[include(틀:양자역학)] '''Klein-Gordon Equation''' ~~[[고든 프리맨|인류를 수호하는 공돌신]]과는 관계 없...나?~~ 클라인-고든 방정식은 [[슈뢰딩거 방정식]]의 상대론적 일반화 과정에서 얻어지는 방정식이다. 다만 현대에 이르러서는 [[상대성 이론]]을 베이스로 하는 장론에서 기본적으로 튀어나오는 스칼라 장을 기술하는 방정식으로 해석되며, [[양자장론]] 등에서 활용이 되고 있다. [목차] == 역사 == 밑의 계산 과정을 보면 알겠지만, 클라인-고든 방정식은 뭔가 굉장한 사고의 전환이 필요한 것도 아니고, 가정이 몇 개 추가되어야 비로소 얻어지는 결과도 아니고, 그냥 특수 상대론에서의 에너지 식과 물리량-연산자 치환만 알고 둘을 잘 끼워 맞추면 어렵지 않게 튀어나오는 식이다. 그렇다면 슈뢰딩거는 특수 상대론에서의 에너지 식을 몰라서 이 방정식을 자신의 이름으로 발표하지 못하고 고전적 에너지 보존 법칙에 바탕한 [[슈뢰딩거 방정식]]을 발표한 것일까?~~그럴 리가 없지~~ 클라인과 고든이 클라인-고든 방정식을 발표한 것은 1926년인데, 사실 슈뢰딩거는 1925년 말에 이미 이 식을 알고 있었다(...) 슈뢰딩거는 이 방정식을 이용하여 수소 원자에 대해 설명하려고 시도하였다. 그러나 클라인-고든 방정식은 전자의 [[스핀]]을 고려하지 않은 방정식이기 때문에 이러한 설명은 실패한다.[* 전자의 스핀을 고려하면 [[디랙 방정식]]이 나타난다.] 하지만 슈뢰딩거는 이 방정식의 비상대론적 극한이 매우 쓸모있음을 깨닫고, 1926년 1월에 그 방정식, 슈뢰딩거 방정식을 발표한다. 슈뢰딩거 방정식이 발표되고 난 뒤 많은 물리학자들은 슈뢰딩거 방정식을 얻은 방법을 이용해 클라인-고든 방정식을 얻을 수 있다는 것을 깨달았는데, 방정식에 자신의 이름을 갖다 붙인 클라인과 고든은 물론이고 [[물질파 이론]]의 드 브로이, 테오필 드 동데르, 프란스-H. 반 덴 던겐 등 많은 과학자들이 비슷한 주장을 하였다.~~주워먹기~~ 소련의 물리학자 블라디미르 포크는 자기장이 있는 경우로 일반화한 슈뢰딩거 방정식으로 클라인-고든 방정식을 얻었으나 유럽에는 알려지지 않았다.~~[[레프 란다우|란다우]]는 자기 이름 많이 남겼는데~~ ~~따라서 우리는 인생은 타이밍임을 잘 알 수 있다.~~ == 개요 : [[슈뢰딩거 방정식]] == [[슈뢰딩거 방정식]]은 고전 물리학에서 다음과 같은 에너지 법칙과 대응된다. {{{+1 [math( E = T + V )]}}} 이 식에서 [math(E)]는 총 에너지, [math( \displaystyle T = \frac{p^2}{2m} )]는 운동 에너지, [math( V)]는 위치 에너지를 의미한다. 이 에너지 법칙의 각 물리량을 양자 역학에서의 대응하는 연산자 {{{+1 [math( \displaystyle E \rightarrow i\hbar \frac{\partial }{\partial t} )]}}} {{{+1 [math( \displaystyle p \rightarrow -i\hbar \nabla)]}}} {{{+1 [math( \displaystyle V(x) \rightarrow V(x) )]}}} 로 치환하면 [[슈뢰딩거 방정식#s-3.1|시간의존적 슈뢰딩거 방정식]] {{{+1 [math( \displaystyle i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(x,t)= \left( -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(x,t) \right) \Psi(x,t))]}}} 을 얻을 수 있다. 위치 에너지가 존재하지 않는 자유 입자의 경우 [math(V(x) = 0)]이므로 다음과 같이 표현된다. {{{+1 [math( \displaystyle i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(x,t)= -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi(x,t))]}}} == 유도 == === 방법 1: 슈뢰딩거 방정식의 상대론화 === 위에서 사용한 에너지 방정식은 고전적 에너지 법칙이다. 