[include(틀:전자기학)] [목차] == 개요 == {{{+1 '''Poynting vector'''}}} [[전자기파]]의 단위 면적, 단위 시간당 면적을 통과하는 전자기 에너지 흐름을 나타내는 벡터이다. 영국의 물리학자 포인팅(J. H. Poynting; 1852~1914)이 처음 유도했다.[* 여담으로, 포인팅 벡터의 영어 표시가 'Pointing vector'라 생각하는 학생들도 간혹 있는데, 물리학자 이름을 딴 것이므로 아님에 주의하라.] == 포인팅 벡터의 도출 == === 전자기장이 전하에게 하는 일률 === 어떤 부피 [math(V)] 내에 전자기장[* 전자기파는 그 부피 내를 지나면서 안에 전자기장을 만든다.]이 있는 상황을 고려해보자. 전하가 전자기장에서 받는 힘은 [[로런츠 힘]]이므로 전하가 미소 변위 [math(d \mathbf{l})]를 이동했을 때, 전자기장이 한 일은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle dW=q(\mathbf{E}+\mathbf{v} \times \mathbf{B})\cdot d \mathbf{l} )] }}} 이때, [math(d \mathbf{l}=\mathbf{v}\,dt)]로 쓸 수 있으므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle dW=q(\mathbf{E}+\mathbf{v} \times \mathbf{B})\cdot \mathbf{v}\,dt )] }}} 따라서 전자기장이 하는 일률은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \frac{dW}{dt}=q(\mathbf{E}+\mathbf{v} \times \mathbf{B})\cdot \mathbf{v} )] }}} 이때, 식은 [[전기장]]과 [[자기장]]에 대한 항으로 나뉘어지나, [[자기장]] 항은 없어진다. 따라서 자기장은 전하에게 일을 하지 않는다는 것을 알 수 있다. 이에, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \frac{dW}{dt}=q\mathbf{E} \cdot \mathbf{v} )] }}} 이때, 이 식은 다음과 같이 전하 밀도를 이용하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \frac{dW}{dt}=\iiint_{V} \rho \mathbf{v} \cdot \mathbf{E} \,dV )] }}} 형태로 쓸 수 있다. 위 항 중 [math(\mathbf{J} \equiv \rho \mathbf{v})]로 쓸 수 있으므로 위 항은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \frac{dW}{dt}=\iiint_{V} \mathbf{J} \cdot \mathbf{E} \,dV )] }}} 임을 알 수 있다. 이 전기장이 전하에게 해준 일은 '''줄 발열(Joule heating)'''이라는 현상으로 나타난다. === 전자기 에너지 밀도 === 전기장과 자기장은 장에 에너지가 저장되어 있으며, 그것들은 단위 부피 당 에너지인, 에너지 밀도로 표현될 수 있다. 전기장과 자기장에 대한 에너지 밀도는 다음과 같다. * 전기장의 에너지 밀도: [math(\displaystyle u_{E} \equiv \frac{1}{2}(\mathbf{E} \cdot \mathbf{D}) )] * 자기장의 에너지 밀도: [math(\displaystyle u_{B} \equiv \frac{1}{2}(\mathbf{B} \cdot \mathbf{H}) )] 전기장의 에너지 밀도는 [[커패시터]]에서 전기장에 대한 가우스 법칙과 전압의 정의, 그리고 커패시터 전기 에너지 공식으로부터 얻을 수 있으며, 마찬가지로 자기장의 에너지 밀도는 [[인덕터]]에서 비슷한 방식으로 유도하면 된다. === 에너지의 보존-포인팅 정리 === 이제 부터는 어떤 부피 [math(V)] 내에 전자기장과 전하들이 있는 상황을 고려해보자. 이때, 어떤 벡터 [math(\mathbf{S})]는 전자기파에 의해 단위 시간, 단위 면적당 면적을 투과하는 에너지를 기술하는 벡터라 가정하자. 그렇게 되면, [math(V)] 내의 전자기 에너지 [math(U)] 보존은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle -\frac{dU}{dt}=\frac{dW}{dt}+\oiint_{S} \mathbf{S}\cdot d \mathbf{a} )] }}} 으로 나타나게 된다. 이때, [math(S)]는 [math(V)]를 둘러싸는 폐곡면이고, 위에서 다뤘듯, [math(dW)]는 전자기장이 전하에게 해준 일이다. 즉 위의 식은 다음을 나타낸다. ||<table width=100%> '''어떤 부피 내에서 단위 시간당 전자기 에너지 변화는 전자기장이 전하에게 단위 시간당 해준 일과 전자기파에 의해 유출되는 단위 시간당 에너지 양과 같다.''' || === 포인팅 벡터 도출 === 위에서 도출된 식을 다음과 같이 쓰자. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle -\iiint_{V} \frac{\partial u}{\partial t}\,dV=\frac{dW}{dt}+\iiint_{V} (\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{S})\, dV )] }}} 위에서 전자기장이 전하에게 하는 일을 논의했으므로 그 결과를 쓰면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle -\iiint_{V} \frac{\partial u}{\partial t}\,dV=\iiint_{V} (\mathbf{J} \cdot \mathbf{E})\,dV +\iiint_{V} (\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{S})\, dV )] }}} [math(u)]는 [math(V)] 내의 전자기 에너지 밀도이다. 