[목차] == 개요 == ||<table align=center>{{{#!wiki style="margin: -5px -10px" [youtube(r0_mi8ngNnM)]}}}|| 0의 0제곱 즉, [math(0^0)]은 일반적으로 정의되지 않는 값이다. [[복소수]] [math(z)]에 대하여 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(z^0 \equiv \dfrac zz )]}}} 로 정의하는데, [math(0/0)]은 [[부정형|그 값을 하나로 정할 수 없기 때문이다]].[* 같은 원리로 [math(0^z (z<0))]도 정의되지 않는다.] == 극한값 == === x^x의 [[극한]] === 우리가 고려하는 값 [math(0^0)]은 다음처럼 극한으로 생각해볼 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle 0^0=\lim_{x \to 0^{+}} x^{x} )]}}} 이 때, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle x^x = e^{\ln x^x} = e^{x\ln x} )]}}} 이고, [math(x\equiv t^{-1} )]로 잡으면 [math(x\to0^+)], [math(t\to\infty)]가 되므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \lim_{x\to0^+} x^x = \lim_{t\to\infty} \exp \biggl( -\frac{\ln t}t \biggr) )]}}} 이다. 이 때, 지수의 극한값은 [[로피탈의 정리]]에 의해 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \lim_{t\to\infty} \biggl( -\frac{\ln t}t \biggr) \overset{\mathsf{l'H\hat{o}pital}}{=} \lim_{t\to\infty} \biggl( -\frac1t \biggr) = 0)]}}} 이 됨에 따라 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \lim_{x\to0^+} x^x = e^0 = 1)]}}} 이 된다. 그러나 불행히도 좌극한은 정의되지 않기 때문에 [math(0^0)]은 정의되지 않는다. === y^x의 극한 === 그렇다면, [[다변수함수|이변수함수]] [math(f(x,\,y)=y^x)]은 어떨까? 우리가 고려하는 값을 다음과 같이 생각해볼 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle 0^0 = \lim_{(x,\,y)\to(0,\,0)} f(x,\,y) )]}}} [math(y=0)]이라는 조건에서 이 극한을 생각하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \lim_{x\to0} 0^x = 0)]}}} 이 되고, 반대로 [math(x=0)]이라는 조건을 따라서 생각하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \lim_{y\to0} y^0 = 1)]}}} 이 된다. 즉, 극한이 진행하는 방향에 따라 그 극한값이 달라지기 때문에 [math(\displaystyle \lim_{(x,\,y)\to(0,\,0)} f(x,\,y) )]는 정의되지 않으므로 [math(0^0)]의 값은 정할 수 없다. === [[무한 지수 탑 함수|무한 번 제곱한다면?]] === 우선 다음을 정의하자. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(a^a=a\uparrow\uparrow2,\, a^{a^a}=a\uparrow\uparrow3,\, \cdots,\, \overset{n}{\overbrace{a^{a^{\cdots^a}} }}=a\uparrow\uparrow n)]}}} 이를 [[테트레이션]](tetration)이라고 한다. [[덧셈]], [[곱셈]], [[지수(수학)|지수]]에 이은 4차 연산이라는 의미이다. 그리고 이 연산에서 [[무한 지수 탑 함수|[math(n)]을 무한대로 보내면]] 다음과 같이 된다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \lim_{n\to\infty} a \uparrow\uparrow n = -\frac{W(-\ln a)}{\ln a} )]}}} 여기서 [math(\ln)]은 [[자연로그]], [math(W)]는 [[람베르트 W 함수|람베르트 [math(W)] 함수]]이다. 이제 [math(a)]에 [math(0)]을 대입해 보자. 여기서 [math(\displaystyle \lim_{x\to0^+} (-\ln x) = \infty)]이고 [math(\displaystyle \lim_{x\to\infty} W(x) = \infty)]이므로 결국 위 극한은 [math(\dfrac{\infty}{\infty})]의 부정형이 된다. 여기서 부정형의 극한값을 구하기 위해 [[로피탈의 정리]]를 적용하면, 최종적으로 무한 번의 [math(0)]제곱은 [math(0)]에 수렴한다는 사실을 얻을 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \lim_{a\to0^+} \biggl( -\frac{W(-\ln a)}{\ln a} \biggr) \overset{\mathsf{l'H\hat{o}pital}}{=} 0)]}}} == 편의상 값을 정하는 경우 == 엄밀하게는 정의되지는 않지만, 편의상 [math(0^0=1)]로 놓는 경우가 많으며, [math(0^{-n}=\infty \,(n \in \mathbb{N}) )]로 는 경우도 많다. 엄밀한 증명이 필요치 않은 경우, 그 값을 1로 둬도 문제되지 않으며, 계산의 편의성이 증가한다. 아래에서는 그 값을 1로 두는 3가지 흔한 경우를 소개하며, [[https://kin.naver.com/qna/detail.nhn?d1id=11&dirId=1113&docId=65972176|여기]]에서 더 많은 예시를 볼 수 있다. === [[다항식]] === 다항식 [math(f(x) )]를 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle f(x) = \sum_{k=0}^n a_kx^k )]}}} 의 형태로 표현하고자 할 때, [math(x)]의 값에 관계없이 [math(x^0=1)]이라 놓으면 편리하다. 그렇기 때문에 다항식을 다룰 때 [math(0^0=1)]이라 정의하는 경우가 많다. === 함수의 개수 === 두 집합 [math(X)], [math(Y)]에 대하여 각 집합의 원소의 개수를 각각 [math(x)], [math(y)]라 하자. 그런데 만약 두 집합이 모두 공집합이라면, [math(X \to Y)]인 함수는 순서 모음 [math( (\varnothing,\,\varnothing,\,\varnothing) )]으로 단 하나 존재한다. 이런 관점에서 [math(0^0=1)]이라 정의할 수 있다. 그렇기 때문에, [[초한기수]] 문서에도 기재돼 있지만, 기수의 지수 연산에서는 [math(0^0=1)]로 '''정의된다.''' === [[중복 순열]] === 마찬가지로, 0개에서 0개를 중복을 허락해서 뽑는 경우의 수는 사실상 '그냥 안 뽑는 것' 딱 한 가지이다. 따라서 [[조합론]]의 관점에서는 명백히 [math(0^0=1)]로 생각할 수 있다. === [[뮌하우젠 수]] === 뮌하우젠 수에서는 [math(0^0=0)]으로 정의한다. 해당 문서 참고. == 기타 == * [[극한]]에서 대표적인 [[부정형]] 중 하나이다.[* 다른 부정형으로는 [math(1^{\infty})], [math(0/0)] 꼴 등이 있다.] * 많은 계산기 프로그램에서 [math(0^0=1)]이 된다. 추측건대, 계산기가 모든 수의 0제곱을 1로 인식해서 그런 듯하다. [[CASIO/계산기|카시오 공학계산기]]에서는 'Math Error'라며 [[장비를 정지합니다|계산을 거부]]한다. [[Wolfram Alpha]] 역시 '정의되지 않은 값'이라는 결과를 표시한다. == 관련 문서 == * [[0으로 나누기]] * [[제곱]] * [[0]] [[분류:산술]][[분류:오류]][[분류:0]]