[include(틀:다른 뜻1, from=tan, other1=군수품에서 주로 쓰는 색깔, rd1=탄, paragraph1=4)] [include(틀:토론 합의, 토론주소1=SoreChillyCoolBody, 합의사항1=무한급수(테일러 급수)로 사인과 코사인으로 나타내는 것을 '정의'로 인정하되 해석기하학적인 정의(평면좌표와 원의 방정식을 이용한 정의)보다 앞서 서술하지 않을 것, 토론주소2=SoreChillyCoolBody, 합의사항2=삼각방정식이라는 표현을 유지하되 삼각부등식은 삼각함수부등식으로 바꿀 것, 토론주소3=AForegoingAndStereotypedTrucks, 합의사항3=삼각함수에 관한 식이 오역이라는 의견을 존치할 것)] [include(틀:하위 문서, top1=삼각함수/도함수, top2=삼각함수/역도함수, top3=삼각함수/관련 함수)] * 착오 여지가 있어 작성해 둡니다. [[https://namu.wiki/thread/SoreChillyCoolBody|이 토론]]에서 두 가지 합의안이 나왔습니다. [*합의안1 무한급수(테일러 급수)로 사인과 코사인으로 나타내는 것을 '정의'로 인정하되 해석기하학적인 정의(평면좌표와 원의 방정식을 이용한 정의)보다 앞서 서술하지 않을 것][*합의안2 삼각방정식이라는 표현을 유지하되 삼각부등식은 삼각함수부등식으로 바꿀 것] 토론 제목이 적절하지는 않은데, [[https://board.namu.wiki/qna/1873512|사측 문의]] 결과 권장하지는 않지만 가능은 하다고 합니다. [include(틀:초등함수의 목록)] [목차] == 개요 == {{{+1 [[三]][[角]][[函]][[數]] / trigonometric function[* 다른 이름으로 angle function(각 함수), circular function([[원(도형)|원]] 함수), goniometric function(각도 함수) 등이 있다.]}}} [[삼각비]]에서 쓰이는 정의역을 예각[* [math(0\degree)]에서 [math(90\degree)]사이의 각]에서 일반각[* 기존의 예각은 물론 예각이 아닌 각까지 포함하는 더 넓은 개념]으로 확장시킨 것을 삼각함수라고 한다. 일반각을 정의하는 방법에는 도([math(\degree)])를 단위로 하는 [[육십분법]]과 [[라디안]]([math(\rm rad)])을 단위로 하는 [[호도법]]이 있다. * [[육십분법]](단위 [math(\degree)])은 시초선을 기준([math(0\degree)])으로 하여 1회전을 [math(360\degree)]로 정의하는 각이다. [include(틀:상세 내용, 문서명=각)] * [[호도법]](단위 [math(\rm rad)])은 부채꼴에서 중심각의 크기와 호의 길이가 반지름에 비례한다는 특징과, '원주가 지름의 [math(\pi)]배(=원주가 반지름의 [math(2\pi)]배)'라는 성질을 이용하여 정의되는 각[* [[파일:external/upload.wikimedia.org/400px-Angle_radian.svg.png|width=200px&bgcolor=#fff]][br][[파일:radians.png|width=500px]][br][math(\pi\,\rm rad = 180 \degree)]이다.]이다. [[차원#측정학]]이 존재하지 않는다.[* 보통 [[단위]]가 존재하지 않는다고 잘못 알려져 있다.] [include(틀:상세 내용, 문서명=라디안)] * [[삼각비]]를 일반화, 즉 넓은 범위로 확장한 함수(충분조건)이기 때문에 그 기호와 기원 역시 삼각비의 기원과 동일한 것으로 알려져 있다.[* 흔히 삼각함수와 동일한 것으로 착각하지만 삼각비에서는 [math(0 \degree)]와 [math(90 \degree)]에서 값이 정의되지 않는다. 단, 극한값은 존재한다.] [include(틀:상세 내용, 문서명=삼각비)] 함수의 기호는 [[삼각비]]와 동일한 [math(\sin)], [math(\cos)], [math(\tan)], [math(\csc)], [math(\sec)], [math(\cot)]를 쓴다. 함수의 거듭제곱이 [[합성함수|반복합성함수(iterated function)]]를 의미하는 것으로 재정의[* 즉, 일반적으론 [math(f^2\left(x\right) = \left(f \circ f\right)\left(x\right) = f\left(f\left(x\right)\right))]이고 [math(f^2\left(x\right) \ne \left\{f\left(x\right)\right\}^2)]이다.]되기 이전에, 삼각함수에서는 거듭제곱 표기가 전통적으로 함수값의 거듭제곱을 의미하는 것으로 쓰여왔기 때문에 주의해야 한다.[* 단, 지수 [math(-1)]의 경우는 예외인데, [math(\sin^{-1}x)]는 [math(\dfrac1{\sin x})]이 '''아니다'''. 이유는 [[역삼각함수|이곳]] 참조. 그래서 역수인 경우는 위에도 나와 있듯이 고유의 함수 표기[math(\left(\dfrac1{\sin\theta}=\csc\theta\right.)], [math(\dfrac1{\cos\theta}=\sec\theta)], [math(\left.\dfrac1{\tan\theta}=\cot\theta\right))]가 별도로 존재한다. 사족으로 [[로그함수]] 역시 이런 꼴의 지수 표기를 쓴다. [math(\ln^2 x = \left(\ln x\right)^2 \ne \left(\ln \circ \ln\right)\left(x\right) = \ln\left(\ln x\right))] ] ||<tablebordercolor=#000,#888><tablealign=center><tablecolor=#373a3b,#c4c7c8><tablebgcolor=#fff,#191919> [math(\sin^2x = \left(\sin x\right)^2 \ne \left(\sin \circ \sin \right)\left(x\right) = \sin\left(\sin x\right))] || == 정의 == === [[원(도형)#s-2|좌표와 원]]으로 정의하기 ([[해석기하학]]) === --[[삼각함수의 노래|정의를 정확하게 알아야지요]]-- [include(틀:다른 뜻1, other1='원의 방정식'에 대한 개념이 선행되지 않았을 경우\, 이, rd1=원(도형)/방정식)] [[좌표]] 평면의 원점 [math(\rm O)]에 대해 [math(x)]축의 양의 방향을 시초선[* 사실 시초선은 시점이 [math(\rm O)]인 반직선일 뿐이며 위치는 어떻게 잡아도 상관이 없다. 