[include(틀:전자기학)] [목차] == 개요 == {{{+1 '''Biot–Savart law'''}}} 1819년 외르스테드(Oersted)가 전류가 흐르는 도체 주위에서 나침반이 흔들린다는 사실을 발견한 직후, 비오(Jean Biot; 1774~1862)와 사바르(Savart;1791~1841)가 발견한 것으로, 자기장에 관한 쿨롱의 법칙이라 말할 수 있다. == 상세 == [[파일:viot_sarvart_namu.png|width=150&align=center]] 비오와 사바르는 일정한 전류가 흘러가는 도선에 의해 생성되는 미소 자기장은 아래와 같은 관계에 있다는 사실을 발견하였다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle d\mathbf{B}=\frac{\mu_{0} I}{4 \pi} \frac{d \mathbf{l} \times \boldsymbol{\xi} }{\xi^{3}})]}}} 여기서 [math( \mu_{0} )]는 진공에서의 [[투자율]]이며, [math( I )]는 전류, [math( d \mathbf{l} )]은 미소전류가 흐른 방향의 미소 변위 벡터, [math( \boldsymbol{\xi} )]는 도선으로부터 자기장을 측정하는 지점까지의 [[분리 벡터]]이다. 위의 수식을 풀어서 설명하면, 다음과 같다. * 미소 자기장의 크기는 전류의 크기에 비례하고, 도선까지의 거리의 제곱에 반비례한다. * 미소 자기장의 방향은 [math( d \mathbf{l} )]과 [math( \boldsymbol{\xi} )]가 만드는 평면에 수직한 방향이다. 따라서 어떠한 전류분포가 특정 위치에 만드는 자기장은 위에 나와있는 [math( d \mathbf{B} )]를 적분하여 구하면 된다. 위에서 나타낸 경우는 가장 간단한 케이스이고, 부피나 면적을 지나가는 전류에 대해서도 비오-사바르 법칙을 생각할 수 있다. 증명은 학부 전자기학 수준이므로 식만 쓰도록 하겠다. 첫 번째는 부피를 지나가는 전류, 두 번째는 면적을 지나가는 전류이다. {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle d\mathbf{B}=\frac{\mu_{0} }{4 \pi} \frac{ \mathbf{J} \times \boldsymbol{\xi} }{\xi^{3}}\,dV \qquad \qquad d\mathbf{B}=\frac{\mu_{0} }{4 \pi} \frac{ \mathbf{K} \times \boldsymbol{\xi} }{\xi^{3}}\,da)]}}} 여기서 [math( \mathbf{J},\,\mathbf{K} )]는 각각 부피 전류 밀도, 표면 전류 밀도이다. 수식이 굉장히 복잡하여, 고등학교 과정에서 언급은 거의 없는 편이고, 대학 진학 후 [[일반물리학]]에서 처음 만나게 되는 게 대부분일 것이다. 그래서 [[물리Ⅱ]]를 배우고가는 학생들이 일반물리학에서 가장 생소하게 느끼는 부분이기도 하다. 쿨룽의 법칙과 달리 자기장은 고등학교 과정 내내 앙페르 법칙으로 계산하기 때문이다. 이를 이용하면, 무한 도선과 원형 도선에 전류가 흐를 때, 자기장을 구할 수 있다. 자세한 것은 아래 두 문단을 참조. == 대표 예제 == === 무한 도선 === 그림과 같이 [math( \hat{\mathbf{z}} )] 방향으로 놓이고, [math( \hat{\mathbf{z}} )]방향으로 정상전류가 흐르는 무한한 길이의 도선을 고려해보자. 여기서 도선으로 부터 [math( \rho )]만큼 떨어진 점 P에서의 자기장을 구할 것이다. (좌표계의 원점은 [math(\mathrm{O})]로 잡는다.) [[파일:mamu_Biot_NEW.png|width=170&align=center]] 원통 좌표계를 생각했을 때, {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle d \mathbf{l}=dz \hat{\mathbf{z}},\,\, \boldsymbol{\xi}=\rho \hat{\boldsymbol{\rho}}- z \hat{\mathbf{z}})]}}} 이므로 비오-사바르 법칙에 의해 {{{#!wiki style="text-align: center" [math( \displaystyle d\mathbf{B}=\frac{\mu_{0} I}{4 \pi} \frac{dz \hat{\mathbf{z}} \times (\rho \hat{\boldsymbol{\rho}}- z \hat{\mathbf{z}}) }{(\rho^{2}+z^{2})^{3/2}} =\frac{\mu_{0} I}{4 \pi} \frac{\rho \,dz }{(\rho^{2}+z^{2})^{3/2}}\,\hat{\boldsymbol{\phi}} )]}}} 이므로 무한한 직선 도선이 만드는 자기장은 {{{#!wiki style="text-align: center" [math( \displaystyle \mathbf{B} =\int_{-\infty }^{\infty }\,\frac{\mu_{0} I}{4 \pi} \frac{\rho \,dz }{(\rho^{2}+z^{2})^{3/2}}\,\hat{\boldsymbol{\phi}}=\frac{\mu_{0} }{2 \pi }\frac{I}{\rho}\,\hat{\boldsymbol{\phi}} )]}}} 이다. 