[include(틀:대수학)] [목차] == 개요 == 표현론(representation theory)은 [[군(대수학)|군(group)]]과 같은 대수적 구조가 주어진 [[벡터 공간|벡터 공간(vector space)]]에 어떻게 작용하는지를 분석함으로써 간접적으로 주어진 대수적 구조를 분석하는 [[대수학]]의 한 분야이다. 표현론의 주인공인 표현(representation)은 간단히 말하면 군이 벡터공간에 [[군의 작용|작용]]하는 구조이고, 표현론의 주요 과제는 표현이 어떤 종류가 있는지 분류하고 이들의 연산(주로 [[텐서곱]])을 빠르게 계산하는 것이다. 표현론은 응용군론(?)의 꽃으로 여겨진다. 당장 여기에 있는 [[군론(물리학)]]과 [[군론(화학)]] 문서도 사실은 표현론 내용이다! 대다수의 경우 군은 공간의 대칭을 묘사할 때 등장하고, 이 공간을 주로 [[벡터 공간]]으로 보기 때문에 표현론도 자연스럽게 등장한다. 다만 물리학이나 화학 등에서는 학부 수준에선 군, 표현 등의 용어를 대놓고 쓰지 않기 때문에 이게 표현인지도 모르고 가져다 쓰고 있고, 수학과 학부 대수학에선 --보통 시간이 부족해서-- 표현론이 생략되는 경우가 많아 서로 모르고 넘어가는 경우가 대부분. 만약 [[양자역학]]을 공부한다면 [[군론]]은 스킵해도 표현론은 조금이라도 살펴보면 이해에 굉장한 도움이 될 것이다. 대신 표현론을 수학 밖의 분야에서 다룬다면 사용하는 용어, 정의, 관습이 다를 수 있으므로 주의하자. == 표현(Representation) == === 정의 === '''표현'''(Representation)은 군의 원소를 벡터 공간 상의 변환에 대응시키는 것이다. 가장 대표적인 예시는 공간 상의 회전으로, 이는 회전군의 원소 [math( \sigma )]가 공간 상의 벡터 [math( v )]를 [math( \sigma(v))]로 보내는 변환[* 사실 자기 자신이다. [math( \sigma )]가 원래부터 함수였기 때문.]에 대응되는 것이다. 다만, 이러한 모든 변환이 표현이 되는 것은 아니며, 다음의 제약 조건을 만족해야 한다. * 각 원소가 나타내는 변환은 [[선형 변환]]이어야 한다. * 항등원이 나타내는 변환은 항등변환이어야 한다. * 군의 두 원소의 곱[* 일반적으로 군의 연산이 곱을 나타낼 필요는 없지만 편의상 그냥 곱이라고 부르자.]이 나타내는 변환은 각 원소가 나타내는 변환의 합성이어야 한다. 그런데 선형 변환은 대응되는 행렬을 가지며[* [[선형대수학의 기본정리]] 참고.] 나머지 두 조건을 만족하기 위해서는 각 변환이 가역이어야 하므로[* 역원이 나타내는 변환이 역함수가 될 수밖에 없다.] 표현은 군의 각 원소를 가역 행렬에 대응시키는 것이라 할 수 있다. 여기에 더해, 마지막 조건은 군에서의 연산이 표현을 통해 그대로 행렬의 곱으로 변환됨을 의미하므로 표현은 준동형 사상의 일종임을 알 수 있다. 이 때문에 표현은 흔히 주어진 군에서 가역행렬의 군[* 흔히 [math(\mathrm{GL}(n, F))]로 나타낸다.]으로 가는 준동형 사상으로 정의한다. 보통 표현을 표기할 때는 (벡터공간, 준동형사상)의 순서쌍으로 나타내는데, [math((V, \rho))]로 쓰는 경우가 많다. [math(V)]는 [[체(대수학)|체]] [math(F)] 위에서의 벡터공간이고, [math(\rho: G \rightarrow \mathrm{GL}(V))]는 준동형사상. [math(G)]와 [math(F)]는 문맥이 명확하면 종종 생략된다. 만약 [math(G)]에 조건이 주어지면 그 표현도 제약을 주는 경우가 많다. [math(G)]가 위상군이면(즉 위상이 주어져 있으면) [math(\rho)]가 [[연속함수]]인 '''연속 표현'''(continuous representation)만을 생각하고, 리군(Lie group)이면 [math(\rho)]가 [[매끄러움|매끄러운]] '''매끄러운 표현'''(smooth representation)을 생각한다. [[양자역학]]에선 [[유니타리 행렬|유니타리 변환]]만을 생각하므로, [math(\rho(g))]가 유니타리여야 하는 (즉 [math(\rho : G \rightarrow \mathrm{U}(V))]인) '''유니타리 표현'''(unitary representation)만을 본다. 