굳이 [math(x)]축 양의 방향으로 잡은 이유는 [math(xy)]좌표 평면과 [[극좌표계]]간의 변수 변환이 편리하기 때문이다.]으로 잡는다. 중심이 [math(\rm O)]이고 반지름 [math(1)]인 [[원(도형)#s-2|단위원]] [math(C_1:~x^2+y^2=1)] 위에 있는 임의의 점을 [math(\mathrm P \left(x,~y\right))]라고 하자. [math(\rm O)]를 중심으로 [[시초선]]에서 반시계 방향 회전을 각의 양의 방향으로 잡고, 그 각의 크기를 [math(\theta)]라고 하면, 다음과 같이 삼각함수를 점 [math(\mathrm P\left(x,~y\right))]의 좌표만으로 정의할 수 있다. ||<tablebordercolor=#000,#888><tablealign=center><tablecolor=#373a3b,#c4c7c8><tablebgcolor=#fff,#191919> [math(\begin{array}{cc} \begin{aligned} \cos\theta &= x \\ \sin\theta &= y \\ \tan\theta &= \dfrac yx \end{aligned} & \begin{aligned} \sec\theta &= \dfrac1{\cos\theta} = \dfrac1x \\ \csc\theta &= \dfrac1{\sin\theta} = \dfrac1y \\ \cot\theta &= \dfrac1{\tan\theta} = \dfrac xy \end{aligned} \end{array})] || 그동안 [[직각삼각형]]으로만 정의해왔던 것에 익숙한 사람은 위와 같은 정의가 낯설 수 있다. 하지만 잘 생각해보면 [math(\theta)]가 예각일 때, 위의 관계식은 빗변의 길이가 [math(1)]인 직각삼각형에서 [[삼각비]]를 정의했던 것과 완전히 같다는 것을 알 수 있다. 차이점이라면 더 이상 (음수가 될 수 없는)'길이' 개념에서 벗어나 '좌표'를 이용하기 때문에 직각삼각형에 구애받을 필요가 없고, 따라서 [math(\theta)]가 일반각으로 확장된다. 그렇다면 이제 삼각함수를 반지름이 [math(r)]인 원으로 일반화할 수 있게 된다.[* [[대한민국]] 고등학교 과정에서는 이와 같이 일반적인 원으로 삼각함수를 정의한다. 사인, 코사인, 탄젠트는 [[2015 개정 교육과정]] 기준으로는 고등학교 [[수학Ⅰ(2015)|수학Ⅰ]] 과정에 있으며, 코시컨트, 시컨트, 코탄젠트는 고등학교 [[미적분(교과)|미적분]] 과정에 있다.] 중심이 [math(\rm {O})]이고 반지름이 [math(r\left(r>0\right))]인 원 [math(C_r:~x^2+y^2=r^2)] 위에 있는 임의의 점의 좌표를 [math(\mathrm P\left (x,~y\right))]라고 할 때, 삼각함수는 다음과 같이 정의된다. ||<tablebordercolor=#000,#888><tablealign=center><tablecolor=#373a3b,#c4c7c8><tablebgcolor=#fff,#191919> [math(\begin{array}{cc} \begin{aligned} \cos\theta &= \dfrac xr \\ \sin\theta &= \dfrac yr \\ \tan\theta &= \dfrac yx \end{aligned} & \begin{aligned} \sec\theta &= \dfrac rx \\ \csc\theta &= \dfrac ry \\ \cot\theta &= \dfrac xy \end{aligned} \end{array})] || === [[무한급수]]로 사인·코사인 정의하기 ([[해석학]]) === [include(틀:다른 뜻1, other1='무한급수', rd1=급수(수학), paragraph1=3, other2='비율 판정법', rd2=급수(수학), paragraph2=3.6, other3=사인함수와 코사인함수 이외의 다른 삼각함수에 대한 테일러 급수, rd3=테일러 급수/목록, paragraph3=4.2)] [[무한급수]]를 활용하여 삼각함수를 다음과 같이 [[테일러 급수]]로도 정의할 수 있다. 이 방법은 [[해석기하학]](평면 좌표)에 의존하지 않으며 복소수나 정사각행렬 등으로도 확장할 수 있다. 이렇게 정의하면 원주율 [math(\pi)]는 코사인 함수의 근 중 가장 작은 양수의 2배로 정의된다. 기하학적으로 [math(\cos\dfrac\pi2=0)]을 반대로 접근하는 것인 셈. 그러면 단위원의 넓이는 [math(\pi)]이고 원주는 [math(2\pi)]가 되는데, 당연하겠지만 기존 기하학의 결과와 완전히 일치한다. 삼각함수를 기하학적으로 정의하면 삼각함수의 미적분에서 [math(\lim_{x\to0}\limits\dfrac{\sin x}x = 1)]임을 증명하는 과정에서 기하학적인 원넓이의 공식을 이용하기 때문에 순환논리에 빠지지만(아래 [[삼각함수#특수한 극한값을 갖는 합성함수|특수한 극한값을 갖는 합성함수]] 항목 참조), 무한급수로 삼각함수를 정의하면 이 순환논리를 피할 수 있다. ||<tablealign=center><tablebordercolor=#000,#888><tablecolor=#373a3b,#c4c7c8><tablebgcolor=#fff,#191919> [math(\begin{aligned} \sin x &= x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\dfrac{x^7}{7!