그렇다면 이것을 상대론적으로 바꾸어 본다면 어떨까? 특수 상대성 이론에서는 자유 입자의 에너지를 다음과 같이 쓸 수 있다. {{{+1 [math( E = \sqrt{p^2 c^2 + m^2 c^4} )]}}} 슈뢰딩거 방정식을 유도하기 위해 사용했던 방법처럼 물리량을 연산자로 치환해 보면 {{{+1 [math( \displaystyle i\hbar \frac{\partial }{\partial t} \Psi = \sqrt{ (-i\hbar \nabla)^2 c^2 + m^2 c^4} \Psi )]}}} 를 얻는다. 아무래도 오른쪽의 연산자는 제곱근이 들어가 있어 계산하기 힘들 것 같다. 게다가 이 방정식은 비국소적[* 국소적인 미분방정식은 임의의 아주 작은 점 근처에서의 정보가 주어진다면 함수의 모든 정보를 알 수 있다. 반대로, 비국소적인 미분방정식은 한 점에서 그 미분방정식이 옳은지 확인하고 싶다면 그 점으로부터 멀리 떨어진 점의 정보가 필요하다.]이다. 그렇다면 특수 상대성 이론에서의 에너지 식의 양변을 제곱한 다음 연산자로 치환한다면 어떨까? {{{+1 [math( \displaystyle E^2 ={p^2 c^2 + m^2 c^4} \rightarrow - \hbar^2 \frac{\partial^2 }{\partial t ^2} \Psi = ( -\hbar^2 \nabla^2 c^2 + m^2 c^4) \Psi)]}}} 좀 더 알기 쉽게 정리하면 {{{+1 [math(\displaystyle \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} \Psi - \nabla^2 \Psi + \frac{m^2 c^2}{\hbar ^2} \Psi = 0)]}}} [[달랑베르 연산자]]와 [math(c=\hbar=1)]이라는 규격을 사용하여 더욱 간단한 형태로 적을수도 있다. {{{+1 [math((\square + m^2) \Psi = 0 )]}}} 이것이 클라인-고든 방정식이다. === 자유롭게 움직이는 상대론적 점입자의 양자화 === 상대론에서 스핀과 전하가 없으며 [math(d)]-차원 민코프스키(Minkowski) 시공간 [math(\mathcal{M})] 에서 자유롭게 움직이는 점입자의 위치 [math(x^{\mu}(\tau),\ \mu = 0, 1, \dots, d-1)]에 관한 방정식은 다음과 같은 작용 [math(S)] 으로부터 얻어진다. {{{+1 [math(S = -m \int_{\mathcal{M}} d\tau \left(- \eta_{\mu \nu} \dot{x}^{\mu} \dot{x}^{\nu} \right)^{1/2})] }}} 위 식에서 {{{+1 [math(\eta_{\mu \nu} = \left( \begin{array}{cccc} -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right))] }}} 는 민코프스키 계량(metric)을 나타낸다. 이 입자의 운동량 [math(p_{\mu}(\tau))] 은 다음과 같이 주어진다. {{{+1 [math( p_{\mu} = \frac{\partial L}{\partial \dot{x}^{\mu}} = m \left(- \eta_{\lambda \rho} \dot{x}^{\lambda} \dot{x}^{\rho} \right)^{-1/2} \eta_{\mu \nu} \dot{x}^{\nu} )] }}} 여기서 [math(\dot{x}^{2} = \eta_{\mu \nu} \dot{x}^{\mu} \dot{x}^{\nu})]. 