따라서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}+\mathbf{J} \cdot \mathbf{E}+\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{S}=0 )] }}} 이제 전류 밀도를 자유 전하 밀도 [math(\mathbf{J}_{f})]라 가정하자. 그렇게 되면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \mathbf{J}_{f} \cdot \mathbf{E}=-\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{S}-\frac{\partial u}{\partial t})] }}} 으로 쓸 수 있다. 이때, [[맥스웰 방정식]]의 네 번째 식을 사용하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{J}_{f} \cdot \mathbf{E}&=\left[ \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{H}-\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} \right] \cdot \mathbf{E} \\ &=(\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{H}) \cdot \mathbf{E} - \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} \cdot \mathbf{E} \end{aligned} )] }}} 이때, 벡터 항등식 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla}\cdot(\mathbf{E} \times \mathbf{H})=(\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E})\cdot \mathbf{H}-(\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{H})\cdot \mathbf{E} )] }}} 을 이용하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \mathbf{J}_{f} \cdot \mathbf{E}=- \boldsymbol{\nabla}\cdot(\mathbf{E} \times \mathbf{H})+(\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E})\cdot \mathbf{H}- \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} \cdot \mathbf{E} )] }}} [[패러데이 법칙]]에서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{J}_{f} \cdot \mathbf{E}&=- \boldsymbol{\nabla}\cdot(\mathbf{E} \times \mathbf{H})-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \cdot \mathbf{H}- \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} \cdot \mathbf{E} \\ &=- \boldsymbol{\nabla}\cdot(\mathbf{E} \times \mathbf{H})-\frac{\partial}{\partial t} \left(\frac{1}{2} \mathbf{B} \cdot \mathbf{H} \right)- \frac{\partial}{\partial t} \left(\frac{1}{2} \mathbf{E} \cdot \mathbf{D} \right) \end{aligned} )] }}} 따라서 식들을 비교하면, 다음을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{S} &= \mathbf{E} \times \mathbf{H} \\ \frac{\partial u}{\partial t}&=\frac{\partial}{\partial t} \left(\frac{1}{2} \mathbf{B} \cdot \mathbf{H} \right)+ \frac{\partial}{\partial t} \left(\frac{1}{2} \mathbf{E} \cdot \mathbf{D} \right) \end{aligned} )] }}} 이때, [math(\mathbf{S})]를 '''포인팅 벡터'''라 한다. 이때, 포인팅 벡터의 방향은 전자기파 진행 시의 전기장과 자기장과의 관계에 의해 전자기파의 진행 방향과 일치한다는 것을 알 수 있다. == 전자기파에 저장된 에너지 == 윗 문단의 논의로 다음을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle u=\frac{1}{2} \mathbf{E} \cdot \mathbf{D} +\frac{1}{2} \mathbf{B} \cdot \mathbf{H} )] }}} 각 항은 전기장과 자기장에 저장되는 에너지 밀도이다. 즉, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle u=u_{E} +u_{B} )] }}} 을 만족한다. 이때, [math(\mathbf{D}=\varepsilon \mathbf{E})], [math(\mathbf{B}=\mu \mathbf{H})]로 쓸 수 있는 단순한 매질에서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle u=\frac{1}{2} \varepsilon E^{2} + \frac{1}{2 \mu}B^{2} )] }}} 로 표시할 수 있다. 