}+\cdots\cdots \\ \cos x &= 1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\dfrac{x^6}{6!}+\cdots\cdots \end{aligned})] || ||<tablealign=center><tablecolor=#373a3b,#c4c7c8><tablebordercolor=#000,#888><tablebgcolor=#fff,#191919>{{{#!folding 【비율 판정법으로 수렴 · 발산 여부 확인하기】 수열 [math(a_n)] 을 다음과 같이 가정하자. ||<tablealign=center><tablebordercolor=#000,#888><tablebgcolor=#fff,#191919> [math(a_n := \dfrac{x^n}{n!})] || 그러면 이 수열에 관한 [math(\sin x)], [math(\cos x)]의 식을 다음과 같이 나타낼 수 있다. ||<tablealign=center><tablebordercolor=#000,#888><tablebgcolor=#fff,#191919> [math(\begin{aligned} \displaystyle \sin x &= x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots\cdots = \sum_{k=1}^\infty \left(-1\right)^{k+1}a_{2k-1} \\ \cos x &= 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots\cdots = \sum_{k=0}^\infty \left(-1\right)^ka_{2k}\end{aligned})] || 이를 비율로 나타내었을 때, 각각 ||<tablealign=center><tablebordercolor=#000,#888><tablebgcolor=#fff,#191919> [math(\begin{aligned} \sin x &\to -\dfrac{a_{2k+1}}{a_{2k-1}} \\ \cos x &\to -\dfrac{a_{2k+2}}{a_{2k}} \end{aligned})] || 이며, 이것들의 [[절댓값]]의 [[극한]]을 구한다. 이를 수열 [math(a_n)]에 관한 식으로 정리하면 다음과 같다. ||<tablealign=center><tablebordercolor=#000,#888><tablebgcolor=#fff,#191919> [math(-\dfrac{a_{k+2}}{a_k} = -\dfrac{\dfrac{x^{k+2}}{\left(k+2\right)!}}{\dfrac{x^k}{k!}}=-\dfrac{x^2}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)})] || 이때 [math(x)]가 고정되어있으므로 [math(\displaystyle \lim_{k\to\infty}\frac{x^2}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}=0)]이다. 비율판정법의 따름정리에 의하여 위에서 나타낸 식 [math(\begin{cases}\displaystyle\sin x = \sum_{k=1}^\infty \left(-1\right)^{k+1}a_{2k-1} = \sum_{k=1}^\infty \frac{\left(-1\right)^{k+1}x^{2k-1}}{(2n-1)!} \\ \displaystyle \cos x = \sum_{k=0}^\infty \left(-1\right)^ka_{2k} = \sum_{k=0}^\infty \frac{\left(-1\right)^{k}x^{2k}}{(2n)!}\end{cases})] 이 성립하며, 어떤 실수 [math(x)]값을 대입하더라도 반드시 수렴한다. 또한 이 급수의 수열은 절대 수렴하는 수열이기 때문에 복소수를 대입하더라도 마찬가지로 정의에 따라 절대적으로 수렴함이 확인된다.[* 절대수렴하는 수열합에 한해서는 수열의 배치를 바꾸더라도 수열합은 변하지 않는다. 이를 이용하여 복소수의 거듭제곱의 실수부와 허수부의 위치를 재조정해서 실수부와 허수부가 한 값으로 수렴함을 보일 수 있다. 다만 이는 절대수렴하지 않는 수열합에 대해서는 성립하지 않는 성질이다. 예를 들어서 [math(a_n=\dfrac{\left(-1\right)^n}n)]이라고 하면, 이 수열은 수렴하지만 절대수렴하지 않는데, 이 경우 [math(\displaystyle \sum_{k=1}^\infty a_n)]의 순서를 재조정하면 원래 값의 2배, 3배 이상을 만드는 것도 가능하다. 하지만 절대수렴하는 수열인 [math(b_n=2^{-n})]의 경우, 이 수열은 순서를 어떻게 재조정하더라도 [math(\displaystyle \sum_{k=1}^\infty b_n=1)]이 보장된다.] }}} || == 여러 가지 항등식 == 주로 [math(\cos \theta)]와 [math(\sin \theta)]에 관한 공식들이다.[* [[주입식 교육|아마 학창시절에 학원이나 학교에서 '사코코사'등의 명칭으로 외운 사람들이 많을 것이다.]] [[한석원|신코코신이라고 하는 경우도 있다.]] --그리고 대학에서 오일러 공식으로 한방에 유도하는 걸 보고 허탈해한다.--] [math(i)]는 [[허수|허수단위]], [math(e)]는 [[자연로그의 밑]]이다. ||<tablebordercolor=#fff,#191919><tablecolor=#373a3b,#c4c7c8><tablebgcolor=#fff,#191919>'''''' * [math(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1)][* 증명은 [[피타고라스 정리]]와 삼각함수의 정의로부터 바로. 