[include(틀:상위 문서, top1=사이클로이드)] [목차] == 개요 == 이 문서에서는 [[사이클로이드]]와 관련된 물리학적 문제를 다룬다. 대표적인 두 예제로, "최속 강하 곡선 문제(Brachistochrone problem)"와 "등시 곡선 문제(Tautochrone problem)"이 있다. == 상세 == === 최속 강하 곡선 문제 === 최속 강하 곡선 문제(Brachistochrone problem)란, 중력장 하에서 임의의 두 점 사이를 물체가 내려올 때, 하강 시간이 최소가 되는 두 점을 잇는 곡선을 구하는 문제이다. 1679년, [[라이프니츠]]의 제자였던 베르누이는 [[아이작 뉴턴|뉴턴]]에게 도발하기 위해 이 문제를 수학 학회지에 제시했고, 이것을 본 [[아이작 뉴턴|뉴턴]]은 12시간 만에 풀었다는 일화가 있다. 이 문제는 [[변분법]]의 대표적인 예제로 주어지고, 세계의 모든 학생들이 [[변분법]]을 접하게 되면서 한 번 쯤은 풀고 가게되는 유명한 문제이다. [[파일:나무_최속강하곡선_재수정.png|width=160&align=center]] 문제를 간단히 하기 위해 곡선의 시작점을 원점으로 설정하고, 임의의 한 점 [math((x_{1},\,y_{1}))]을 이으며, 우리가 설정한 조건에 만족하는 곡선을 [math(y)]라 놓자. 이때, 역학적 에너지 보존에 의해 [math(y)]만큼 낙하했을 때, 물체의 속력을 [math(v)]라 놓으면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle mgy=\frac{1}{2}m v^{2} \, \to \, v=\sqrt{2gy} )] }}} 한편, [math(\mathrm{d}s)]만큼의 경로로 내려오는 데 걸린 미소 시간을 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mathrm{d}t=\frac{\mathrm{d}s}{v} )] }}} 로 쓸 수 있다. 여기서 [math(\mathrm{d}s)]는 곡선의 미소 길이이다. 그런데 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mathrm{d}s=\sqrt{1+y'^{2}}\,\mathrm{d}x )] }}} 로 쓸 수 있으므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle t=\frac{1}{\sqrt{2g}} \int_{0}^{x_{1}} \frac{\sqrt{1+y'^{2} } }{\sqrt{y}}\,\mathrm{d}x )] }}} 가 된다. 범함수 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle J(y,\,y',\,x) \equiv \frac{\sqrt{1+y'^{2} } }{\sqrt{y}} )] }}} 를 [[오일러-라그랑주 방정식]]에 대입해야 하는데, 해당 범함수엔 [math(x)]가 명시적으로 나타나있지 않으므로 [[벨트라미 항등식]]을 이용한다. 즉, 다음 식 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle J-y'\frac{\partial J}{\partial y'}=\text{const.})] }}} 에 [math(J(y,\,y',\,x))]를 대입해서 정리하면 아래와 같은 꼴을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{y}\sqrt{1+y'^{2} } }=\sqrt{C} )] }}} 여기서 [math(C)]는 상수이다. 이를 정리하면 다음의 미분 방정식을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}= \sqrt{\frac{1-Cy}{Cy}})] }}} 이 때, 다음과 같은 치환을 고려하자. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle y \equiv \frac{1}{C} \sin^{2}{\frac{\theta}{2}})] }}} 여기서 [math(C)]는 상수이다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle x=\int \sqrt{\frac{Cy}{1-Cy}} \,\mathrm{d}y )] }}} 임을 이용하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle x=\frac{1}{2C}(\theta-\sin{\theta})+c)] }}} 를 얻는다. 