그런데, [[전자기파]] 문서에서 전자기파는 다음과 같이 방사된다는 것을 안다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle E=vB \qquad \qquad v=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon \mu}} )] }}} 이것을 이용하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle u=\frac{1}{2} \varepsilon E^{2} +\frac{1}{2} \varepsilon E^{2}=\varepsilon E^{2} )] }}} 임을 쉽게 증명할 수 있고, 위 논의는 다음을 말해준다. ||<table width=100%> '''전자기파에 저장된 에너지는 전기장에 저장된 에너지와 자기장에 저장된 에너지가 반반 나뉘어 저장돼있다.''' || == 포인팅 벡터의 타당성 == 이때까지 수학적 처리를 통해 포인팅 벡터를 얻어왔다. '이렇게 얻어진 포인팅 벡터는 과연 타당한가?'에 대한 물음이 이 정도 되면 나올 것이다. 이 문단에서는 포인팅 벡터의 타당성을 확인해보자. 포인팅 벡터는 위에서 논의했듯, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \mathbf{S} = \mathbf{E} \times \mathbf{H} )] }}} 로 주어진다. 이것을 다시 쓰면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \mathbf{S} = \frac{1}{\mu} \mathbf{E} \times \mathbf{B} )] }}} 으로 쓸 수 있고, [math(\displaystyle \mathbf{E} \times \mathbf{B})]의 방향은 전자기파의 진행 방향 [math(\hat{\mathbf{k}})]이며, 전자기파가 진행될 때, [math(E=vB)]임을 안다. 또한, [math(v=(\sqrt{\varepsilon \mu })^{-1})]로 쓸 수 있으므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \mathbf{S} = \hat{\mathbf{k}} \frac{E^{2}}{\mu v} = \varepsilon E^{2}\cdot v\hat{\mathbf{k}}=u \mathbf{v} )] }}} 가 된다. 따라서 포인팅 벡터는 위에서 논의한 전자기파에 저장된 에너지와 진행 속도가 곱해진 벡터임을 알 수 있다. 따라서 처음에 가정했던 '전자기파에 의해 단위 시간, 단위 면적당 면적을 통과하는 에너지를 기술하는 벡터'의 타당성을 볼 수 있다. 좀 더 쉽게 이해하기 위해 전류 밀도를 예로 들어보자. 전류 밀도는 단위 시간, 단위 면적당 면적을 통과하는 전하의 유량이다. 이 전류 밀도는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \mathbf{J}=\rho \mathbf{v} )] }}} 로 쓸 수 있다. 따라서 논의하고 있는 포인팅 벡터에서는 [math(\rho \, \rightarrow \, u)]로 바뀌었을 뿐이고, [math(u)] 또한 명백히 물리량의 밀도를 나타낸다. 그렇기 때문에 다르게 생각하면, 에너지 알갱이가 어떤 면적을 속도를 가지고 유출한다는 것으로도 전자기파에 의해 유출되는 에너지를 해석할 수도 있다. == 시간에 대한 평균 포인팅 벡터 == 이제 전자기파의 복사 강도에 해당하는 평균 포인팅 벡터에 대해 알아보고자 한다. 이것은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \langle \mathbf{S} \rangle = \langle \mathbf{E} \times \mathbf{H} \rangle )] }}} 으로 계산된다. 간단한 예를 들어보도록 하자. [math(x)]축으로 선형 편광되고, 진행 방향이 [math(\hat{\mathbf{z}})]인 진공에서의 전기장 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \mathbf{E}=\hat{\mathbf{x}}E_{0}e^{i(kz-\omega t)} )] }}} 이 있을 때, 자기장 세기는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \mathbf{H}=\hat{\mathbf{y}}\frac{E_{0}}{\mu_{0} c}e^{i(kz-\omega t)}=\hat{\mathbf{y}}\varepsilon_{0} E_{0}ce^{i(kz-\omega t)} )] }}} 가 된다.[* [[전자기파]] 문서에서 전자기파가 공간상에 방사될 때, 두 장은 어떠한 관계를 가지고 있는지 보라.] 그런데 관측할 수 있는 영역은 실수부의 파이므로 실수부만 취하자. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{Re}(\mathbf{E})&=\hat{\mathbf{x}}E_{0}\cos{(kz-\omega t)} \\ \mathrm{Re}(\mathbf{H})&=\hat{\mathbf{y}}\varepsilon E_{0}c\cos{(kz-\omega t)} \end{aligned})] }}} 따라서 구하는 포인팅 벡터는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{S}&= \mathrm{Re} (\mathbf{E}) \times \mathrm{Re} (\mathbf{H}) \\ &=\hat{\mathbf{z}}\varepsilon_{0} E_{0}^{2}\cos^{2}{(kz-\omega t)} \end{aligned} )] }}} 이상에서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \langle \mathbf{S} \rangle&=\hat{\mathbf{z}}\ \langle \varepsilon E_{0}^{2}\cos^{2}{(kz-\omega t)} \rangle \\ &=\hat{\mathbf{z}}\varepsilon E_{0}^{2} \langle \cos^{2}{(kz-\omega t)} \rangle \end{aligned} )] }}} 이때, 한 주기에 대한 [[코사인]] 제곱 항의 시간 평균은 [math(1/2)]이므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \langle \mathbf{S} \rangle=\hat{\mathbf{z}} \frac{1}{2} \varepsilon E_{0}^{2} )] }}} 으로 구할 수 있다. 