기타 복소기하학에서, [[대수기하학]] 등에서도 서로 다른 표현의 개념이 적용된다. 각각의 분야에선 이 추가된 제약조건이 암묵적으로 항상 적용되므로 유의하는 게 좋다. [* 특히 [[물리학]]과 수학에서의 관습이 다른 부분 중 하나로, 물리학에서 표현이라고 하면 무조건 유니타리 표현을 의미한다. 이 위키의 [[물리학]] (특히 [[양자역학]]) 관련 문서들을 볼 때 표현이라는 단어를 본다면 이 점에 주의하자.] 표현의 '''차원'''은 벡터공간 [math(V)]의 차원을 말한다. 무한차원 표현도 당연히 생각할 수도 있지만, 보통 [math(V\rightarrow V)]의 변환에 제약을 먼저 요구한다. 모든 군은 1차원 표현을 하나 갖는데, 항상 [math(\rho(g)=1)]로 주면 된다. 이걸 '''자명한 표현'''(trivial representation)이라 한다. === 예시 === (체에 대한 언급이 없으면 [[실수]] 위에서의 표현으로 생각한다.) 자명군 다음으로 단순한 군인 [math(C_2=\{1,r\})] 같은 경우 ([math(r^2=1)]) 1차원 표현이 하나 더 있다. [math(\rho(1) = 1, \rho(r)=-1)]로 주는 것이다. 기하학적으로는 직선에서 원점에 대한 반사 변환을 [math(r)]에 대응시키는 것으로 볼 수 있다. 물론 표현이 이것만 있는 건 아니고, 2차원에서 [math(r)]이 두 좌표의 자리를 바꾸는 다음 표현 [math( \rho(1) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0& 1\end{pmatrix}, \rho(r) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix})] 도 있을 것이다. 즉 [math(r)]이 직선 [math(x=y)]에 대해 반사를 시키는 건데, 여기서 직선 [math(x=y)] 부분은 [math(\rho(r))]에 대해 불변이라 자명한 표현이 되고, [math(x=-y)] 부분은 [math(\rho(r))]이 작용하면 -1배가 되어 또 다른 표현이 된다. 엄밀하게는 1차원 표현 2개의 [[직합]](direct sum)[* 표현에서도 직합, [[준동형 사상]], 부분표현, 핵과 공핵 등을 벡터공간과 유사하게 생각하는 것이 가능하다.] 으로 나타났다고 이야기한다. 일반적인 [[순환군]] [math(C_n=\{1=r^n,r, \cdots, r^{n-1} \})]을 생각하면, 다각형의 회전에서 순환군을 만들 수 있는 만큼, [math(r)]을 [math(2\pi k/n)]만큼 회전시키는 변환으로 생각하는 다음의 표현이 있을 것이다. [math( V_k=\mathbb{R}^2, \rho_k(r) = \begin{pmatrix} \cos(2\pi k/n) & -\sin(2\pi k/n) \\ \sin(2\pi k/n) & \cos(2\pi k/n) \end{pmatrix} )] 이것이 전부일까? 만약 [math((V,\rho))]가 [math(C_n)]의 일반적인 표현이라고 한다면, 행렬 [math(A = \rho(r))]은 [math(A^n = \rho(r^n) = I)]를 만족한다. [math(A)]의 [[최소 다항식]]은 [math(x^n-1)]을 나누므로 [math(A)]는 복소수 위에서는 [math(e^{2 \pi k/n})] 형태의 고윳값들로 [[대각화]] 가능하고, 따라서 실수 위에서는 [math(e^{2\pi k/n})]과 [math(e^{-2\pi k/n})] 부분을 켤레를 합친 [math(\rho_k(r))] 형태의 블록들을 합친 것으로 나올 것이다. 즉 모든 표현은 [math((V_k,\rho_k))]들과 자명한 표현을 합쳐서 얻을 수 있다. 다른 유한군의 경우에도 체가 실수/복소수라면 특정 표현 몇 개의 합으로 모든 표현을 나타낼 수 있다는 사실이 알려져 있다. 표현론에서 유한군보다 더욱 관심있게 연구하는 [[행렬]]군의 예시로 넘어가보자. 3차원 공간의 회전 [math(\mathrm{SO}(3,\mathbb{R}))]의 표현에는 어떤 게 있을지 생각해보면, 일단 회전으로 나타나는 자연스러운 3차원 표현을 생각할 수 있다. 이 표현이 작용하는 좌표들을 [math(x,y,z)]라 하자. 