그런데 우리가 원하는 곡선은 원점을 지나야 하므로 적분 상수 [math(c=0)]임을 알 수 있다. 또한, [math((2C)^{-1} \equiv r)]이라고 놓으면, 우리가 찾는 곡선의 매개변수 방정식은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle x=r(\theta-\sin{\theta}) \qquad \qquad y=r(1-\cos{\theta}))] }}} 가 되므로 사이클로이드의 매개변수 방정식을 얻었음을 알 수 있다. 이 때, 상수 [math(r)]은 점 [math((x_{1},\,y_{1}))]을 지난다는 조건을 이용하면 구할 수 있다. 아래의 그림은 위의 내용을 시각화한 것이다. [[파일:brachystochrone-clipart-gif-original.gif|width=400&align=center]] 참고로 각 곡선은 위에서부터 직선, [[포물선]], [[원(도형)|원]], [[사이클로이드]], 육차 곡선[* 최고 차항이 6차항인 곡선.]이다. === 등시 곡선 문제 === 등시 곡선 문제(Tautochrone problem)는 중력장 하에서 물체를 곡선 위의 어디에 놓는지에 상관없이 그 물체가 최하점에 도달하는 시간이 같아지는 곡선을 찾는 문제이다. 사이클로이드는 이 문제를 만족하는 곡선이며, 이것은 1659년 호이겐스에 의해 증명되었다. [[파일:나무_등시곡선_재수정.png|width=200&align=center]] 위 그림과 같이 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} x&=r(\theta-\sin{\theta}) \\ y&=-r(1-\cos{\theta}) \qquad (0 \leq \theta \leq \pi) \end{aligned} )] }}} 의 반주기의 사이클로이드 곡선을 고려하자. 이 곡선 위의 한 점 [math(\mathrm{P}(x_{0},\,y_{0}))]에서 물체를 놓았을 때, 곡선의 최하점인 [math(\mathrm{Q}(r\pi,\,-2r))]까지 이동하는 데 걸린 시간을 구하고자 한다. 이 때, 점 [math(\mathrm{P}(x_{0},\,y_{0}))]는 매개변수 [math(\theta_{0}\,(0 \leq \theta_{0} <\pi))]를 도입하여, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} x_{0}&=r(\theta_{0}-\sin{\theta_{0}}) \\ y_{0}&=-r(1-\cos{\theta_{0}}) \end{aligned} )] }}} 로 나타낼 수 있다. 우리는 [[에너지 보존 법칙#s-2|역학적 에너지 보존 법칙]]을 이용하여 이 문제를 쉽게 해결할 수 있다. 이 법칙을 이용하여 [math(y)]에 도달했을 때에 대해 쓰면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle gy_{0}=gy+\frac{1}{2}v^{2} )] }}} 이 된다. 이 때 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle -gr(1-\cos{\theta_{0}})=-gr(1-\cos{\theta})+\frac{1}{2}v^{2} )] }}} 으로 쓸 수 있고, 이것을 정리하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle v=\sqrt{2gr}\sqrt{ \cos{\theta_{0}}-\cos{\theta} })] }}} 이므로, 미소길이 [math(\mathrm{d}s)]를 지나는 동안 걸린 미소 시간 [math(\mathrm{d}t)]는 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mathrm{d}t=\frac{\mathrm{d}s}{v} )] }}} 한편, 곡선의 길이는 [[사이클로이드#s-2.2|상위 문서]]에서 다룬 바와 같이 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mathrm{d}s=2r\sin\frac{\theta}{2}\,\mathrm{d}\theta )] }}} 임을 알 수 있으므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{d}t&=\sqrt{\frac{2r}{g}}\frac{\displaystyle \sin\frac{\theta}{2}}{\displaystyle \sqrt{ \cos{\theta_{0}}-\cos{\theta} }}\,\mathrm{d}\theta \\ &=\sqrt{\frac{r}{g}}\frac{\displaystyle \sin\frac{\theta}{2}}{\displaystyle \sqrt{ \cos^{2}{\frac{\theta_{0}}{2}}-\cos^{2}{\frac{\theta}{2}} }} \,\mathrm{d}\theta \end{aligned} )] }}} 를 얻을 수 있다. 