[include(틀:관련 문서, top1=벡터)] [include(틀:기하학·위상수학)] [include(틀:고전역학)] Euclidean vector [목차] == 개요 == 이 문서는 [[물리학]]의 [[역학]]이나 [[고등학교 수학]]에서 다루는 [[기하학]]적인 벡터를 다룬다.[* 고로 우리나라에서 고등학교를 갓 졸업한 평범한 이과생이 벡터에 대해 듣는다면 십중팔구 이걸 떠올릴 것이다.] 이 문서의 벡터는 선형대수학에서 다루는 [[벡터 공간]]의 원소인 [[벡터]]의 일종이라고 볼 수 있다. 편의상, 이 문서에서 다루는 벡터와 구별하기 위해 [[선형대수학]]에서 다루는 벡터를 '선형대수학 벡터', [[함수]]인 벡터는 '함수 벡터'라고 하겠다. 표제어에 [[유클리드 기하학]]이 붙어 있는 이유는 [[비유클리드 기하학]]에서는 이 문서의 내용이 성립되지 않을 수 있기 때문이다.[* 비유클리드 기하학의 벡터는 따로 [[미분기하학]]이라는 학문에서 다룬다.] == 뜻 == 크기와 방향을 함께 가지는 양(Quantity which has both magnitude and direction)을[* 단, 물리학에서는 반사시켰을 때 [[변위]]처럼 변해야 한다는 조건이 붙는다. 그렇지 않으면 [[유사벡터]](Pseudovector)라고 부른다.] 벡터라고 한다. 크기와 방향을 함께 가지는 물리량은 벡터량이라고 부른다. === 그림으로 나타내기 === 선분 AB를 크기로 하고, 점 A에서 시작해 점 B에서 끝나는 벡터를 기호로 [math(\overrightarrow {\mathrm {AB}})]와 같이 나타낸다. 이때 [math(\overrightarrow {\mathrm {AB}})]에서 점 A를 시점, 점 B를 종점이라고 한다. 또한 벡터 [math(\overrightarrow {\mathrm {AB}})]의 크기는 [math(|\overrightarrow {\mathrm {AB}}|)][* [[노름]]을 써서 [math(\|\overrightarrow{\text{AB}} \|)]로 쓰기도 한다.]와 같이 나타낸다. 벡터를 간단하게 [math(\vec a)]와 같이 나타낼 수도 있다.[* 대조적으로, 선형대수학 벡터는 [math(\bold a)]와 같이 표기한다. 함수 벡터는 그냥 함수 이름을 쓴다.] == 성질과 연산 == === 같은 벡터 === * 크기와 방향이 같은 두 벡터 [math(\vec a)], [math(\vec b)]에 대하여 [math(\vec a=\vec b)] * 크기가 같고 방향이 반대인 두 벡터 [math(\vec a)], [math(\vec b)]에 대하여 [math(\vec a=-\vec b)] === 벡터의 합 === * 벡터 [math(\overrightarrow {\mathrm {AC}})]를 벡터 [math(\overrightarrow {\mathrm {AB}})]와 벡터 [math(\overrightarrow {\mathrm {BC}})]의 합이라 하고, [math(\overrightarrow {\mathrm {AB}}+\overrightarrow {\mathrm {BC}}=\overrightarrow {\mathrm {AC}})]와 같이 나타낸다. * 벡터의 합은 교환법칙과 결합법칙이 성립한다. * [math(\vec a+\vec b=\vec b+\vec a)] *[math((\vec a+\vec b)+\vec c=\vec a+(\vec b+\vec c))] * [math(\vec a-\vec b=\vec a+(-\vec b))] * [math(\overrightarrow {\mathrm {AA}})]와 같이 시점과 종점이 같은 벡터를 영벡터라고 하며 [math(\vec 0)]으로 나타낸다. 영벡터의 크기는 0이며 방향은 생각하지 않는다. 또한 영벡터는 벡터의 합의 항등원이다. === [[내적]] === 유클리드 공간은 내적 공간의 일종이기 때문에 내적이 정의되며, 다음과 같이 구할 수 있다.[* 선형대수학 벡터의 내적은 행렬의 [[수반 연산자]]와 [[행렬식]]을 이용해서 [math(\left<\bold{a} ,\, \bold{b} \right> = \det \bold{a}^{\ast} \bold{b})]로 정의된다. 또한 단항 연산도 가능하다.][* 함수 벡터의 내적은 두 함수의 켤레복소수 곱을 [[적분]]한 값으로 정의한다: [math(\displaystyle \left< f ,\, g \right> = \int_{[a,\,b]} f\overline{g}\, {\rm d}x)] 선형대수학 벡터와 마찬가지로 단항 연산이 가능하다.] * [math(\vec a \cdot \vec b = |\vec a||\vec b|\cos\theta = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3)] [math(\theta)]는 두 벡터의 사이각, [math(a_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b_3)]는 [math(\vec a)]와 [math(\vec b)]의 성분들이다. 