위 운동량 [math(p_{\mu} )] 다음과 같은 제한(constraint)을 가지게 되고, {{{+1 [math(\eta^{\mu \nu} p_{\mu} p_{\nu} = p^{2} = - m^{2})] }}} 이를 양자화하면 물리적인 양자적 상태 [math( \vert \psi \rangle )] 는 다음과 같이 정의된다. {{{+1 [math( (\hat{p}^{2} + m^{2}) \vert \psi \rangle = 0 )] }}} 여기서 [math(\hat{p}_{\mu})] 양자화 된 운동량 연산자이다. 이 연산자는 시공간 기저(basis) [math(\vert x \rangle)] 에 대해 다음과 같이 표현되며 ([math(c = \hbar = 1)]) {{{+1 [math(\hat{p}_{\mu} = -i \frac{\partial}{\partial x^{\mu}}\ ,)] }}} 따라서 물리적인 양자적 상태가 되기 위한 조건은 다음과 같은 클라인-고든 방정식으로 주어진다. {{{+1 [math( (\hat{p}^{2} + m^{2}) \psi(x) = \left[ \left(\frac{\partial}{\partial x^{0}}\right)^{2} -\sum_{i = 1}^{d-1} \left(\frac{\partial}{\partial x^{i}}\right)^{2} + m^{2} \right] \psi(x) )] }}} 여기서 [math(\psi(x))] 는 양자적 상태 [math(\vert \psi \rangle)] 에 대한 파동함수로 다음과 같다. {{{+1 [math(\psi(x) = \langle x \vert \psi \rangle )] }}} === 유도 2: 상대론적 장론에서의 관점 === 그런데 사실 파동함수 대신에 상대성 이론 체계를 만족하는 장 방정식으로 이 방정식을 유도할 수 있다. 여기서 [[라그랑지언]]을 활용하여 방정식을 유도할 것이다. 먼저 스칼라 장 [math(\phi(t, \vec{x}))]가 있다고 하자. 상대론적 장론에서 다루는 장인데, 스칼라 장임므로 이 장은 좌표 변환 [math(x \to x' = \Lambda x)]에 대하여 (여기서 [math(x)]는 4-벡터) 다음과 같이 변환되어야 한다. [math(\displaystyle \phi(x) \to \phi(x') = \phi(\Lambda x).)] 좌표 말고는 뭐가 바뀐 게 없다. ~~뭐 한 거야~~ 그런데 이게 스칼라 장의 사실 상 정의이다. 벡터의 크기가 스칼라인점을 떠 올리면 굳이 스칼라장이라 이름을 붙인 이유를 알 수 있을 것이다. 벡터에 회전변환이나 평행이동변환[* 더 나아가서 위치좌표를 반전하는(parity)변환도 이에 해당한다. ] 가해도 벡터의 크기는 바뀌지 않고, 이와 같이 변환에 대해 불변한 양을 스칼라라 부르듯, 양자장이 이러한 변환에 대해 불변하므로 스칼라장이란 이름이 붙은 것이다.[* 여담으로 회전변환과 평행이동 변환에 대해서 불변하여 스칼라같지만, parity 변환과 같이 불연속 변환에 대해서 부호가 -가 되는 스칼라 또한 존재한다. 이 스칼라를 pseudo-scalar라고 부른다.] 예를 들어 벡터 장은 [math(A^\mu(x) \to (\Lambda^{-1})^\mu_{\;\nu} A^\nu(\Lambda x))]와 같이 변환되는 건데, 스칼라 장은 그 중에서도 그 변환이 제일 단순한 경우다.[* 벡터장이라고 부르는 이유도, 시공간벡터처럼 변환되기 때문에 벡터장이라 부르는 것이다.][* 앞선 첨삭에서 언급한 것 같이, 회전변환과 평행이동 변환에 대해서 벡터처럼 변환하지만, parity 변환과 같이 불연속 변환에 대해서 부호가 여전히 유지되는 벡터 또한 존재한다. 이 벡터를 pseudo-vector라고 부르며, 대표적인 물리량으로는 각운동량이 있다.] 이제 이걸 가지고 라그랑지언을 만들어 보자. 이런 경우 보통 라그랑지언은 로런츠 변환에 대하여 공변이다 못해 불변인 항들만 붙인다. 그런데 스칼라 장 자체가 일단 불변이다. 따라서 일단 상수, [math(\phi, \phi^2, \phi^3, \cdots)]가 라그랑지언에 들어갈 수 있을 것으로 보인다. 