무한급수를 이용하여 삼각함수를 정의한다면 삼각함수의 미분법을 먼저 증명한 후 이 식의 도함수가 0이므로 상수함수이고, 그 상수가 1이라는 식으로 증명한다.] * [math(\begin{cases}\begin{aligned} \sin\left(\alpha \pm \beta\right) &= \sin\alpha \cos\beta \pm \cos\alpha \sin\beta \\ \cos\left(\alpha \pm \beta\right) &= \cos\alpha \cos\beta \mp \sin\alpha \sin\beta \\ \cos\left(\alpha \pm i \beta\right) &= \cos\alpha \cosh\beta \mp i\sin\alpha \sinh\beta \end{aligned}\end{cases})] ([[삼각함수의 덧셈정리]])[* 삼각함수의 합차 공식을 포함한 여러 공식이 이로부터 유도되기에, 공식들을 외우려고 한다면 적어도 이것만은 기억하자.] * [math(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta)] ([[오일러 공식]]) * [math(e^{i\pi} + 1 = 0)] ([[오일러 등식]]) * [math( \left(e^{i\theta}\right)^n = \left(\cos\theta + i\sin\theta\right)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta)] ([[드 무아브르 공식]]) * [math(\begin{cases} \begin{aligned} \sin\alpha \pm \sin\beta &= 2\sin\dfrac{\alpha \pm \beta}2 \cos\dfrac{\alpha \mp \beta}2 \\ \cos\alpha + \cos\beta &= 2\cos\dfrac{\alpha + \beta}2 \cos\dfrac{\alpha - \beta}2 \\ \cos\alpha - \cos\beta &= -2\sin\dfrac{\alpha + \beta}2 \sin\dfrac{\alpha - \beta}2 \end{aligned} \end{cases})] ([[삼각함수의 합차공식]]) * [math(\begin{cases}\begin{aligned} \sin\alpha \cos\beta &= \dfrac{\sin\left(\alpha + \beta\right) + \sin\left(\alpha - \beta\right)}2 \\ \cos\alpha \sin\beta &= \dfrac{\sin\left(\alpha + \beta\right) - \sin\left(\alpha - \beta\right)}2 \\ \cos\alpha \cos\beta &= \dfrac{\cos\left(\alpha - \beta\right) + \cos\left(\alpha + \beta\right)}2 \\ \sin\alpha \sin\beta &= \dfrac{\cos\left(\alpha - \beta\right) - \cos\left(\alpha + \beta\right)}2 \end{aligned}\end{cases})] ([[삼각함수의 합차공식|삼각함수의 합차공식의 역]]) || == 함수의 주기성 및 그래프 == [include(틀:상세 내용, 문서명=사인곡선)] [[파일:animated-sinewave-f12565eb6d460980214a51b713905917.gif]] 삼각함수는 모두 주기함수[* 임의의 실수 범위의 함수 [math(f)]에 대하여 적당한 상수 [math(k\ne 0)]을 잡을 때, [math(f)]의 정의역에 속하는 임의의 [math(x)]에 대하여 [math(f\left(x+k\right)=f\left(x\right))]가 성립하면, [math(f)]를 주기함수라 하고, [math(k)]를 [math(f)]의 주기라 한다. 주기 중 양의 최솟값을 기본 주기라고 한다.]이며, 기본 주기가 [math(\pi)]인 [math(\tan)], [math(\cot)] 함수를 제외하고 모두 기본 주기가 [math(2\pi)]이다. 한편 [math(\cos)], [math(\sec)]은 [math(y)]축에 대칭인 [[대칭함수|짝함수]]이고, 나머지 넷은 원점에 대칭인 [[대칭함수|홀함수]]이다. === 결합함수의 주기 === 먼저 1차 결합인 삼각함수가 어떻게 생겼는지 알아보자. * [math(\displaystyle f(x) + 2\sin 2x + 3\sin \frac{5}{2x} )] > [math(1)]차 결합함수란 [math( y = a ⋅ f(x) + b ⋅ g(x) )] 를 나타내고 > [math(2)]차 결합함수란 [math( y = a ⋅ f(x) + b ⋅ g(x) + c ⋅ h(x) )] 를 나타낸다. > [math(n)]차 결합 함수는 [math( y = k_1 ⋅ f_1(x) + k_2 ⋅ f_2(x) + ⋅⋅⋅ + k_n ⋅ f_n(x) )] 으로 나타낸다. * 우선 1차결합인 삼각함수의 주기의 존재 여부를 확인해보자 || || [math( f(x) )] 의 주기 [math( T_1 )] || [math( g(x) )] 의 주기 [math( T_2 )] || || ① || 유리수 || 유리수 || || ② || 유리수 || 무리수 || || ③ || 무리수 || 무리수 || 이 세가지 경우가 존재한다. ① 일때 예시를 통해 주기가 존재하는지 확인해보자. * [math(\displaystyle f(x) + 2 ⋅ \sin \pi x + 3 ⋅ \cos \frac{5}{2}\pi x + 4 ⋅ \sin \frac{3}{2}\pi x )] == '삼각방정식'과 '삼각함수부등식' 풀이 == 삼각함수의 그래프를 이용하여 정해진 값에 해당되는 미지수의 값을 구하면 된다. 사인과 코사인이 같이 주어지는 경우 공식을 이용해 한 종류의 삼각함수로 고쳐야 하는데 그게 상당히 복잡하다. 