원칙대로라면 [math(\vec a)], [math(\vec b)]중 하나의 성분들에 [[켤레복소수|켤레]]가 취해져야 하나[* 정확하게는 [[에르미트 내적|반쌍형적 형식(sesquilinear form)]]], [[고전역학]]이나 고등학교 과정에서는 실벡터만 다루기 때문에 보통은 생략한다.[* 단, [[양자역학]]에서는 선형대수학 벡터, 함수 벡터를 사용하므로 내적 시 한쪽 벡터에 켤레를 취하는 것이 당연시된다. 표기 역시 [math(\vec{a}\cdot\vec{b})] 대신 [[디랙 표기법|[math(\left< a | b \right>)]]]를 쓰는 등 차이가 있다.] === [[외적]] === 3차원 벡터[* 사실 3차원뿐만 아니라 7차원도 외적을 정의할 수 있다.]에 한하여, 두 벡터에 모두 수직인 벡터도 정의할 수 있는데 이를 외적이라고 하며, 다음과 같이 정의한다.[* 선형대수학 벡터의 외적은 단위벡터와 [[행렬식]]을 이용해서 [math(\bold{a} \times \bold{b}= \det \begin{bmatrix} \hat{\bold{x}} & \hat{\bold{y}} & \hat{\bold{z}} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{bmatrix})]로 정의된다.][* 함수 벡터는 일반적으로는 외적이 정의되지 않는다.] * [math(\vec a \times \vec b = |\vec a| |\vec b| \sin\theta\hat{n})] 여기서 [math(\theta)]는 두 벡터의 사이각, [math(\hat{n})]는 크기가 1인 단위벡터이며 방향은 오른손 손바닥을 펴고 엄지손가락을 제외한 나머지 손가락들이 향하는 방향을 [math(\vec{a})]와 일치시킨 후, [math(\vec{b})] 방향으로 감아쥐었을때 엄지손가락이 가리키는 방향이다. 따라서 [math(\vec{a})]와 [math(\vec{b})]에 동시에 수직이며 연산 순서가 바뀔경우 방향도 반대로 바뀐다. === 반사 === 시작점을 원래 벡터의 끝점으로 옮긴 뒤 일부 성분의 부호를 바꾼 것이다. === [[변위]] === [include(틀:상세 내용, 문서명=변위)] === [[미분]] 연산 === [math(\vec{f}(t)=(f_x(t),f_y(t),f_z(t)))] 일때 [math(\displaystyle\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\vec{f}(t)= \left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f_x(t),\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f_y(t),\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f_z(t) \right))]라고 정의한다. [math(f(x,y,z))]에 대한 미분에 관한 것은 [[델(연산자)|델]] 참고 === [[적분]] 연산 === [math(\vec{f}(t)=(f_x(t),f_y(t),f_z(t)))] 일때 ||[math(\displaystyle\ \int \vec{f}(t)\mathrm{d}t = \left( \int f_x(t)\mathrm{d}t,\int f_y(t)\mathrm{d}t,\int f_z(t)\mathrm{d}t \right))]|| [math(\displaystyle \int_{a}^{b} \vec \nabla{f}(x(t),y(t),z(t))dt=f(x,y,z)|_{t=b} - f(x,y,z)|_{t=a})] 이때 어떤 [math(\vec{f})]가 [math(\nabla F)]의 형태로 표현될 필요충분조건은 [math(\nabla \times f=\mathrm{curl} f=0)]인 것이다. == 유사벡터(Pseudovector) == 물리학에서[* 다시 말해 수학에서는 그냥 벡터랑 차이가 없다.] 반사할 때[* 일반적으론 improper rotation인데 어차피 반사와 회전의 결합이다.] 변위(displacement)와 다르게 계산되는 벡터를 뜻한다. 두 벡터의 가위곱(외적)은 항상 유사벡터가 나온다. 대표적인 예시로 [[돌림힘]], [[각속도]], [[각운동량]], [[자기장]]등이 있는 데 죄다 외적으로 구하는 물리량이란 걸 알 수 있다. [[분류:수학]][[분류:물리학]][[분류:기하학]][[분류:대수학]][[분류:선형대수학]][[분류:해석학(수학)]]