따라서 우리는 [math(\theta)]에 대한 영역 [math(\theta_{0} \leq \theta \leq \pi)]에 대해 적분을 함으로써 하강 시간을 구할 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle t= \sqrt{\frac{r}{g}} \int_{\theta_{0}}^{\pi} \frac{\displaystyle \sin\frac{\theta}{2}}{\displaystyle \sqrt{ \cos^{2}{\frac{\theta_{0}}{2}}-\cos^{2}{\frac{\theta}{2}} }} \,\mathrm{d}\theta )] }}} 적절한 변수 치환 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle z \equiv \frac{\displaystyle \cos{\frac{\theta}{2} } }{\displaystyle \cos{\frac{\theta_{0}}{2} } }\, \to \, \mathrm{d}z=-\frac{1}{2}\frac{\displaystyle \sin{\frac{\theta}{2} } }{\displaystyle \cos{\frac{\theta_{0}}{2} } }\,\mathrm{d}\theta )] }}} 을 사용하면, 적분은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} t&=2 \sqrt{\frac{r}{g}} \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-z^{2} } }\,\mathrm{d}z \\ &={\pi}\sqrt{\frac{r}{g}} \end{aligned} )] }}} 의 결과가 나오게 된다. 위 결과에서 우리는 점 [math(\mathrm{P})]의 위치에 관계없이 최저점 [math(\mathrm{Q})]까지 낙하하는데 걸리는 시간은 상수값을 갖는다는 것을 알 수 있다. 우리는 위 논의를 확장해 사이클로이드 면 위에 놓인 물체의 진동 운동의 주기 또한 등시성을 갖는다는 것을 알 수 있다. 우리가 구한 낙하시간 [math(t)]는 해당 진동 운동의 1/4주기에 해당하기 때문에 사이클로이드 면 위에 놓인 물체의 진동 주기는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle T=2 \pi \sqrt{\frac{4r}{g}} )] }}} 임을 쉽게 알 수 있다. 여담으로 이러한 등시성은 진자시계를 만드는 데 활용되었다. 아래는 이를 시각화한 그림이다. [[파일:Tautochrone_curve.gif|width=300&align=center]] ==== 사이클로이드 진자 ==== [[파일:사이클로이드 진자.png|width=170&align=center]] 사이클로이드 진자란, 위 그림처럼 [math(\mathrm{A \to O})], [math(\mathrm{O \to B})]가 형성하는 원의 반지름이 같은 사이클로이드 반주기 곡선에 해당하고, 길이가 반주기의 사이클로이드 곡선과 같은 줄을 물체와 연결하고, 점 [math(\mathrm{O})]에 매단 진자를 의미한다. 우리는 윗 문단에서 '중력장 하에서 사이클로이드 궤도는 등시 곡선 궤도로 움직이는 것이므로, 곧 운동의 주기는 물체의 초기위치가 어디든 상관없이 같다'는 것을 증명했다. 따라서 우리가 추가로 두 가지만 더 증명한다면, 위 사이클로이드 진자 역시 물체의 초기 위치에 상관없이 운동 주기가 같음을 보일 수 있다. 그 두 가지는 아래와 같다. * 물체가 움직이는 경로 [math(\mathrm{A \to C \to B})]는 사이클로이드이다. * 장력과 운동 방향은 수직하다. '''[1] 물체가 움직이는 경로가 사이클로이드임을 보이기''' 문제를 쉽게 해결하기 위해, 선분 [math(\mathrm{OC})]를 기준으로 좌우가 대칭이라는 사실을 이용하자. 따라서 [math(\mathrm{C \to B})]인 경우만 볼 것이다. 