함수의 그래프를 갖고 풀이하는 경우가 더 용이하나, 우변이 [[특수각]]으로 주어졌거나 [[역삼각함수|역함수]]를 이용해 지수방정식과 지수부등식처럼 대수적으로도 충분히 풀이가 가능하다. ||<tablebordercolor=#dbe4e8,#888><width=10%><rowbgcolor=#dbe4e8,#1a1c2a> '''{{{+1 예제1}}}''' ||<width=90%>삼각방정식 [math(\sin x = \dfrac12)]을 풀어라. (단, [math(0<x<2\pi)])|| ||<-2>'''(해석학적 풀이)''' 그래프 [math(y=\sin x )]와 그래프 [math(y=\dfrac12)]의 교점을 구한 뒤 [math(x)]축에 수선의 발을 내려 좌표의 값을 구하면, [math(x=\dfrac\pi6)] 또는 [math(x=\dfrac{5\pi}6)]이다.[br]'''(기하적 풀이)''' 사인은 [math(y)]축 좌표를 의미하므로, 단위원을 그린 뒤 [math(y=\dfrac12)]에 접하는 두 좌표에 해당하는 원주각을 구하면 [math(x=\dfrac\pi6)] 또는 [math(x=\dfrac{5\pi}6)]이다.[br]'''(대수적 풀이)''' [[특수각]]의 값을 외웠다면 [math(\sin\theta = \dfrac12)]에 해당하는 [math(\theta)] 값이 [math(\theta=\dfrac\pi6)] 또는 [math(\theta=\dfrac{5\pi}6)]라는 것을 알 수 있다. 혹은 [[역삼각함수|역관계]]인 [math(\arcsin)]을 이용해 [math(\arcsin \dfrac12 = \dfrac\pi6)][* 역함수를 이용할 경우 역함수의 존재 조건에 의해 해가 __유일__한 것에 주의.]임을 보일 수 있다. || == [[극한]]과 [[미적분]] == === 특수한 [[극한|극한값]]을 갖는 합성함수 === ||<tablebordercolor=#dbe4e8,#888><tablebgcolor=#dbe4e8,#1a1c2a>[math(\overline{\rm AB})]와 [math(\overline{\rm AC})]의 길이가 [math(1)]이고 [math(0 < \angle\mathrm A < \dfrac\pi2)]인 삼각형 [math(\rm BAC)]가 있다. 점 [math(\rm B)], [math(\rm C)] 사이에 반지름이 [math(1)]인 원호를 이어 부채꼴 [math(\rm BAC)]를 그린다. 또한 점 [math(\rm C)]를 지나는 [math(\overline{\rm AC})]의 수선이 반직선 [math(\overrightarrow{\rm AB})]와 만나는 점을 [math(\rm P)]라고 하자. 그러면 각 도형은 [math(\angle\rm A)]를 공유하며, 도형 크기의 대소관계로부터 (삼각형 [math(\rm BAC)]의 넓이) [math(<)] (부채꼴 [math(\rm BAC)]의 넓이) [math(<)] (삼각형 [math(\rm PAC)]의 넓이)라는 관계가 성립함을 알 수 있다. 이를 수식으로 나타내면 [math(\dfrac12 \sin\angle\mathrm A < \dfrac12\angle\mathrm A < \dfrac12 \tan\angle\mathrm A)]이다. [math(\sin\angle\rm A>0)]이므로 모든 변을 [math(\dfrac12 \sin\angle\rm A)]로 나눈다. 그러면 [math(1 < \dfrac{\angle\rm A}{\sin\angle\rm A} < \dfrac1{\cos\angle\rm A})]이 된다. 각 변은 모두 양수이므로 역수를 취한 뒤 부등호 방향을 바꿀 수 있다. 따라서 [math(1 > \dfrac{\sin\angle\rm A}{\angle\rm A} > \cos\angle\rm A)] 여기서 [[극한#s-6|샌드위치 정리(조임 정리)]]를 이용해 각 변에 양의 [[무한소]]로 가는 우극한을 취해주면 좌우변에서 모두 [math(1)]이라는 값이 나온다. 따라서 [math(\displaystyle \lim_{\angle\rm A \to 0^+} \frac{\sin\angle\rm A}{\angle\rm A} = 1)]이다. 한 편, [math(\angle\rm A)]를 [math(-\theta)]로 치환하면 [math(\theta)]는 양의 각이 아닌 음의 각으로서 다룰 수 있게 되고, [math(\dfrac{\sin\left(-\theta\right)}{-\theta} = \dfrac{-\sin\theta}{-\theta} = \dfrac{\sin\theta}\theta)]이므로, [math(\displaystyle \lim_{-\theta \to 0^+} \frac{\sin\left(-\theta\right)}{-\theta} = \lim_{\theta \to 0^-} \frac{\sin\theta}\theta = 1)]이다. 좌극한과 우극한이 동일하므로 극한값이 존재하며, 결론적으로 [math(\displaystyle \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin\theta}\theta = 1)]이 성립한다. 여기서 [math(\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta})]이므로 [math(\displaystyle \lim_{\theta \to 0} \frac{\tan\theta}\theta = \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin\theta}\theta\frac1{\cos\theta} = \lim_{\theta\to0}\frac{\sin\theta}\theta\lim_{\theta\to0}\frac1{\cos\theta} = 1\cdot1 = 1)]이므로 탄젠트에서도 성립한다.