아래와 같은 물리량을 생각해보자. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \langle \mathbf{S} \rangle \cdot d \mathbf{a} )] }}} 이 물리량은 어떤 미소 면적을 통과하는 단위 시간당 에너지의 평균적인 미소 유량을 의미하게 된다. 따라서 어떤 면적에 대해서는 위를 적분하면, 얻을 수 있다. 이번에는 평균 포인팅 벡터를 쉽게 계산하는 방법에 대해 알아보자. 전자기파가 단색 평면파라면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{E}&=\mathbf{E_{0}}e^{-i \omega t} \\ \mathbf{H}&=\mathbf{H_{0}}e^{-i \omega t} \end{aligned} )] }}} 로 주어질 것이다. 그런데 관측 가능한 파는 실수부에 한해서 이므로, 평균 포인팅 벡터는 실수부만 취해야 한다. 즉, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \langle \mathbf{S} \rangle = \langle \mathrm{Re} (\mathbf{E}) \times \mathrm{Re} (\mathbf{H}) \rangle )] }}} 이때, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{Re} (\mathbf{E})&= \frac{1}{2} (\mathbf{E}+\mathbf{E}^{\ast}) \\ \mathrm{Re} (\mathbf{H})&= \frac{1}{2} (\mathbf{H}+\mathbf{H}^{\ast}) \end{aligned} )] }}} 로 쓸 수 있다. [math(\ast)]는 복소 공액(켤레 복소수)을 취한다는 의미에서 붙였다. 따라서, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \langle \mathbf{S} \rangle &=\frac{1}{4} \langle (\mathbf{E}+\mathbf{E}^{\ast}) \times (\mathbf{H}+\mathbf{H}^{\ast}) \rangle \\ &=\frac{1}{4} \left[ \langle \mathbf{E} \times \mathbf{E}^{\ast} \rangle + \langle \mathbf{H}^{\ast} \times \mathbf{H} \rangle + \langle ( \mathbf{E} \times \mathbf{H}^{\ast} )+( \mathbf{E}^{\ast} \times \mathbf{H} ) \rangle \right] \end{aligned} )] }}} 이때, 앞 두 항에 대한 계산을 해보면 0을 얻고, 뒤 항은 시간 항이 사라지므로 결국 평균 값은 제3항의 벡터 연산을 한 값과 같다. 결국 다음과 같이 계산할 수 있음을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \langle \mathbf{S} \rangle =\frac{1}{2} \mathrm{Re} (\mathbf{E} \times \mathbf{H}^{\ast})=\frac{1}{2} \mathrm{Re} (\mathbf{E}^{\ast} \times \mathbf{H}) )] }}} == 에너지 연속 방정식 == 위에서 전자기장의 에너지 보존에 대해, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}+\mathbf{J} \cdot \mathbf{E}+\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{S}=0 )] }}} 로 쓸 수 있다고 했다. 이때, 전하에게 한 일 또한 밀도 형태로 쓸 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \frac{dW}{dt}=\iiint_{V} \frac{\partial u_{\mathrm{mech} } }{\partial t} \,dV )] }}} 따라서 위에서 논의한 에너지 보존을 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \frac{\partial }{\partial t}(u+u_{\mathrm{mech}})+\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{S}=0 )] }}} 로 쓸 수 있다. 이것을 전자기학의 에너지 연속 방정식이라 한다. 참고로, 정상 전류를 다뤘을 때, 전류에 대한 연속 방정식과 비교해보면 분명한 의미를 알 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \frac{\partial \rho}{\partial t}+\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{J}=0 )] }}} 연속 방정식에 대한 자세한 내용은 [[연속 방정식|해당 문서]]를 참조하라. == 관련 문서 == * [[물리학 관련 정보]] * [[전자기학]] * [[전기장]], [[전기 변위장]] * [[자기장]], [[자기장 세기]] * [[전자기파]] * [[맥스웰 방정식]] * [[에너지 보존 법칙]] [[분류:전자기학]][[분류:물리학]][[분류:전자기파]]