75°)]의 값을 알 수 있고, 여각 공식을 이용하면 15°의 삼각함수 값 역시 구할 수 있다.] (2) 삼각함수의 [[도함수]]를 유도할 때, 덧셈정리를 이용한다. 예를 들어 [math(\sin)]함수의 경우, [math(\sin(x+h))]를 덧셈정리로 전개한 후 약분하여 구한다. 자세한 내용은 [[삼각함수/도함수]] 문서 참고. (3) 여러 삼각함수가 곱해진 꼴을 적분할 때, 곱을 합 또는 차로 바꾸면 쉽게 적분할 수 있다. (4) 좌표평면에서 두 직선이 이루는 각의 [math(\tan)]값을 구할 수 있다.[* [[기하(2015)]]에 나오는 벡터의 내적을 이용할 수도 있다.] == 관련 문서 == * [[삼각함수]] [[분류:기하학]] [각주] [include(틀:문서 가져옴, title=삼각함수의 합차공식,version=35)]