이것을 좌표 평면 상에 다음과 같이 나타내자. [[파일:나무_사이클로이드진자_유도_재수정.png|width=160&align=center]] 이 때, 점 [math(\mathrm{P})]는 사이클로이드 면 [math(\mathrm{C \to B})] 상의 점이고, 점 [math(\mathrm{K})]는 물체가 위치하는 점이다. 점 [math(\mathrm{P}(x_{\mathrm{P}},\,y_{\mathrm{P}}) )]는 [math(\theta)]에 대한 매개변수 방정식 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} x_{\mathrm{P}}&=a(\theta-\sin{\theta}) \\ y_{\mathrm{P}}&=-a(1-\cos{\theta})+2a \end{aligned} )] }}} 로 나타낼 수 있고, 이 사이클로이드는 직선 [math(y=2a)]에 반지름이 [math(a)]인 원이 굴러감으로써 형성된다. 이때, 진자의 줄은 위 그림과 같이 청색 영역과 적색 영역으로 각각 구분지을 수 있으며, 전자는 사이클로이드면에 닿은 부분, 즉 [math(0 \to \theta )]까지의 사이클로이드 곡선이며, 후자는 점 [math(\mathrm{P})]에서 그은 접선이다. 우리는 이미 반주기 사이클로이드 곡선의 길이는 [math(4a)]임을 알고 있으며, 따라서 줄의 총 길이는 문제 상황에 따라 [math(4a)]임을 안다. 청색 영역의 길이는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \int_{0}^{\theta} \sqrt{\left( \frac{\mathrm{d}x_{\mathrm{P} } }{\mathrm{d} \theta} \right)^{2}+\left( \frac{\mathrm{d}y_{\mathrm{P} } }{\mathrm{d} \theta} \right)^{2}}\,\mathrm{d} \theta=4a \left(1-\cos{\frac{\theta}{2}} \right) )] }}} 이며, 이에 적색 영역의 길이는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle 4a-4a \left(1-\cos{\frac{\theta}{2}} \right)=4a\cos{\frac{\theta}{2}} )] }}} 임을 알 수 있다. 즉, 이 길이는 [math(\overline{\mathrm{PK}})]에 해당한다. 이제 우리는 각 [math(\varphi)]에 대한 정보를 얻자. 선분 [math(\mathrm{PK})]의 기울기는 [math(\tan{(\varphi+\pi/2)}=-\cot{\varphi})]이고, 적색 접선의 기울기는 매개변수 함수에 대한 미분법으로 구할 수 있으므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \frac{(\mathrm{d}y/\mathrm{d} \theta)}{(\mathrm{d}x/\mathrm{d} \theta)}=-\frac{\sin{\theta}}{1-\cos{\theta}}=-\cot{\frac{\theta}{2}} )] }}} 이다. 따라서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle -\cot{\varphi}=-\cot{\frac{\theta}{2}} \,\to \, \varphi=\frac{\theta}{2} )] }}} 임을 얻는다. 이에 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \overline{\mathrm{HK}}&=4a\cos{\frac{\theta}{2}} \sin{\frac{\theta}{2}} &&=2a\sin{\theta} \\ \overline{\mathrm{PH}}&=4a\cos^{2}{\frac{\theta}{2}} &&=2a(\cos{\theta}-1) \end{aligned} )] }}} 이므로 점 [math(\mathrm{P}(a(\theta-\sin{\theta}),\, -a(1-\cos{\theta})+2a))]인 것을 이용해 우리는 점 [math(\mathrm{K})]의 좌표를 [math(\theta)]에 대한 매개변수 방정식 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} x&=a(\theta-\sin{\theta})+2a\sin{\theta} \\ y&=-a(1-\cos{\theta})+2a-2a(\cos{\theta}+1) \end{aligned} )] }}} 로 표현할 수 있음을 얻는다. 