그런데 사실 3차 이상의 항이 라그랑지언에 들어가면 해당 장은 스스로와 상호작용을 하는 (self-interaction) 장이 된다.[* 단적으로 고차 항을 넣은 다음 나중에 오일러-라그랑주 방정식을 구해보면 방정식이 더 이상 [math(\phi)]에 대하여 선형이지 않게 된다. 비선형 방정식은 스스로와 상호작용하는 대상을 다루는 대표적인 케이스이다.] 지금 관심 있는 경우는 사실 아무런 상호작용도 하지 않는 장, 즉 자유로운 장(free field)인데, 따라서 지금 라그랑지언에는 상수, [math(\phi, \phi^2)]만 들어갈 수 있다. 즉, [math(a\phi^2 + b\phi + c)] 꼴이 들어간다. 그런데 이건 사실 [math(a(\phi + p)^2 + q)] 꼴로 쓸 수 있으며, [math(\phi + p)]를 [math(\phi)]로 바꿔도 별 문제는 없을 것이다. 마지막으로 라그랑지언에서 상수는 있으나마나 한 것이다. 결국[math(\phi)]의 거듭제곱 꼴들 중에서 최종적으로 라그랑지언에 들어가게 되는 항은 [math(\phi^2)] 뿐이라고 볼 수 있겠다. 하지만 이것만으로는 부족하다. 장의 동역학을 표현하려면 뭔가 더 필요한데, 바로 [math(\phi)]의 변화가 필요하다. 즉, [math(\phi)]의 도함수가 필요하다. 일반적으로[* 다양한 이유를 댈 수 있다. 양자장론에서는 재규격화(renormalization)을 위한 제약조건 때문이라고 설명하기도 한다.] 1차 내지 2차 미분이 들어간 것만 필요하다. 그리고 로런츠 변환에 공변이어야 할 것이다. (일단 공변인 것들을 가지고 있으면 축약(contraction) 등으로 얼마든지 공변인 것들을 만들 수 있다.) 이를 만족하는 건 [math(\partial_\mu \phi)]와 [math(\partial_\mu \partial^\mu \phi = \partial^2 \phi = \square \phi)] 정도일 것이다. 일단 전자는 불변이지 않지만 스스로와의 축약(contraction)을 통해 불변한 꼴로 만들 수 있는데, [math(( \partial_\mu \phi )( \partial^\mu \phi ) = (\partial_\mu \phi)^2)]이 그것이다. 한편 후자의 경우에는 어차피 공변이므로 바로 라그랑지언 '밀도'에[* 귀찮아서 그런지 물리학자들은 라그랑지언 '밀도'를 그냥 라그랑지언이라고 보통 부른다.] 넣어도 될 것 같으나, 주의할 게 뭐냐면 사실 라그랑지언 밀도에 [math(\partial_\mu A^\mu)] 같은 걸 넣어 봤자 어차피 0가 된다는 것이다. 이것은 4차원에서의 가우스 법칙에 의한 것이다. 따라서 [math(\partial_\mu \partial^\mu \phi)] 이 자체는 라그랑지언 밀도에 못 들어간다. 대신에 여기다 [math(\phi)]를 곱한 것, 즉 [math(\phi \partial^2 \phi)]는 더 이상 [math(\partial_\mu A^\mu)] 꼴이지 않으며 불변이기까지 하다. 따라서 또 하나의 후보를 찾은 것 같긴 하다. 그런데 이건 사실 첫번째 녀석인 [math((\partial_\mu \phi)^2)]와 똑같은 녀석으로 볼 수 있다. 왜냐하면 [math(\phi \partial^2 \phi = \partial_\mu (\phi \partial^\mu \phi) - ( \partial_\mu \phi )( \partial^\mu \phi ))]이고 여기서 첫번째 항은 앞서 말한 이유로 인하여 라그랑지언 안에서 사라지는 녀석이기 때문이다.[* 다만 몇 가지 수학적 트릭을 써먹기 위하여 일부러 이 꼴로 라그랑지언을 변환하기도 한다.] 결론적으로 미분이 들어간 항으로는 [math((\partial_\mu \phi)^2)]가 전부라고 볼 수 있다. 여기서 더 많은, 즉 3개 이상의 [math(\phi)]가 들어가는 항은 위 문단에서 설명했던 것과 같은 이유로 인하여 여기서는 무시한다. 