이제 이들로서 나타나는 동차 2차 다항식들의 6차원 공간(기저 [math(x^2,xy,xz,y^2,yz,z^2)])도 표현으로 생각할 수 있는데, [math(x,y,z)]만 변환대로 바꾸어주는 것이다. 한편 이 표현 중 [math(x^2+y^2+z^2)]라는 원소는 [math(\mathrm{SO}(3,\mathbb{R}))]의 작용에 대해 불변이므로, 이 6차원 표현은 [math(\mathrm{span}(x^2+y^2+z^2))]을 포함한다. 나머지 5차원의 조각은 [[라플라시안]] [math(\triangle f = 0)]이 되는 다항식들의 집합으로, 다음 기저를 갖는다. [math(xy, xz, yz, x^2-y^2, 2z^2 - x^2 - y^2)] 만약 이것들이 어찌 [[오비탈#s-4.3|d-오비탈]] 같은데서 본거 같다 싶으면 제대로 본 것이다. (!!!) 실제로 [[오비탈#s-4.2|p-오비탈]]의 [math(x,y,z)]는 3차원 표현의 기저이고, 교과서에서는 나오지 않지만 7개의 [[오비탈#s-4.4|f-오비탈]]은 7차원 표현의 특정 기저와 관련되어 있다. [[텐서곱]]을 배웠다면 [math(k)]차 동차 다항식은 대칭 텐서곱 [math(\mathrm{Sym}^k(V))]으로 간주될 수 있음을 알 것이고, 즉 이들 표현은 다들 3차원 위에서의 텐서 [math(V^{\otimes k})]의 일부분 조각으로 간주될 수 있다. 사실 물리학에서 [[텐서]]를 묘사하는 방식이 바로 이 표현론에서의 텐서 표현의 정의이다.--물론 좌표변환에 대해 특정 법칙을 따르니 이런 식으로 뺑뺑 돌아가며 설명해서 관찰하기 어렵긴 하지만-- 표현론을 깊게 배우면 [math(n)]차 조화 다항식(즉 [math(\triangle f = 0)]인 다항식)의 [math(2n+1)]차원 표현들의 조합으로 모든 유한차원 (매끄러운) 표현을 나타낼 수 있다는 것을 증명할 수 있다. 유한군의 경우와 비슷하지만 이 경우에는 자연수 갯수만큼의 기본 표현들이 있는 것이 차이점. 이 자연수개의 기본 표현들은 의외의 분야에서 색다른 사실을 알려주곤 한다. 예로 평면의 회전군 [math(\mathrm{SO}(2,\mathbb{R}) \simeq \mathbb{R}/\mathbb{Z})]은[* 우변의 숫자 [math(t)]는 회전각 [math(2\pi t)]만큼의 회전에 대응된다.] 자명한 표현을 제외하면 자연수 [math(n)]에 대해 다음 2차원 표현들이 있고, 이 표현들과 자명한 표현들이 기본 조각을 이룬다. [math( \rho_n(t) = \begin{pmatrix} \cos(2 \pi n t) & -\sin(2 \pi n t) \\ \sin(2\pi n t) & \cos(2 \pi n t) \end{pmatrix} )] 군의 표현을 나타내는 행렬에서 각각의 성분들은 [math(G \rightarrow \mathbb{R})]의 함수로 생각될 수 있고, 이 함수의 선형 결합들을 행렬 계수(matrix coefficient)라 부른다. 근데 표현론의 피터-바일 정리(Peter-Weyl theorem)에 따르면, [math(G)]가 [[컴팩트]]인 행렬군이면 임의의 함수 [math(G \rightarrow \mathbb{R})]는 행렬 계수로 근사될 수 있다.[* 정확히 말하면, [math(L^2(G))]에 속한 함수를 행렬 계수로 [math(L^2)] [[노름]]에 대해 근사할 수 있다.] 즉 [math(\mathrm{SO}(2))]에서 피터-바일 정리가 의미하는 것은, 함수 [math(1, \sin(2\pi n t), \cos(2 \pi n t))]들의 선형 결합으로 임의의 함수를 근사할 수 있다는, 즉 바로 '''[[푸리에 해석]]'''이 된다! 이걸 일반화하면 임의의 [[컴팩트]] 행렬군 [math(G)]에 대해서도, [math(L^2(G))] 위의 정규직교기저로 행렬 계수들을 잡을 수 있을 뿐만이 아니라, 이들을 [[라플라시안]][* 물론 [math(G)]는 일반적인 리만 [[다양체]]이니만큼 라플라스-벨트라미 작용소(Laplace-Beltrami operator)가 될 것이다.]에 대한 [[고유치 문제]] [math(\triangle \varphi = \lambda \varphi)]의 해법으로 잡을 수 있다는 어마어마한 사실을 증명할 수 있다. 위에서 언급한 [[수소 원자 모형]]을 푸는 이론적 근거는 사실 여기서 따올 수 있다. [[분류:대수학]]