|| ||<tablebordercolor=#000,#888><tablealign=center><tablebgcolor=#fff,#191919><width=10%> '''정리''' || || [math(\begin{aligned} \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin\theta}\theta &= 1 \\ \lim_{\theta \to 0} \frac{\tan\theta}\theta &= 1\end{aligned})] || ---- 현대 수학에서는 '논리의 엄밀성'을 근거로, 위와 같이 넓이를 이용한 증명 방식이 [[순환 논법]]이라 주장하기도 한다. 극한을 증명하기 위해 각 도형의 '넓이'를 이용하고 있는데 부채꼴의 넓이를 구하는 과정에서 순환 논법에 빠진다는 것[* 넓이를 엄밀하게 다루려면 적분이 선행되어야 하고, 적분을 다루기 위해서는 미분이 선행되어야 하는데, 미분을 다루려면 극한이 선행되어야 한다. 극한을 다루고 있는데 극한이 정립이 되어야 하는 결론에 다다르므로 순환 논법이다.]이다. 물론 이는 반지름이 [math(r)]인 원의 넓이가 [math(\pi r^2)]이라는 사실을 자명한 것이라 받아들임으로써 해결이 되지만, 현대 수학에서는 한정된 공리와 정의만을 이용하여 논리적인 연역법에 따라 증명된 것만 이용할 수 있기 때문에 '증명되어야 할 원의 넓이'가 '자연스러운 것'으로 쉽게 받아들여지지 않는다[* 기하학적으로 극한의 개념을 쓰지 않고 원의 넓이가 [math(\pi r^2)]이라는 것을 증명하기가 대단히 어렵다.]는 것이다. 이를 피하기 위해 나온 것이 바로 무한급수를 이용한 정의이다. 전술한 대로 무한급수를 이용한 정의는 임의의 실수뿐만 아니라 복소수에 대해서도 절대 수렴하므로 극한에서 문제없이 다룰 수 있으며, [math(\cos x = 0)]을 만족하는 최소 양수가 존재하며 그 [math(2)]배가 [math(\pi)]라는 것으로 해결이 된다. 기타 기하학적인 성질 역시 증명이 가능하지만, 무한급수 역시 극한의 개념이 선행되어야 자연스럽기 때문에 여전히 좋은 해결책은 아니다. 어디까지나 현대 수학, 그리고 청소년들에게 이걸 이렇게 ~~치트키를 써서~~ 가르치는 게 적절한지를 고민하는 수학교육학에서의 떡밥이므로 일반인 위키러들은 '그렇게 보는 해석도 있다' 정도의 수준으로 넘어가면 된다. 2015 개정 교육과정 기준으로는 [[미적분(교과)|미적분]]에서 처음 배우기 시작한다. 이 내용을 '삼각함수의 극한'으로 배우지만 실제로는 '삼각함수가 유리함수에 합성된 합성함수의 극한'을 배우는 것이다. 실제로 수업 시간, 교과서에서 [math(y= \dfrac{\sin x}x)], [math(y= \dfrac{\tan x}x)]의 그래프나 성질을 직접적으로 다루지 않기 때문이다. 그래프 개형이 궁금하다면 [[https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3Dsinx%2Fx|[math(y= \dfrac{\sin x}x)]의 그래프]]와 [[https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3Dtanx%2Fx|[math(y= \dfrac{\tan x}x)]의 그래프]]를 참조하기 바란다. 전자의 경우 원점으로 올수록 보강 파동의 경향성이 짙어지는 개형을 보이는 데 반해, 후자인 탄젠트 유리함수는 말로 설명하기 힘든 괴이한 문양을 나타낸다. 간혹 [[https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3Dcosx%2Fx|[math(y= \dfrac{\cos x}x)]의 그래프]]도 궁금해하는 사람도 있는데, 링크에서 확인할 수 있듯이 원점에 대칭인 형태이기 때문에 우극한과 좌극한이 다르게 발산한다. 그래서 별로 의의가 없다. '삼각함수'라는 단원으로부터 분리되어 '''극한''' 단원 혹은 '''미적분''' 파트에서 다루는 이유도 이 때문이다. 이 내용은 사실 '삼각함수'와 더 밀접하지 않으며, 그래프들을 다루는 것은 교육적으로 별로 의미가 없다. 종전 [[2009 개정 교육과정]] [[미적분Ⅱ]] 때처럼 삼각함수와 더 직접적인 관련이 있는 것처럼 보일 것을 우려하고, 다시 현 교육과정처럼 '극한' 단원 편입으로 바꾼 것도 교육적 적합성을 다시 고려했기 때문으로 보인다. 이 내용의 교육적인 의의는 '''어떤 실수에 대해 그 실수를 취한 삼각함수의 비'''가 무한히 작아질 때 어떤 값으로 수렴하는지 파악하고 이 때 '[[사인 법칙]]'과 '근사'[* 샌드위치 정리 또는 조임 정리(Squeeze theorem)]를 익히기 위해서 배우는 것이다. 이 정리는 바로 밑에 있는 '''삼각함수의 도함수'''를 증명하는 과정에서 사용된다. 이는 '로그함수의 극한'이라고 배우는 [[자연로그]]와도 유사하다. === [[삼각함수/도함수|미분법]] === [include(틀:하위 문서, top1=삼각함수/도함수)] === [[삼각함수/역도함수|적분법]] === [include(틀:하위 문서, top1=삼각함수/역도함수)] == [[역삼각함수|역함수]] == [include(틀:상세 내용, 문서명=역삼각함수)] == [[삼각함수/관련 함수|관련 함수]] == [include(틀:하위 문서, top1=삼각함수/관련 함수)] == 복소 및 극형식 == === [[극좌표]] === 좌표 평면의 원점 [math(\rm O)]에 대해 [math(\overline{\rm OP} = r)]를 만족하는 점 [math(\rm P)]를 상정하자. [math(x)]축 양의 방향을 기준으로, [math(\rm O)]를 중심으로 하여 반시계 방향의 회전을 양의 방향으로 정의하고, 그 각의 크기를 [math(\theta)]라고 할 때 실수 순서쌍 [math((r,~\theta))]를 점 [math(\rm P)]의 극좌표(Polar Coordinate)로 정의한다. 같은 점 [math(\rm P)]의 직교 좌표를 [math((x,~y))]라고 하면 [math(\begin{cases}\begin{aligned}x &= r\cos\theta \\ y &= r\sin\theta\end{aligned}\end{cases})]이다. 