결국 최종적으로 라그랑지언에 들어갈 수 있는 항은 [math(\phi^2)], [math((\partial_\mu \phi)^2)]가 전부이다. 즉, 라그랑지언은 이제 다음과 같이 쓸 수 있다. [math(\displaystyle \mathscr{L} = a(\partial_\mu \phi)^2 + b\phi^2)]. 물론 전체 공통 계수는 적당히 [math(\phi)] 안에 흡수시킬 수 있으므로 무시해도 된다. 이는 곧 [math(a, b)] 둘 중 하나는 아무 거나로 고정해도 상관 없다는 것이다. 이에 입각하여 자유 스칼라 장에 대한 라그랑지언은 보통 다음과 같이 쓴다. [math(\displaystyle \mathscr{L} = \frac{1}{2} (\partial_\mu \phi)^2 - \frac{1}{2} m^2 \phi^2)].[* 부호가 바뀌었는데, 이 부호가 아니면 질량이 허수 질량인 것처럼 행동해서 그렇다. 실제로 이 경우 해당 스칼라 장의 입자를 '''타키오닉(tychionic) 입자'''라고 부른다. 하지만 이름과는 다르게 이 입자는 절대 초광속으로 날아가지 않는다.] 결국 자유 스칼라 장의 라그랑지언을 구했다. 그리고 이걸 오일러-라그랑주 방정식 [math(\partial_\mu \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} - \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \phi} = 0)]에 대입하면 다음을 얻게 된다. [math(\displaystyle \partial_\mu \partial^\mu \phi + m^2 \phi = 0.)] 정확하게 클라인-고든 방정식을 얻었다. 따라서 클라인-고든 방정식은 사실 상대론적 (자유) 스칼라 장을 기술하는 방정식임을 알아낸 것이다. 이와 정확하게 똑같은 방법으로 [[맥스웰 방정식]]과[* 다만 맥스웰 방정식은 게이지 대칭성을 추가로 요구해야 얻을 수 있다.] [[디랙 방정식]]을 유도할 수 있다. 항목들을 참고하자. 파동함수를 상대론적으로 확장하여 얻은 결과가 상대론적 자유 스칼라 장의 장방정식과 똑같은 꼴인 게 의미심장해 보이긴 하다. 사실 파동함수 꼴이 애초부터 스칼라 꼴이라는 것으로부터 이건 당연한 결과겠지만. 이에 대한 해석은 맨 아래 설명을 참고하자. == 해 == 클라인-고든 방정식의 파동함수 [math(\Psi(\vec{r}, t))]를 가장 표준적인~~끝없이 우려먹는~~ 평면파 형태로 다음과 같이 두자. {{{+1 [math(\Psi(r, t) = e^{i(\vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t)})]}}} [math(c=\hbar=1)] 규격을 사용한 클라인-고든 방정식에 대입하면 다음을 얻는다. {{{+1 [math( -\omega^2 + |k| ^2 + m^2 = 0 )]}}} 평면파 파동함수의 운동량 기대값과 에너지 기대값은 각각 [math(\hbar k)]와 [math(\hbar \omega)]이므로 (그리고 [math(\hbar = 1)] 규격을 이용하고 있으므로) 다음이 성립한다. {{{+1 [math( \langle E\rangle ^2 = \langle P\rangle ^2 + m^2 )] }}} 이는 특수 상대론에서의 에너지 식과 일치한다! ~~아까 한 거 거꾸로 한 거잖아.~~ [* 슈뢰딩거 방정식에 특수상대론적인 보정을 한 것이 클라인-고든 방정식이기 때문에, dispersion relation이 특수 상대론에서의 에너지 식과 일치하는 것은 당연하다.][* 역사적으로는 클라인-고든 방정식이 슈뢰딩거 방정식보다 먼저 나왔다. 슈뢰딩거도 처음에는 클라인 고든 방정식으로 수소원자 모델을 기술하려고 시도하였으나, 어떻게 해도 타당한 값을 찾을 수 없어 타협하여 발표한 방정식이 슈뢰딩거 방정식이다. 이후에 슈뢰딩거 방정식은 놀라울 정도로 수소원자의 빛 스펙트럼이 특정 주파수만을 가지며 실험값과 거의 완벽하게 일치하게 되면서, 방정식이 주목받게 된 것이다.] 