이것을 간단히 정리하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} x&=-a(\theta-\sin{\theta})+2a \theta \\ y&=a(1-\cos{\theta})-2a \end{aligned} )] }}} 라고 쓸 수 있는데, 이것은 사이클로이드 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} x&=-a(\theta-\sin{\theta}) \\ y&=a(1-\cos{\theta}) \end{aligned} )] }}} 를 [math(y)]축 방향으로 [math(-2a)]만큼 평행이동 한 후 [math(y)]축을 기준으로 하여 대칭시킨 곡선의 매개변수 방정식이므로, 우리는 진자의 운동 경로가 사이클로이드임을 얻는다. 정확히 표기하면 진자는 [math(-\pi \leq \theta \leq \pi)]에서 움직이므로 진자가 움직이는 경로의 매개변수 방정식은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} x&=-a(\theta-\sin{\theta})+2a \theta \\ y&=a(1-\cos{\theta})-2a \qquad (-\pi \leq \theta \leq \pi) \end{aligned} )] }}} 이다. 참고로 이 곡선은 직선 [math(y=-2a)] 위로 반지름이 [math(a)]인 원이 굴러가면서 형성된다. '''[2] 장력과 이동 방향은 수직한 것 보이기''' 이것은 간단히 점 [math(\mathrm{K})]에서 그은 접선과 적색 직선이 수직함을 보이면 된다. 우리는 적색 직선의 기울기가 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle -\cot{\frac{\theta}{2}} )] }}} 라는 것은 위에서 보였다. 점 [math(\mathrm{K})]에서 그은 접선의 기울기는 매개변수 방정식의 미분법을 사용하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \frac{(\mathrm{d}y/\mathrm{d} \theta)}{(\mathrm{d}x/\mathrm{d} \theta)}=\frac{\sin{\theta}}{1+\cos{\theta}}=\tan{\frac{\theta}{2}} )] }}} 가 된다. 따라서 두 직선의 기울기 곱은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle -\cot{\frac{\theta}{2}} \cdot \tan{\frac{\theta}{2}}=-1)] }}} 이므로 두 직선은 수직이 된다. 따라서 장력과 이동 방향은 서로 수직하다. 이상의 두 결과로부터, 우리는 이 상황이 곧 위에서 다뤘던 사이클로이드 면 위를 진동 운동하는 물체의 상황과 같음을 얻는다.[* 물체에게 일하는 힘은 중력 뿐이다.] 또한, 해당 물체는 반지름이 [math(a)]인 원이 굴러감으로써 형성되는 사이클로이드 궤도를 따르고 있고, 중력장에서 사이클로이드는 등시 곡선임을 위에서 증명했기 때문에 점 [math(\mathrm{K})]는 (모든 마찰을 무시한다면) 초기 위치가 [math(\mathrm{A,\,B})] 사이 어디에 있든 주기 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle T=2\pi \sqrt{\frac{4a}{g}})] }}} 로 왕복 운동한다. 그런데 우리가 줄의 길이가 [math(4a)]였음을 기억하고, [[단진자]] 문서에 나온 미소 진동 시의 단진자 주기를 기억한다면, 곧 이 주기는 같은 길이의 줄의 단진자의 주기임을 알 수 있으며, 더 나아가 단진자의 경우 진동 각이 커짐에 따라 오차가 나지만, 이 사이클로이드 진자를 이용하면, 진동 각에 관계 없이 진동 주기가 같기 때문에 진동 주기를 이용하여 단진자 보다 비교적 정확하게 시간을 측정할 수 있다. 실제로, 이 성질을 이용해 진자 시계를 만들기도 한다. 아래의 그림은 이상의 내용을 시각화하여 나타낸 것이다. [[파일:Isochronous_cycloidal_pendula.gif|width=300&align=center]] == 관련 문서 == * [[물리학 관련 정보]] * [[퍼텐셜 에너지]], [[운동 에너지]] * [[범함수]] * [[변분법]], [[오일러-라그랑주 방정식]] [각주] [include(틀:문서 가져옴, title=사이클로이드, version=82)] [[분류:역학]]