원점의 극좌표는 [math((0,~\theta))]로 나타낸다. 극좌표에 차원 하나를 더해서 [math(z)]축 방향으로 잡아 늘리면 원통 좌표계(Cylindrical Coordinate)가 된다. 즉 [math((x,~y,~z) = (r\cos\theta,~r\sin\theta,~z) \Leftrightarrow (r,~\theta,~z))]. 한편, 공간 좌표의 점 [math(\mathrm P \left(x,~y,~z\right))]에 대해 [math(z)]축 양의 방향을 기준으로, [math(\rm O)]를 중심으로 하여 [math(xy)]평면 방향의 회전을 양의 방향으로 잡고, 그 각의 크기를 [math(\varphi)]라고 하면 [math(0\le\varphi\le\pi)]이므로 구좌표계(Spherical Coordinate)를 [math(\begin{cases}\begin{aligned}x &= r\sin\varphi\cos\theta \\ y &= r\sin\varphi\sin\theta \\ z &= r\cos\varphi \end{aligned}\end{cases})]와 같이 정의할 수 있다. 수직으로 보기 좋게 떨어지는 직교 좌표를 굳이 극좌표나 구좌표 같은 또다른 좌표계로 바꾸는 이유는 회전 운동이나 모든 방향으로 대칭적인 움직임/변화 등을 기술할 때, 직교 좌표를 쓰면 조금만 복잡해져도 기술하기가 어렵기 때문이다. 예를 든다면 지구 표면 근처에서의 위치를 직교 좌표 3개로 쓰는 것보다는 위도, 경도, 고도로 표현하는 것이 편리하다. === [[오일러의 공식]] 관련 === 허수단위를 [math(i)]로 나타내면 [[오일러의 공식]]에 의해 [math(e^{ix}=\cos x+i\sin x)]이므로 ||<tablebordercolor=#000,#888><tablecolor=#373a3c,#c3c6c8><tablebgcolor=#fff,#191919>[math(\begin{aligned} \cos x &= \dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}2 \\ \sin x &= \dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} \\ &= -i\dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}2\end{aligned})] || 로 [[지수함수]]에 대한 식이 유도된다. 그런데 위 식은 [[쌍곡선 함수]]의 식 ||<tablebordercolor=#000,#888><tablecolor=#373a3c,#c3c6c8><tablebgcolor=#fff,#191919>[math(\begin{aligned} \cosh t &= \dfrac{e^t+e^{-t}}2 \\ \sinh t &= \dfrac{e^t-e^{-t}}2\end{aligned})] || 에서 [math(t=ix)]인 경우로 볼 수 있다. 즉 ||<tablebordercolor=#000,#888><tablebgcolor=#fff,#191919>[math(\begin{aligned} \cos x &= \cosh ix \\ \sin x &= -i\sinh ix \\ &\Updownarrow \\ \cosh x &= \cos ix \\ \sinh x &= -i\sin ix\end{aligned})] || 이며 삼각함수와 쌍곡선 함수는 [[복소수]]를 매개로 연관되어 있음을 알 수 있다. ||<tablealign=center><tablecolor=#373a3c,#c3c6c8><tablebordercolor=#000,#888><tablebgcolor=#fff,#191919> [math(\begin{array}{cc}\begin{aligned}\sin x &= -i\sinh ix \\ \cos x &= \cosh ix \\ \tan x &= -i\tanh ix\end{aligned} & \begin{aligned}\csc x &= i\,\mathrm{csch}\,ix \\ \sec x &= \mathrm{sech}\,ix \\ \cot x &= i\coth ix\end{aligned}\end{array})] || === 복소함수에서의 삼각함수의 절댓값 === [math(z=x+iy)]일 때, ||<tablebordercolor=#000,#888><tablecolor=#373a3c,#c3c6c8><tablebgcolor=#fff,#191919>[math(\begin{aligned} \sin z &= \sin\left(x+iy\right) = \sin x\cos iy + \cos x\sin iy \\ &= \sin x\cosh y+i \cos x\sinh y \\ \cos z &= \cos\left(x+iy\right) = \cos x\cos iy-\sin x\sin iy \\ &= \cos x\cosh y-i \sin x\sinh y\end{aligned})] || 이 성질을 이용하여 삼각함수의 복소평면에서의 절댓값을 구해보자. 물론 [math(\mathbb R \subset \mathbb C)]이므로, 실수일 때도 --구할 의미는 없지만--성립한다. 참고로 [math(\tan z)]의 절댓값은 이렇게 구한 [math(\sin z)], [math(\cos z)]의 절댓값으로 구하는 게 빠르다.