[[분류:선형대수학]] [include(틀:선형대수학)] [목차] == 개요 == [[선형변환]]의 행렬표현(matrix representation)은 두 벡터공간 [math(V)], [math(W)]의 차원이 유한할 때, 선형변환 [math(T: V \to W)]를 나타내는 행렬이다. 행렬표현은 정의역과 공역의 기저의 선택에 따라 달라질수 있으며, 정의역과 공역이 같은 선형변환 [math(T: V \to V)]의 임의의 기저에 대한 행렬표현은 모두 닮음 관계이다. == 정의 == === [[좌표]] === 유한차원 벡터공간 [math(V)]와 기저 [math(\beta=\{\beta_{1},\cdots,\beta_{n}\})]이 주어져 있을 때, 임의의 [math(v\in V)]에 대하여, [math(v=c_{1}\beta_{1}+\cdots +c_{n}\beta_{n})] 을 만족하는 스칼라 [math(c_{1},\cdots,c_{n})]가 유일하게 존재하는데, 아래의 열벡터 [math([v]_{\beta}=\begin{pmatrix} c_{1}\\ \vdots \\ c_{n} \end{pmatrix})] 를 [math(v)]의 [[좌표]]라고 한다. === 행렬표현 === 체 [math(F)]위의 두 유한차원 벡터공간 [math(V)]와 [math(W)]가 주어져 있고, 그 기저가 각각 [math(\beta_V)], [math(\beta_W)]이라 하자. [math(\text{dim}V=n)], [math(\text{dim}W=m)]일 때, 함수 [math(L:[v]_{\beta_{V}}\mapsto [ T(v) ]_{\beta_{W}})]은 [math(F^{n})]에서 [math(F^{m})]으로 가는 선형변환이다. 그러므로, [math([T]_{\beta_{V}}^{\beta_{W}} [v]_{\beta_{V}}=[ T(v) ]_{\beta_{W}})] 를 만족하는 [math(m\times n)]행렬 [math([T]_{\beta_{V}}^{\beta_{W}})]가 존재하며 이를 선형변환 [math(T)]의 행렬표현이라고 한다. [math(T)]의 정의역과 공역이 같을 때, [math([T]_{\beta})]는 [math([T]_{\beta}^{\beta})]를 의미하며, 표준순서기저(standard ordered basis)에 대한 행렬표현은 기저를 생략하여 [math([T])]라고 쓴다. == 예 == 실수체 [math(\mathbb{R})] 위의 [math(n)]차 이하의 다항식 집합 [math(\mathcal{P}_{n}(\mathbb{R}))]에 주어진 선형변환 [math(D : \sum_{i=0}^{n} a_{i} x^{i} \mapsto \sum_{i=0}^{n} i a_{i} x^{i-1})]을 [[미분]]연산자라 한다. [math(D)]의 순서기저 [math(\beta=\{1,x,\cdots,x^{n}\})]에 대한 행렬표현은 [math([D]_{\beta}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0& 0 \\ 0 & 0 & 2 & \cdots & 0& 0\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0& 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0& 0& 0 & \cdots & 0& n \\ 0 & 0 & 0 & \cdots &0& 0 \end{pmatrix})] 이다. == [[선형대수학의 기본정리]] == 체 [math(F)]위의 [math(n)]차원 벡터공간 [math(V)]와 [math(m)]차원 벡터공간 [math(W)]에 대하여, [math(V)]에서 [math(W)]로 가는 임의의 선형변환을 모은 집합을 [math(\mathfrak{L}(V,W))]이라 하자. 또한, 성분이 [math(F)]의 원소인 [math(m\times n)] 행렬을 모은 집합을 [math(\mathfrak{M}_{m,n}(F))]이라 하자. [math(V)]와 [math(W)]의 기저 [math(\beta_{V})]와 [math(\beta_{W})]가 주어졌을 때, 함수 [math(f:T\mapsto [T]_{\beta_{V}}^{\beta_{W}})]는 [math(\mathfrak{L}(V,W))]에서 [math(\mathfrak{M}_{m,n}(F))]으로 가는 동형사상[* 더 정확히는 덧셈과 스칼라배가 보존되는 [math(F)]-module isomorphism이며, [math(V=W)]일 때는 추가로 곱셈도 보존되어 [math(F)]-algebra isomorphism이 된다. 여기서 선형변환의 곱셈이란, 선형변환의 합성을 뜻한다.]이다. 즉, [math(\mathfrak{L}(V,W))]와 [math(\mathfrak{M}_{m,n}(F))]의 대수적인 구조가 같다고 볼수 있는데, 이를 [[선형대수학의 기본정리]]라고 한다. == 기저변환행렬 == [anchor(기저변환행렬)][math(n)]차원 벡터공간 [math(V)]의 임의의 두 기저 [math(\beta=\{\beta_{1},\cdots,\beta_{n}\})]과 [math(\beta^{\prime}=\{\beta_{1}^{\prime},\cdots,\beta_{n}^{\prime}\})]에 대하여, 행렬 [math(P)]를 [math( P=\begin{pmatrix} [\beta_{1}]_{\beta^{\prime}} & [\beta_{2}]_{\beta^{\prime}} & \cdots&[\beta_{n}]_{\beta^{\prime}}\end{pmatrix})] 라 정의했을 때, [math(P[v]_{\beta}=[v]_{\beta^{\prime}})]이 성립한다. 즉, 선형변환 [math(Y=PX)]는 [math(v)]의 [math(\beta)]에 대한 좌표를 [math(\beta^\prime)]에 대한 좌표로 바꿔주는 선형변환으로 이해할 수 있다. 이러한 행렬 [math(P)]를 기저변환행렬, 좌표변환행렬 또는 추이행렬 등으로 부른다. 또한 기저변환행렬은 [[항등변환]] [math(I)]의 행렬표현 [math([I]_{\beta}^{\beta^{\prime}})]이다. == 행렬의 [[상사(행렬)|닮음]] == 두 정사각행렬 [math(A)], [math(B)]에 대하여, [math(P^{-1}AP=B)]를 만족하는 가역행렬 [math(P)]가 존재하면 [[상사(행렬)|두 행렬이 닮았다]]고 한다. [math(n)]차 정사각행렬 [math(A)]에 대하여 선형변환 [math(L_{A}:F^{n}\to F^{n})]을 [math(L_{A}(X)=AX)] 라고 하자. 그러면, [math(F^{n})]의 표준순서기저에 대한 좌표를 임의의 기저 [math(\beta)]에 대한 좌표로 바꾸는 기저변환행렬 [math(P)]가 존재하여, 임의의 [math(X \in F^{n})]에 대해 [math(P^{-1}[L_{A}]_{\beta}PX=AX)] 를 만족함을 알 수 있다. 즉, [math(P^{-1}[L_{A}]_{\beta}P=A)]가 성립한다. 또한, 닮은 행렬이란 어떤 선형변환의 서로 다른 기저에 대한 행렬표현임을 알 수 있다. 이를 이용하여, 행렬에 정의되는 여러 대상들이 [[닮음불변량]]인 경우, 선형변환에 그대로 정의할 수 있다. 예를들어 선형변환의 [[대각합]]이란 [math(\text{tr}T=\text{tr}[T]_{\beta})] 으로 정의할 수 있다. 이렇게 정의하여도 문제되지 않는 이유는, 대각합이 닮음불변량이기 때문에, 서로 다른 기저에 대한 [math(T)]의 행렬표현이 같은 대각합을 갖기 때문이다.