[[분류:기하학]][[분류:확률론]][[분류:나무위키 수학 프로젝트]] [include(틀:이산수학·수리논리학)] [include(틀:통계학)] [목차] == 개요 == {{{+1 L'aiguille de Buffon}}} [[프랑스]]의 [[수학자]] 조르주루이 르클레르 드 뷔퐁(Georges Louis Leclerc, Comte de Buffon)이 제시한 문제. [[원주율]]의 값을 [[기하학적 확률]]로 계산하는 방법이다. == 상세 == [[파일:나무_뷔퐁_바늘문제_개요_수정.png|width=300&align=center]] 한 평면 위에 [math(d)]만큼의 간격으로 평행선을 그린 다음 길이가 [math(l)](단, [math(d \geq l)])인 바늘을 던졌을 때, 바늘이 선에 닿는 사건 [math(A)]의 확률은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math({\rm P}(A)=\dfrac{2l}{d \pi})]}}} 로 표현된다. 즉, 선에 닿을 확률과 그렇지 않을 확률에 [[원주율|[math(\pi)]]]가 포함되므로 [math(\pi)]의 값을 구할 수 있다. [[큰 수의 법칙]]에 따라 [math(n)]번 바늘을 던져 [math(r)]번 닿았다면, 사건이 일어나는 상대도수는 수학적 확률에 수렴하므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\dfrac{r}{n} \approx \dfrac{2l}{d \pi}\quad\rightarrow\quad\pi \approx \dfrac{2 nl }{rd})]}}} 로 구할 수 있다. 특히, 바늘의 길이와 평행선 사이의 길이가 같은 경우, 즉 [math(d=l)]이면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\pi \approx \dfrac{2 n }{r} )]}}} 곧 시행 횟수와 닿은 횟수의 비로 구해진다. 다만, 이 방법은 수렴이 매우 느려서 뷔퐁의 바늘로 [math(\pi)]의 값을 구하는 것은 현실적으로 불가능하다. [math(\pi)]의 [[근사분수]] [math({355}/{133})]만큼 오차를 줄이려고 해도 '''240조 번 이상''' 던져야 하기 때문이다. == 증명 == 이 문제상황은 그림과 같이 두 수평면 사이만 고려해도 문제가 없다. [[파일:나무_뷔퐁_바늘문제_증명_1.png|width=170&align=center]] 위의 그림과 같이 길이가 [math(l)]인 바늘의 중심을 [math(\rm C)]라 하고, 바늘의 한 끝을 [math(\rm A)]라 하자. 또, 평행선과 평행한 직선 [math(\rm BC)]를 고려하고 [math(\rm A)]에서 해당 직선에 내린 수선의 발을 [math(\rm B)]라 하자. 이때, 바늘이 평행선과 [math(\theta)](단, [math(0 \leq \theta \leq \pi)])의 각을 이룰 때, 점 [math(\rm C)]에서 가장 가까운 평행선에 내린 수선의 발을 [math(\rm H)]라 하자. 이때, [math(0 \leq \overline{\rm CH} \leq d/2)]이고, 바늘이 수평선에 닿으려면 [math(\overline{\rm CH} \leq \overline{\rm AB})]여야 한다. 한편, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \overline{\rm AB}=\frac{l}{2}\sin{\theta} )]}}} 이에 이 사건은 [math(\overline{\rm CH}=x)]라 놓으면 전체 영역 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle S=\left \{(\theta, \,x) \biggl. \biggr| 0\leq \theta \leq \pi, \, 0 \leq x \leq \frac{d}{2} \right \} )]}}} 중 부분 영역 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle D=\left \{(\theta, \, x) \biggl. \biggr| 0\leq \theta \leq \pi, \, 0 \leq x \leq \frac{l}{2}\sin{\theta} \right \} )]}}} [[파일:파일-나무_뷔퐁_바늘문제_증명_2_NEW.png|width=270&align=center]] 에서 일어난다 볼 수 있으므로 그 확률은 두 영역의 넓이의 비 [math(D/S)], 즉 아래와 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} {\rm P}(A)&=\frac{\displaystyle \int_{0}^{\pi } \frac{l}{2}\sin{\theta} \, {\rm d} \theta }{\dfrac{d}{2} \times \pi} \\ &=\dfrac{2l}{d \pi} \end{aligned} )]}}} == 기타 == * 이 확률 문제는 단순해 보이지만 그 속엔 [[기하학적 확률]], [[원주율]], [[정적분]]이 모두 포함되어 있어 확률이나 통계 교재의 소개로 자주 나온다. * [[https://www.geogebra.org/m/j2fYwDR8|이 사이트]]에서 모의실험을 해볼 수 있다. == 관련 문서 == * [[수학 관련 정보]] * [[확률]] * [[원주율]] * [[정적분]]