위의 식에서 제곱을 풀면 에너지가 양수와 음수가 모두 등장한다는 문제가 발생한다. 즉, \omega ~ \langle E라는 해석이 타당하지 않게 되는 것이다. 사실 negative frequency mode를 없애는 과정에서 반입자가 등장하게 된다 == 특징과 한계(?) == 클라인-고든 방정식은 특수 상대성 이론에 양자역학적 도구를 끼워 맞춘 형태이다. 따라서 자유 입자 이론의 경우 특수 상대성 이론을 만족시키는 모든 입자의 파동방정식은 클라인-고든 방정식을 만족시킨다. 하지만 상호작용을 하는 경우 입자의 스핀에 대해 고려하지 않았기 때문에 역은 성립하지 않는다. 따라서 0이 아닌 스핀을 가진 입자들의 운동을 설명하기 위해 [[디랙 방정식]] 등의 방정식이 생겨나게 된다. 이런 방정식들의 해는 클라인-고든 방정식의 해이지만, 역은 성립하지 않는다. 위에서 살펴봤듯이 음수 에너지를 갖는 해가 존재한다는 것으로 인해 클라인-고든 방정식은 태어나자마자 철저하게 외면 받았다. 하지만... == 부활: 양자장론 == 이 방정식이 그렇다고 쓸모가 없느냐고 하면 결코 그렇지 않다. 다만 이게 제대로 작동하는 걸 보려면 학부 때 배우던 파동역학을 벗어나야 한다. 다름 아닌 [[양자장론]] 프레임에서만 이게 제대로 동작하기 때문. 해당 문서를 보면 알겠지만 이 프레임에서 음수 에너지 해는 전혀 다른 방식으로 동작하게 된다. 여기서 간단하게 설명하자면, 음수 에너지 해 부분은 양자역학 시간에 배웠던 조화진동자에서 써먹는 사다리 연산자(ladder operator)들 중 소멸자(annihilator)에 해당하는 부분으로 그 역할이 바뀌게 된다. 이렇게 되면 물리적으로 음의 에너지 같은 문제가 전혀 안 일어난다. 이 해석을 쓰면 디랙의 바다 같은 걸 도입하지 않아도 보손이든 페르미온이든 관계 없이 모든 입자를 다 기술할 수 있다는 장점이 있다. 이 프레임은 현재에도 [[입자물리학]]을 포함한 많은 영역에서 널리 쓰이고 있다. 물론 클라인-고든 방정식이 스핀이 0인 입자, 즉 스칼라 입자만 기술하는 건 여전하다. 스핀 1/2인 전자는 디랙 방정식으로 기술되어야 하고 스핀 1인 (그리고 질량이 없으며 U(1) 게이지 대칭성을 갖는) 광자는 맥스웰 방정식으로 기술되어야 한다.[* 양자장론 프레임에서 이러한 입자들에 해당하는 슈뢰딩거 방정식 쯤 되는 게 사실 맥스웰 방정식이라고 생각해도 괜찮을 것이다.] 그래서 여전히 전자기 상호작용을 다룰 때에는 별로 쓸모가 없다. 그래도 파이온 같은 중간자로 핵자들 간의 상호작용을 (근사적으로) 기술하는 방식 때문에 나름 쓸모는 있을 것 같으면서도 양자장론 책들을 보면 그냥 장난감 모델(toy model)[* 연습 삼아 혹은 일종의 사고 실험 겸 해서 세운 모델이다.] 취급을 받긴 하지만... 이 녀석이 제대로 진가를 발휘하는 장면이 입자물리 책들의 거의 끝에 가서 등장하는데, 다름 아닌 스칼라 입자인 [[힉스 보손]]을 다룰 때이다.[* 다만, 약간의 변형이 필요하다. 먼저 실수 장을 다루는 클라인-고든 방정식을 복소수 장을 다루는 방정식으로 확장해야 하고, 추가로 SU(2) × U(1) 게이지를 주기 위해 복소수 스칼라 장을 하나가 아닌 두 개를 마련한다. 복소수 장은 반입자를 가지므로 이제 방정식은 반입자 포함 총 네 개의 입자를 한꺼번에 다루는 방정식으로 변형이 된다. 그래서 원래대로라면 네 개의 힉스 입자가 있는 것처럼 보일 것이나... 자발적 대칭성 붕괴는 이 방정식을 비틀어 버려 네 개의 입자들 중 세 개를 다른 데로 보내버린다. 다름 아닌 W와 Z의 제 3 자유도에 해당하는 상태로 보내는 것이다. 그렇게 해서 W와 Z은 질량을 가지고, 남은 하나의 입자는 원래 클라인-고든 방정식으로 기술되는 입자가 되는데, 이 녀석이 우리가 아는 바로 그 힉스 입자이다.] 초창기에 쓸모 없다고 여겨졌던 클라인-고든 방정식이 알고 보니 최후에 발견된 힉스 입자를 기술하는 녀석이었던 것이다. [[분류:방정식]]