[include(틀:해석학·미적분학)] [목차] == 개요 == {{{+1 identity function · [[恒]][[等]][[函]][[數]]}}} 항등함수란 [[함수]]의 한 종류로, '''항등'''적으로 자기 자신과 같은 값을 대응시키는 '''함수'''를 의미한다. == 정의 == ||<tablewidth=100%><(> '''[ 정의 ]''' 항등함수(Ideneity function) ---- 함수 [math(\text{id}_X: X \to X)]가 다음 성질을 만족할 때 '''항등함수(Identity function)'''이라고 한다. * [math(\forall x \in X, \ \ \text{id}_X(x) = x)] || == 성질 == 항등함수는 정의역 [math(X)]가 주어져 있기만 하면 자연스럽게 정의될 수 있는 함수로, 표기법은 [math(\text{id}_X)], [math(i_X)], [math(I_X)], [math(\mathbb 1_X)][* 단, 이 쪽은 [[집합 판별 함수]]와의 혼동 때문에 쓰는 분야에서만 쓴다.], [math(i)]등 다양하다. 정의상, 항등함수와 다른 함수 [math(f: Y \to X)], [math(g: X \to Z)]를 합성하면, [math(\text{id}_X \circ f = f)] 및 [math(g \circ \text{id}_X = g)]임을 알 수 있다. [[군(대수학)|군론]]에서, 항등함수는 이름에 걸맞게 [[항등원]]으로서의 역할을 한다. 실제로, [math(\text{id}_X: X \to X)]는 함수의 합성을 연산으로 하는 [[군(대수학)|군]]의 [[항등원]]이다. 즉, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(f \circ \text{id}_X = f = \text{id}_X \circ f)]}}} 이 성립한다. 비슷한 이야기로, 군 [math(G)]의 자기동형사상을 모은 군 [math((\mathrm{Aut}(G), \circ))]에서 항등함수 [math(\text{id}_G)]는 항등원이 된다. 정의역 [math(X)]에 [[위상 공간|위상]]이 주어져 있다면 항등함수 [math(\text{id}_X)]는 항상 [[연속함수]]이고, [[미분]]이 가능할 경우 그 결과는 [[상수함수]]가 된다.[* [math(\dfrac{\mathrm dx}{\mathrm dx} = 1)]] == 관련 함수들 == === 포함함수(Inclusion map) === ||<tablewidth=100%><(> '''[ 정의 ]''' 포함함수(Inclusion map) ---- 함수 [math(\iota : X \to Y)]가 다음 성질을 만족할 때 '''포함함수(Inclusion map)'''이라고 한다. * [math(X \subset Y)] * [math(\forall x \in X, \ \ \iota (x) = x \in Y)] || 항등함수에서 정의역과 공역이 완전히 같은 것이 아닌, 공역이 정의역을 포함하는 형태로 확장시킨 함수이다. 주로 [[대수적 위상수학]]에서 변형수축(Deformation retract)를 다룰 때 쌍으로 같이 등장하는 함수이다. === [[일차함수]] === 정의역 [math(X)]가 곱셈, 덧셈이 잘 정의되어 있는 [[환(대수학)|환]] 구조를 가지고 있다면, 항등함수 [math(\text{id}_X)]는 [[일차함수]] 중 하나로 생각할 수 있다. [include(틀:상세 내용, 문서명=일차함수)] === 특정 정의역에서의 항등함수 === * [[실수(수학)|실수]]에서의 [[켤레복소수]][* 이 성질 때문에 반쌍형 연산인 [[내적]]이 실벡터에서는 쌍선형 연산으로 바뀐다.] * 음이 아닌 실수에서의 [[절댓값]] [각주][include(틀:문서 가져옴,title=함수,version=374)] [[분류:함수]][[분류:수학 용어]]