[include(틀:차원)] [include(틀:4차원 볼록 정다포체)] [목차] == 개요 == ||[[파일:external/upload.wikimedia.org/5-cell.gif]]||[[파일:external/5a47996fd0e4f8e9aef4318700b3910b89aea3a95e831aaae244b7a2f4c240ee.gif]]||[[파일:external/upload.wikimedia.org/16-cell.gif]]|| ||↑ 정오포체||↑ 정팔포체||↑ 정십육포체|| ||[[파일:external/upload.wikimedia.org/24-cell.gif]]||[[파일:external/upload.wikimedia.org/120-cell.gif]]||[[파일:external/upload.wikimedia.org/600-cell.gif]]|| ||↑ 정이십사포체||↑ 정백이십포체||↑ 정육백포체[* 숫자는 더 큰데 오히려 [[정백이십포체]]보다 작아 보이는 이유는 [[정백이십포체]]는 [[정십이면체]]로 이루어져 있지만 [[정육백포체]]는 [[정사면체]]로 이루어져 있기 때문이다.]|| ||<-3>W축으로 회전하는 4차원 정다포체들을 3차원에 투영시킨 모습|| 四次元 正多胞體/4-Dimensional Regular Polychoron (또는 regular polychoron, regular 4-polytope) [[기하학]]에 등장하는 [[4차원]] [[도형]]의 일종. 4차원 다포체 중에서 모든 면이 합동인 정다면체로 이루어져 있으며, 각 선분에서 만나는 입체의 개수가 같은 다포체를 말한다. == 종류 == 여섯 개의 볼록 정다포체와 열 개의 오목 정다포체가 존재한다.. === 볼록 정다포체 === ({p,q,r}은 슐레플리 부호.) * [[정오포체]] : 5개의 정사면체로 이루어져 있다. 한 모서리에서 만나는 입체의 개수는 3개. : {3,3,3} * [[정팔포체]] = [[테서랙트]] : 8개의 정육면체로 이루어져 있다. 한 모서리에서 만나는 입체의 개수는 3개. : {4,3,3} * [[정십육포체]] : 16개의 정사면체로 이루어져 있다. 한 모서리에서 만나는 입체의 개수는 3개. : {3,3,4} * [[정이십사포체]] : 24개의 정팔면체로 이루어져 있다. 한 모서리에서 만나는 입체의 개수는 3개. : {3,4,3} * [[정백이십포체]] : 120개의 정십이면체로 이루어져 있다. 한 모서리에서 만나는 입체의 개수는 3개. : {5,3,3} * [[정육백포체]] : 600개의 정사면체로 이루어져 있다. 한 모서리에서 만나는 입체의 개수는 5개. : {3,3,5} === 오목 정다포체 === * 큰 거대 별모양 백이십포체 (Great Grand Stellated 120-cell) : {5/2, 3, 3} * 큰 별모양 백이십포체 (Great Stellated 120-cell) : {5/2, 3, 5} * 거대 별모양 백이십포체 (Grand Stellated 120-cell) : {5/2, 5, 5/2} [*A 이것은 자기쌍대인 4차원의 오목한 정다포체이다. 그것도 2가지나 된다.] * 작은 별모양 백이십포체 (Small Stellated 120-cell) : {5/2, 5, 3} * 큰 이십면체 백이십포체 (Great Icosahedral 120-cell) : {3, 5/2, 5} * 거대 육백포체 (Grand 600-cell) : {3, 3, 5/2} * 정이십면체 백이십포체 (Icosahedral 120-cell) : {3, 5, 5/2} * 큰 거대 백이십포체 (Great Grand 120-cell) : {5, 5/2, 3} * 큰 백이십포체 (Great 120-cell) : {5, 5/2, 5} [*A 이것은 자기쌍대인 4차원의 오목한 정다포체이다. 그것도 2가지나 된다.] * 거대 백이십포체 (Grand 120-cell) : {5, 3, 5/2} === 입체와 면과 모서리와 꼭지점의 개수 === 볼록 정다포체의 입체의 개수를 [math(C)], 면의 개수를 [math(F)], 모서리의 개수를 [math(E)], 꼭지점의 개수를 [math(V)]라고 할 때, [math(V-E+F-C)][* 오일러 지표(Euler characteristic)라고 한다.] [math(=)] [[0|[math(0)]]]이다. || __정다포체__ || 입체의 개수 || 면의 개수 || 모서리의 개수 || 꼭지점의 개수 || || [[정오포체]] || 5 || 10 || 10 || 5 || || [[테서랙트|정팔포체]] || 8 || 24 || 32 || 16 || || [[정십육포체]] || 16 || 32 || 24 || 8 || || [[정이십사포체]] || 24 || 96 || 96 || 24 || || [[정백이십포체]] || 120 || 720 || 1200 || 600 || || [[정육백포체]] || 600 || 1200 || 720 || 120 || == 여담 == [[플라톤]]이 5개의 볼록 정다면체에 [[4원소설|그리스의 4원소]]들을 대응시켰듯[* 불은 정사면체, 흙은 정육면체, 공기는 정팔면체, 물은 정이십면체, 그리고 에테르(또는 공간, 또는 우주)를 정십이면체에 대응시켰다.], '''정식명칭은 아니지만''' 4차원 정다포체에 대해서도 4원소설의 원소들과 대응되는 이름으로 부르는 사람들이 있다. 단, 4차원 볼록 정다포체는 총 6개로 4원소+(5번째 원소인 에테르)[* 또는 공간, 또는 우주]를 만족시키기 어려우므로 정이십사포체에 대하여 동양의 음양오행설에서의 [[나무]]를 따와 Xylochoron(xylo- : 나무)이라고 부른다. ||원소||대응되는 플라톤의 정다면체||대응되는 정다포체 (별명)|| ||불||[[정사면체]]||[[정오포체]] (pyrochoron)|| ||땅||[[정육면체]]||[[정팔포체]] (geochoron)|| ||공기||[[정팔면체]]||[[정십육포체]] (aerochoron)|| ||나무(4원소설의 원소가 아님)|| ||[[정이십사포체]] (xylochoron)|| ||에테르(또는 공간, 또는 우주)||[[정십이면체]]||[[정백이십포체]] (cosmochoron)|| ||물||[[정이십면체]]||[[정육백포체]] (hydrochoron)|| 단체(simplex), 초입방체(hypercube), 또는 정축체(orthoplex)가 아닌 볼록한 정다포체는 4차원 유클리도 공간까지만 존재한다. 즉, 5차원부터는 볼록한 정다포체가 오직 3개까지만 존재한다.[* 각각 n차원 정(n+1)포체(= 단체), n차원 정(2n)포체(=초입방체), 그리고 n차원 정2^^n^^포체(=정축체)이다.] 3차원 정다면체 중에서는 오직 정육면체만이 공간을 빈틈없이 채울 수 있지만 4차원 정다포체 중에서는 정팔포체, 정십육포체, 정이십사포체가 공간을 빈틈없이 채울 수 있다. == 연관항목 == * [[4차원]] * [[정다면체]] [[분류:기하학]]