[include(틀:기하학·위상수학)] [목차] == 개요 == [[기하학]] 중에 한가지로 유클리드 기하학에서의 [[거리]]에 대한 정의가 다르다. 보통 Taxicap geometry 라고 부르지만, 거리에 대한 내용만 다룰 경우 '맨해튼 거리(Manhattan distance)'라고 부른다. 19세기 [[수학자]] [[헤르만 민코프스키]]에 의해 처음 연구되었다. 택시 기하학은 특이하게도 [[유클리드 기하학]]의 5개 공준을 모두 만족한다. 하지만, 길이(=거리)에 대한 정의가 다르다 보니 유클리드 기하학과는 사뭇 다른 특성이 나타나며, 이런 이유로 [[비유클리드 기하학]]으로 분류된다. == 맨해튼 거리 == 미국 [[뉴욕]]의 [[맨해튼]]처럼 바둑판 격자 모양으로 도로가 나있는 상황에서, 한 지점에서 다른 위치로 이동하기 위해서 필요한 거리를 뜻한다. 도로가 바둑판 격자처럼 되어 있으니 도로를 따라 이동해야 하는데, 이때의 이동거리가 [[최단거리|두 점 사이의 거리]]가 된다. [[파일:taxcabgeometry_distance.jpg]] 좌표계에 두점 P, Q 가 주어질때 두 점사이의 거리는 아래와 같이 정의된다. <math>d(\mathbf{p}, \mathbf{q}) = \sum_{i=1}^n |p_i-q_i|</math> 예를 들어 이차원 평면에서 두점 <math>P(p_1,p_2)</math> 와 <math>Q(q_1, q_2)</math> 에 대해서 두 점사이의 거리는 아래와 같다. <math>d = | p_1 - q_1 | + | p_2 - q_2 |</math> == 여러 도형의 형태 == 여러 도형의 모습은 [[http://jwilson.coe.uga.edu/MATH7200/TaxiCab/TaxiCab.html|여기]], 또는 [[https://demonstrations.wolfram.com/TaxicabGeometry/|여기서]] 볼 수 있다. === 원 === 기하학에서 [[원(도형)|원]]은 '''한점에서 같은 거리에 있는 점의 집합'''으로 표현된다. 그런데, 택시 기하학에서는 '''거리'''의 정의가 다르다 보니 원의 모습도 다르게 나타난다. 예를 들어 [[격자점|정수 격자 좌표계]]에서 한 점에서 거리가 2인 점들의 집합을 나타내면 이와 같다. 그리고, 격자의 크기를 계속해서 줄여 나가서 격자의 크기가 0 인 극한(실수좌표계)을 생각해 보면 원의 모습은 이렇게 된다. 즉, 흔히 말하는 [[마름모]]꼴 형태의 [[정사각형]]이 된다. [[파일:taxcabgeometry_circle.jpg]] 유클리드 기하학의 원의 방정식은 <math>(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2} </math> 이지만, 택시 기하학에서의 원의 방정식은 원의 중심이 (a,b) 이고, 거리가 d 일때 아래와 같이 표현된다. <math> |x - a| + |y - b| = d </math> === 타원 === 타원은 두 점에서의 거리의 합이 같은 점의 집합이다. [[파일:taxcabgeometry_ellipse.jpg]] 빨간색 도형이 택시 기하학에서의 타원이다. 파란색은 유클리드 기하학의 타원. 유클리드 기하학에서 거리의 합이 두 초점 사이의 거리와 같으면 타원이 폐곡선이 아니라 두 초점을 이은 선분으로 나타나는데, 택시기하학에서는 두 초점의 x좌표와 y좌표가 모두 다를 경우 두 초점을 잇는 최단 경로가 무한히 많으므로 두 초점을 두 꼭짓점으로 하는 직사각형의 테두리와 내부, 즉 면의 형태로 나타나게 된다. === 포물선 === 포물선은 주어진 한점과 한 직선에서 같은 거리에 있는 점의 집합이 된다. 포물선은 아래 형태로 나타난다. [[파일:taxcabgeometry_parabola.jpg]] === 쌍곡선 === 쌍곡선은 아래와 같은 모습이다. [[파일:taxcabgeometry_hyperbola1.jpg]] [[파일:taxcabgeometry_hyperbola2.jpg]] === 두 점에서 같은 거리에 있는 점들의 집합 === 유클리드 기하학에서는 두점에서 같은 거리에 있는 선은 '수직이등분선'이라고 부르며 '''직선'''이 된다. 두 점의 x좌표나 y좌표가 같으면, 택시 기하학에서도 직선으로 나타나지만, 그렇지 않은 경우 직선이 아니게 된다. [[파일:taxcabgeometry_bisector.jpg]] 단, 두 점으로 만들어지는 직선의 기울기가 1 또는 -1 인 경우라면, 이 집합은 선이 아닌 면의 형태로 나타난다. == 특징 == 택시 기하학에서는 [[삼각형]]의 [[합동]]이 성립하지 않는다. 택시 기하학에서는 [[수선의 발]]이 유일하게 결정되지 않을 수 있다. 또한, 수선의 발이 수직이 아니다. [[분류:비유클리드 기하학]]