[include(틀:통계학)] [include(틀:초등함수의 목록)] ||<tablealign=right> [[파일:external/www.cimerr.net/laboratory04.gif]] || || '''[[정규분포]]의 확률 밀도 함수''' || [목차] [clearfix] probability density function == 개요 == [[연속 확률 변수]]를 나타내는 함수. [[확률 질량 함수]]의 연속형 version. --코끼리를 삼킨 보아뱀-- == 정의 == (절대)연속확률변수 X에 대해서 [math( F(x) )]가 누적분포함수 일때 X의 확률밀도함수 [math( f (x) )]는 [math( F(x) =\int _{ -\infty }^{ x }{f(t)dt })] 로 정의한다. 여기서 미분불가능한 지점은 기껏해야 셀 수 있어야 하며 그 지점에서의 f의 값은 어느값이어도 제한이 없으나 통상적으로 좌연속이거나 우연속이 되도록 지정해준다. [[정규 분포]]에 사용되는 확률밀도함수는 [math(f(x) = e^{-x^2})]라는 [[지수함수]]로 주어진다. == 절대 연속 조건 == 보통의 이공계에서는 (절대)라는 조건을 생략하고 그냥 가르치는 경우가 많다. 하지만 위의 정의의 식이 말이 되게 하는 f가 존재하려면 반드시 F의 절대연속성이 보장되어야 한다. 따라서 절대연속의 개념을 첨부한다. == 의미 == 어떤 확률변수X를 완벽하게 묘사하는 함수는 누적분포함수(CDF) [math( F(x) )]이다. 이는 X가 이산이든 연속이든 이산과 연속이 섞인 형태이든 변하지 않는 진리이다. 하지만 실제 상황이나 문제에서는 CDF를 다루는 상황보다 확률밀도함수(pdf)를 다루는 경우가 훨씬 많다. 그러므로 확률밀도함수의 개념을 이해하는 것은 매우 중요하다. 이 개념에 확률 '밀도' 함수라는 개념이 붙은 이유를 알아야 하는데 이는 확률 '질량'함수에서의 이유와 같다. 기본적으로 연속형 확률변수의 경우에는 개별 값들에 대한 확률값이 존재하지 않는다. 연속의 경우에는 반드시 구간단위로 확률이 존재할 수 밖에 없는데 확률밀도 함수는 특정 지점에대한 값을 말한다. 직관적으로 자연스럽게 pdf의 값은 x주변의 미소구간에서의 미소확률(질량)에대한 밀도값이라는것을 알 수 있다. 즉 선형밀도=질량/길이 와 동일하게 pdf=미소확률/dx 인 것이다. 여기서 미소구간길이dx가 부피에 해당된다. 그러므로 [math(f(x)=\lim _{ \Delta x\to 0 }{ \frac { P(x\le X\le x+\Delta x) }{ \Delta x } }=\lim _{ \Delta x\to 0 }{ \frac { F(x+\Delta x)-F(x) }{ \Delta x } }=\frac { dF }{ dx } )]이므로 정의의 그것과 일치한다. 제대로 이해하고 싶다면 수학과의 해석학과 실해석학을 이수하여 르베그 적분과 일반화된 도함수의 정의를 공부해보자 Y축을 중심으로 위로 볼록한 함수이기 때문에 [[디랙 델타 함수]]의 주춧돌로 쓸 수 있는 함수이기도 하다. == 관련 문서 == * [[확률 분포]] * [[z-분포]] * [[t-분포]] * [[카이-제곱 분포]] * [[F-분포]] * [[오차함수]] - 확률밀도함수의 [[적분|원시함수]]이다. * [[가우스 적분]] [[분류:확률론]][[분류:초등함수]]