따라서 직선 도선 주위의 자기장은 원형으로 만들어진다. 고등학교 이하에서는 앞의 상수를 [math( \displaystyle \mu_{0} /2 \pi \equiv k )]를 놓아 가르친다. 즉, {{{#!wiki style="text-align: center" [math( \displaystyle B=k\frac{I}{\rho} )]}}} 로, 자기장 방향은 아래와 나와있는 오른나사 법칙을 따르고, 크기는 도선과의 거리에 반비례, 도선에 흐르는 전류의 세기에 비례한다고 가르친다. [[파일:앙페르 오른나사 법칙.png|width=100&align=center]] 이상을 토대로, 무한 직선 도선 주변에 생성되는 자기장의 모습은 아래와 같다. [[파일:K33-00-21-03-직선전류자기장.png|width=150&align=center]] === 원형 도선 === 그림과 같이 [math( xy )]평면 상에 놓이고, 원점이 그 중심인 정상전류 [math( I )]가 반시계 방향으로 흐르는 반지름 [math( R )]인 원형 도선을 고려하자. [math( z )]축 위의 점 [math( \mathrm{P}(0,\,0,\,z) )]에서 자기장의 세기를 구할 것이다. 즉, 원형 도선의 축 위에서의 자기장을 구한다. [[파일:비오사바르_원형 도선.png|width=170&align=center]] 원통 좌표계를 생각했을 때, {{{#!wiki style="text-align: center" [math( \displaystyle d \mathbf{l}=R\,d \phi \, \hat{\boldsymbol{\phi}},\,\, \boldsymbol{\xi}=z \hat{\mathbf{z}}-R \hat{\boldsymbol{\rho}} )]}}} 이므로 비오-사바르 법칙에 의해 {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle d\mathbf{B}=\frac{\mu_{0} I}{4 \pi} \frac{R\,d \phi \, \hat{\boldsymbol{\phi}} \times (z \hat{\mathbf{z}}-R \hat{\boldsymbol{\rho}}) }{(R^{2}+z^{2})^{3/2}})]}}} 그런데, 축 위에서 [math( \hat{\boldsymbol{\rho}} )] 방향에 대칭성이 있고, 따라서 [math( d \mathbf{B} )]의 [math( \hat{\boldsymbol{\rho}} )] 방향에 해당하는 성분은 적분을 할 경우 상쇄될 것으로 기대되므로 [math( \hat{\mathbf{z}} )] 방향 성분만 고려한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [math( \displaystyle dB_{z}=\left[ \frac{\mu_{0} I}{4 \pi} \frac{R\,d \phi \, \hat{\boldsymbol{\phi}} \times (z \hat{\mathbf{z}}-R \hat{\boldsymbol{\rho}}) }{(R^{2}+z^{2})^{3/2}} \right] \cdot \hat{\mathbf{z}})]}}} 따라서 {{{#!wiki style="text-align: center" [math( \displaystyle dB_{z}=\frac{\mu_{0} I}{4 \pi} \frac{R^{2}\,d \phi }{(R^{2}+z^{2})^{3/2}} )]}}} 로 정리된다. 이상에서, {{{#!wiki style="text-align: center" [math( \displaystyle B_{z}=\int_{0}^{2 \pi}\,\frac{\mu_{0} I}{4 \pi} \frac{R^{2}\,d \phi }{(R^{2}+z^{2})^{3/2}} = \frac{\mu_{0} IR^{2}}{2(R^{2}+z^{2})^{3/2}} )]}}} 으로 결정된다. 따라서 원형 도선의 축 위에서 만들어지는 자기장은 {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \mathbf{B}=\frac{\mu_{0} IR^{2}}{2(R^{2}+z^{2})^{3/2}}\hat{\mathbf{z}} )]}}} 이다. 여기서 [math( z \rightarrow 0 )]일 때, {{{#!wiki style="text-align: center" [math( \displaystyle \mathbf{B}=\frac{\mu_{0} I}{2R}\hat{\mathbf{z}} )] }}} 가 되는데, 고등학교 이하에서는 앞의 상수 [math( \displaystyle \mu_{0} /2 \equiv k ' )]으로 놓아 {{{#!wiki style="text-align: center" [math( \displaystyle B=k '\frac{ I}{R} )]}}} 로 하여, 자기장의 방향은 아래의 '오른나사 법칙'에 따르고, 크기는 원형 도선의 중심에 생성되는 자기장은 전류의 세기에 비례, 원형 도선의 반경에 반비례한다고 가르친다. [[파일:external/www.gnedu.net/f532.gif|align=center&width=200]] == [[앙페르 법칙]]과의 연관성 == 실은 앙페르-맥스웰 법칙(이하 