[[분류:삼각형]][[분류:언어철학]][[분류:역설]][[분류:나무위키 수학 프로젝트]] [include(틀:기하학·위상수학)] [include(틀:삼각형)] [목차] == 개요 == 자크 루브찬스키라는 학자가 고안한, '아무 특징이 없는' 삼각형. 때로는 '평범'하기가 '비범'하기보다 어려움을 보여주는 단적인 예이자, [[언어철학]]적 역설의 일종이다. == 상세 == 웬만한 [[삼각형]]엔 다 이름이 붙어 있기 때문에 정말 이름 없는 평범한 삼각형 만들기가 오히려 힘들다. 예를 들어 [[특수각#직각|직각]]이 있으면 [[직각삼각형]], 둔각이 있으면 [[둔각삼각형]], 세 변의 길이가 모두 다르면 [[부등변삼각형]]이라고 한다. 이에 자크 루브찬스키라는 학자가 아무 특징 없는 '평범한 삼각형'을 작도하는 법을 연구했다. 그가 고안한 가장 간단한 '평범한 삼각형'은 다음과 같이 그릴 수 있다. 1. 정삼각형 하나를 그린다. 1. 한 꼭짓점에서 대변(對邊)으로 수선을 내려 [[정삼각형]]을 이등분한 뒤, 그 중 하나를 버린다. 1. 2에서 나온 [[직각삼각형]]의 길이가 중간인 변을 짧은 변으로 하는 직각[[이등변삼각형]]을 덧붙여 그린다. 1. 세 각이 각각 [math(45^{\circ})], [math(60^{\circ})], [math(75^{\circ})]인 정말 이름 없는 삼각형이 나온다. [[파일:나무_평범한삼각형png.png|width=165&align=center]] 그러나 평범한 삼각형의 세 각은 각각 [math(45^{\circ})], [math(60^{\circ})], [math(75^{\circ})]이므로 그냥 '''[[예각삼각형]]'''이라는 이름을 붙일 수 있으며[* 모든 삼각형은 상호배타적으로 예각/직각/둔각삼각형 중 하나의 범주에 무조건 속해야 한다.] 세 변의 길이가 모두 다르므로 '''부등변삼각형'''이라는 이름을 붙일 수도 있어서[* 모든 삼각형은 상호배타적으로 부등변/이등변삼각형 중 하나의 범주에 무조건 속해야 한다. 정삼각형은 이등변삼각형이라는 범주에 부분집합으로서 명백히 속한다.] 자크 루브찬스키의 연구는 사실 부질없다. --게다가 이 삼각형은 [[KMO]]에서도 자주 나온다-- 그런데 여기에서 정말 주목해야 할 대목은 '평범한 삼각형'이라는 '''이름이자 특징이 생겼으므로''' [[이름과 실제가 다른 것|이름과 달리]] 결국 평범한 삼각형이 아니게 된다는 점이다. 그렇다면 도대체 '[[평범]]하다', '비범하다', '특이하다'의 의미란 무엇인가? 이는 [[베켄바흐의 역설]]에서 제기되는 [[언어철학]]적 문제와도 맞닿아 있다. == [[비유클리드 기하학]]에서 == 다만, [[비유클리드 기하학]]을 고려하면 '평범한 삼각형'이 말이 된다고도 할 수 있는데, [[구면삼각형]]이나 [[쌍곡삼각형]]에 비해서는 특징이 '''평범'''하기 때문. 비유클리드 기하학의 삼각형과는 달리 [[유클리드 기하학]]의 삼각형은 '''[[미분 기하학]]'''이라는 괴악하기 그지없는 녀석 없이 정말로 초등적인 공리([[논증 기하학]] 등)만으로도 다룰 수 있기 때문이다.[* 이 경우, 유클리드 기하학에서의 삼각형 전체가 '평범한 삼각형'이 된다.] 미분 기하학은 [[수학과]]·[[수학교육과]]에서 [[편미분방정식]]과 함께 가장 어려운 과목 1, 2위를 다툴 정도로 다루기가 까다롭다. 덧붙여서, 비유클리드 기하학에서는 위의 평범한 삼각형을 '''그릴 수 없다'''. 이는 비유클리드 기하학에서의 삼각형의 공리를 만족시키지 못하기 때문이다. 단적으로 내각의 합만 따져봐도 [[구(도형)|구]] 위에서는 모자라고, [[쌍곡포물면]] 위에서는 넘친다. 또한 [[정사영]]해보면 완전히 다른 모양이 나온다.[* [[공(운동 기구)|공]]에다 위의 루브찬스키의 방법으로 삼각형을 그려 보면 알 수 있는데, 1번에서부터 [math(60\degree)]보다 큰 각이 나온다. 1번 삼각형을 많이 크게 그렸다면 직각, 심지어는 둔각까지도 나온다.] [각주][include(틀:문서 가져옴, title=삼각형, version=156, paragraph=3)]