[include(틀:이산수학·수리논리학)] [목차] == 개요 == 퍼스(Peirce)의 항진명제는, 다음과 같은 [[진리|항진]]인 [[명제]]이다. * [math(((p \rightarrow q) \rightarrow p) \rightarrow p)] 기호논리학의 선구자 중 한 명인 [[찰스 샌더스 퍼스]]의 이름을 따서 만들어졌다.[* 퍼스 사후 [[하버드 대학교|하버드 대학]]에서 출판한 그의 저작을 모은 퍼스의 전집(Collected Papers of Charles Sanders Peirce)의 Volume 3에 퍼스가 직접 증명한 내용이 실려있다.] == 증명 == 이게 항진이라는 것을, 다음과 같이 증명할 수 있다. [[파일:퍼스의 토톨로지 증명.jpg]] === 전제는 없다(1번 라인) === 항진명제를 증명함에 있어서 중요한 것은, 이 명제가 어떤 경우에서라도 참으로 도출되어야 하는 것이다. 즉, 어떤 전제를 작성하거나 작성하지 않거나에 상관없이, 항진명제라고 하는 것에 대해서는 그 증명이 가능해야 한다는 것이다. 제시한 증명에서는 1번 라인[* 세로줄의 단계를 노드, 가로줄의 순서를 라인으로 부른다.]의 hyp[* 내용의 우측을 확인하자.]로 지정되어 있는 부분이 비어있다. 즉, 없다. 그런 상태에서 퍼스의 항진명제라 하는 조건명제를 증명하는 것이다. === 조건문의 조건을 작성한다(2번 라인) === 퍼스의 항진명제를 구성하는 것은, 결론적으로 [math(\rightarrow)]로 연결되어 있는 부분이다. 이를 사이에 두고, 화살표의 왼쪽에는 [math((p \rightarrow q)\rightarrow p)]가, 오른쪽에는 [math(p)]가 나타나고 있다. 즉, 이를 증명하기 위해서 조건인 것을 2번에서 가정[* 우측의 hyp 표시로부터 확인한다.]을 노드 2에 세우고, 그 안에서 결론으로 [math(p)]를 얻으려는 과정을 시작한다. === 귀류법을 사용해보자(3-13번 라인) === 3번 라인에서는 다시 [math(p)]가 거짓이라고 가정해 본다. 그리고 12번에서 결국 모순이 되는 것을 보임으로써, 결국 [math(p)]가 거짓이 아니어야 함을 13번 라인에서 제시한다. 그 과정에서 다음과 같은 시도들을 하게 된다. ==== [[대우#s-3|대우명제]]를 사용하자(4-7번 라인) ==== 2번 라인의 조건명제에서 결론인 부분을 3번에서 부정하였다. 즉, 조건인 부분이 부정되어 나오는 것이 당연하므로, 7번에서는 2번 명제의 조건 부분이 부정되어 있다. ==== [math(p)]는 아무래도 좋게 되었다(8-11번 라인) ==== 8번 라인에서 [math(p)]가 참이라고 다시 가정해 본다. 그러면 조건인 [math(p)]가 어차피 거짓인 명제이므로, 이를 조건으로 갖는 조건명제는 어떤 것이든지 참이다. 즉, 11번 라인에서 [math(p \rightarrow q)]가 참이라고 해도 할 말 없다는 것. ==== 그러나 그러면 모순(12번 라인) ==== 11번 라인에서 [math(p \rightarrow q)]가 참이라고 내놓긴 했지만, 이건 7번에서 이미 거짓이라고 나와 있는 부분이다. 즉, 모순일 수 밖에 없으므로, 12번 라인에 모순이라고 표시해 둔다. === 그렇기에 [math(p)](13번 라인) === 3번 라인의 가정에서부터 12번 라인의 모순이 도출되었으므로, 3번 라인의 가정은 거짓이어야 한다. 이는 [math(p)]의 거짓이 거짓이라고 하는 것이므로, 13번 라인에서는 [math(p)]를 참이라고 작성한다. === 조건명제의 증명이 끝났다(14번 라인) === 2번 라인의 조건, [math((p \rightarrow q)\rightarrow p)]으로부터 13번 라인의 결론, [math(p)]로 도착하였다. 즉, 2번 라인의 조건은 13번 라인의 결론을 함의하고 있다. 이를 하나의 조건명제로 표현하여, 14번 라인에 다음과 같이 작성한다. * [math(((p \rightarrow q ) \rightarrow p ) \rightarrow p )] == 증명 완료 == [[페르마의 마지막 정리|여백은 많지만 내용이 부족하므로]] 증명을 마친다. == 진리표를 이용한 증명 == 진리표를 이용하면 [math(p\rightarrow q)]는 [math(\neg p\vee q)]와 동등하다. 따라서 [math(((p \rightarrow q ) \rightarrow p ) \rightarrow p )]를 [math(\neg \left(\neg \left(\neg p\vee q\right)\vee p\right)\vee p)]로 변형하면 [[드 모르간의 법칙]]에 따라 [math(\left(\left(\neg p\vee q\right)\wedge \neg p\right)\vee p)]가 되고, 이는 다시 [math(\neg p\vee p)]가 되어 항진임을 알 수 있다. == 관련 문서 == * [[명제#s-1.1]] * [[수학 관련 정보]] * [[찰스 샌더스 퍼스]] [[분류:수리논리학]]