AML)과 비오-사바르 법칙(이하 BSL)은 서로가 서로를 유도할 수 있는 [[동치]]인 명제이다. === AML -> BSL === 아래 그림에서 푸른색 원을 따라 앙페르-맥스웰 법칙을 사용하면 [math(2\pi RB=\mu_0\epsilon_0\dfrac{{\rm d}\Phi_E}{{\rm d}t})] [[파일:비오_사바르_법칙_유도.jpg|align=center&width=200]] 보라색 구면을 투과하는 전기 선속의 총량은 [[가우스 법칙]]에 의해 [math(\dfrac{Q}{\epsilon_0})]이고, 푸른색 원이 차지하는 [[입체각]]은 [math(2\pi(1-\cos \alpha))]이므로 푸른색 원을 투과하는 전기선속은 [math(\dfrac{Q}{\epsilon_0} \dfrac{2\pi(1-\cos \alpha)}{4\pi})]이다. 이를 더 정리하면 [math(\Phi_E=\dfrac{Q}{\epsilon_0} \dfrac{2\pi(1-\cos \alpha)}{4\pi}=\dfrac{Q}{2\epsilon_0} \left(1-\dfrac{h}{r}\right)\\ \therefore \dfrac{{\rm d}\Phi_E}{{\rm d}t}= \dfrac{Q}{2\epsilon_0} \dfrac{\rm d}{{\rm d}t} \left(1-\dfrac{h}{r}\right)\\ = -\dfrac{Q}{2\epsilon_0} \dfrac{h'r-hr'}{r^2})] 여기서 점전하가 h와 평행하게 움직이고, 움직이면 h가 줄어들기 때문에 [math(v=-\dfrac{{\rm d}h}{{\rm d}t})]이고, [math(r^2=R^2+h^2)]의 양번을 t에 대해 미분하면 [math(2rr'=2hh'=-2hv)]이므로 위의 식은 [math(=- \dfrac{Q}{2\epsilon_0} \dfrac{h'r^2-hr'r}{r^3}\\ = \dfrac{Q}{2\epsilon_0} \dfrac{v(r^2-h^2)}{r^3}\\ \therefore 2\pi RB=\mu_0 \dfrac{Q}{2} \dfrac{v(r^2-h^2)}{r^3}= \mu_0 \dfrac{Q}{2} \dfrac{vR^2}{r^3}\\ B= \mu_0 \dfrac{Q}{4\pi} \dfrac{vR}{r^3}= \mu_0 \dfrac{Qv\sin\alpha}{4\pi r^2})] 여기서 ''B''의 방향이 [math(\bf v\times r)]과 같으므로 위의 식을 벡터로 나타내면 [math({\bf B}=\mu_0\dfrac{Q{\bf v}\times\hat r}{4\pi r^2}= \mu_0\dfrac{Q \bf v \times r}{4\pi r^3})] 미소 전류 요소를 미소 전하의 운동으로 간주하면 [math(Q{\bf v}=I{\rm d \bf l})]이 되므로 위의 식과 동일한 결론을 얻는다. === BSL -> AML === 위의 자기장 식은 [[쿨롱 법칙]]에 의한 [[전기 변위장]] [math({\bf D}=\dfrac{Q \bf r}{4\pi r^3})]에서 아래와 같이 변형할 수 있다. [math(\bf H=v \times D)] 따라서 양변에 [[델(연산자)|델 연산자]]를 외적하면 [math(\bf \nabla\times H=\nabla \times (v \times D))] 벡터 항등식 [math(\bf \nabla\times(a \times b)=(\nabla \cdot b)a-(\nabla \cdot a)b+(b\cdot\nabla)a-(a\cdot\nabla)b)]에 의해 위 식은 [math(\bf \nabla\times H=(\nabla \cdot D)v-(\nabla \cdot v)D+(D\cdot\nabla)v-(v\cdot\nabla)D)] 이때 점전하의 속도는 위치와 무관하므로 [math({\bf \nabla \cdot v}=0, \bf (D\cdot\nabla)v=0)]이고, [[가우스 법칙]] [math({\bf \nabla \cdot D}=\rho_f)]에서 [math({(\bf \nabla \cdot D)v}=\rho_f{\bf v=J}_f)]이므로 [math({\bf \nabla\times H=J}_f-\bf (v\cdot\nabla)D)]가 성립한다. 앙페르-맥스웰 법칙과 비교하면 [math({\bf -(v\cdot\nabla)D}=\dfrac{\partial\bf D}{\partial t})]만 증명하면 됨을 알 수 있다. [math(\mathbf v=v\hat z)]라 하면 [math({\bf -(v\cdot\nabla)D}=-v\dfrac{\partial\mathbf D}{\partial z})]인데, 점전하의 위치가 [math((0,0,vt))]이므로 위의 전기 변위장은 [math(\mathbf D=\dfrac{Q(x,y,z-vt)}{\sqrt{(x^2+y^2+(z-vt)^2)^3}})]이다. z와 t가 항상 z-vt 형태로 등장하므로 [math(\dfrac{\partial\mathbf D}{\partial z}:\dfrac{\partial\mathbf D}{\partial t}=1:-v)]가 되어 앙페르-맥스웰 법칙이 성립함을 확인할 수 있다. [각주] [include(틀:문서 가져옴, title=자기장, version=319)] [[분류:전자기학]][[분류:물리학]]