[* 무슨 소리인지 모르겠다면[br][math(\tan z=\tan\left(x+iy\right) = \dfrac{\tan x + \tan iy}{1 - \tan x\tan iy} \\ =\dfrac{\tan x+i \tanh y}{1-i \tan x\tanh y} \\ =\dfrac{\left(\tan x+i\tanh y\right)\left(1+i\tan x\tanh y\right)}{1+\tan^2x\tanh^2y} \\ =\dfrac{\tan x\left(1-\tanh^2y\right)+i\tanh y\left(1+\tan^2x\right)}{1+\tan^2x\tanh^2y} \\ =\dfrac{\mathrm{sech}^2\,y\tan x+i\tanh y\sec^2x}{1+\tan^2x\tanh^2y})]를 이용해서 구해보자. --눈 앞이 뱅글뱅글 돈다--] ||<tablebordercolor=#000,#888><tablecolor=#373a3c,#c3c6c8><tablebgcolor=#fff,#191919>'''''' * [math(\left|\sin z\right|=\sqrt{\sin^2x\cosh^2y+\cos^2x\sinh^2y})] * [math(\left|\cos z\right|=\sqrt{\cos^2x\cosh^2y+\sin^2x\sinh^2y})] 여기서, [math(\cosh^{2} y-\sinh^{2} y=1)]를 이용해서 식을 정리하자. * [math(\left|\sin z\right|=\sqrt{\sin^2x\cosh^2y+\cos^2x\sinh^2y}=\sqrt{\sin^2x+\sin^2x\sinh^2y+\cos^2x\sinh^2y}=\sqrt{\sin^2x+\sinh^2y})] * [math(\left|\cos z\right|=\sqrt{\cos^2x\cosh^2y+\sin^2x\sinh^2y}=\sqrt{\cos^2x+\cos^2x\sinh^2y+\sin^2x\sinh^2y}=\sqrt{\cos^2x+\sinh^2y})] || == 교과에서의 삼각함수 == * 6차 교육과정: 공통수학(고1), 수학Ⅱ(자연계) - 공통수학은 마지막 단원, 수학 II는 2단원 * 7차 교육과정: [[수학 10-가/수학 10-나]](고1), [[미분과 적분(7차)|미분과 적분]](자연계) - 수학 10-나 마지막 단원, 미분과 적분 1단원 * 삼각함수와 복소평면 삭제 * 2007 개정 교육과정: [[수학(2007)|수학]](고1)[* 사상 최초로 삼각함수가 마지막 단원이 아니다.], [[수학Ⅱ]](자연계) * 2009 개정 교육과정: [[미적분Ⅱ]](자연계) * [[사인 법칙]]과 [[코사인 법칙]] 삭제 * 삼각함수의 합성 삭제 * 삼각함수의 여러 가지 공식 삭제 * 삼각방정식의 일반해 삭제 * 2015 개정 교육과정: [[수학Ⅰ(2015)|수학Ⅰ]](고2·3 기본), [[미적분(교과)|미적분]](고2·3 심화)[* 기본과 심화로 구분되었지만 두 과목은 엄밀히 같은 계층인 '일반선택과목'이다. '수학Ⅰ'에서는 기본적인 개론과 함수의 그래프, 방정식 등을 다룬다면, '미적분'에서는 삼각함수의 덧셈정리, 반각공식, 배각공식, 극한, 미분, 적분 등을 다룬다.] * [[사인 법칙]]과 [[코사인 법칙]] 부활 == '삼각함수에 관한 식' [[오역]] 의견 == 원서나 교과서 등에서는 사인 함수를 [math(\sin\theta)]로 서술하는 경우가 있다. 하지만 [math(\sin\theta)]는 함숫'''값'''을 나타내는 식이며, [math(\theta)]가 변수로 쓰이지 않는 이상 '[[함수]]' 자체가 아니라는 점에서 다소 엄밀함이 떨어진다. 반례로 [math(\log k)]의 경우, 그 자체가 [[로그함수]]가 아닌 [[로가리듬|로그]]라고 불린다. 그 외의 다른 함수를 설명할 때도 함수와 함숫값을 엄연히 구별하는데, 삼각함수에서는 잘 지키지 않는 점이 특이하다. [[영어]](원문)의 경우, 삼각함수를 뜻하는 '''trigonometric function'''에서 'trigonometric'가 '[[https://endic.naver.com/enkrEntry.nhn?sLn=kr&entryId=8459a99aa041495292bfbc1f68d29d4d|삼각법의]]'를 뜻하는 형용사이다.[* [[https://search.naver.com/search.naver?where=nexearch&query=trigonometric&ie=utf8&sm=tab_she&qdt=0|포털 검색 결과]], [[https://endic.naver.com/search.nhn?sLn=kr&searchOption=all&query=trigonometry|trigonometry 번역 '삼각법']]] 언어적 구조만 보더라도 trigonometric은 [[수식언]]임이 자명하며, 이 구조를 그대로 한국어로 직역했을 때 '함수'라는 단어를 수식하는 건 '삼각법의'라는 걸 알 수 있다. 대한수학회에서의 [[https://www.google.com/search?ei=k0WjXJ6kEsy4mAWAyI2ADQ&q=trigonometric+equations&oq=trigonometric+e&gs_l=psy-ab.1.0.0l10.6288.6288..7539...0.0..0.135.135.0j1......0....1..gws-wiz.......0i71.S00hgYSPRjI|trigonometric equations]]{{{-1 (직역: 삼각법의 방정식)}}}의 정식 한국어 용어인 '[[http://www.kms.or.kr/mathdict/list.html?start=60&sort=ename&key=kname&keyword=%EC%82%BC%EA%B0%81&alpa=|삼각방정식]]'의 사례처럼 '삼각법의 식'에서 '-법의'를 생략하여 '''‘삼각식’'''으로 번역할 수도 있었는데 그러지 못하였다. 그렇다고 '삼각함수의 식'으로 번역하자니 원문의 수식언 trigonometric는 '삼각__함수__의'가 아니기 때문에 그럴 수 없다. == 참고 == * [[삼각비]] * [[사인곡선]] 삼각함수의 노래[[https://www.youtube.com/watch?v=Uks1UEQHtOg|#]], 미분까지 나온 증가버전이 존재. == 관련 문서 == * [[삼각비]] * [[삼각 적분 함수]] * [[이산 코사인 변환]] * [[특수각]] * ~~[[삼각함수의 노래]]~~ * [[가늠자|탄젠트식 가늠자]] * [[푸리에 해석]] [[분류:기하학]][[분류:해석학(수학)]][[분류:대수학]][[분류:초등함수]]