[목차] == 개요 == 공간을 구로 채우는 방법에 대한 [[요하네스 케플러]]의 추측. [[파일:external/upload.wikimedia.org/400px-Empilement_compact.svg.png]] [[3차원]] 공간에서 [[구(도형)|구]]를 채우는 효율에 대한 문제이다. 육방최밀격자[* 육방조밀격자라고 부르기도 한다.] 또는 면심입방격자라고 부르는 방법으로 채우면 한 구에 12개씩 접하는 방법으로 밀집하게 채울 수 있다. 약 74%정도의 효율로 공간을 채울 수 있다는 것은 오래 전부터 알려져 있었다. 엄밀히는 [[육각형]]격자로 채울 때 두번째 층을 놓는 법이 두 가지이므로 효율이 같은 무수히 많은 배치 방법이 존재한다. 케플러의 추측은 간단히 말하면 '''"이보다 더 효율적인 배열 방법이 존재하는가?"'''이다. 국소적으로는 3차원에서는 구에 12개를 접하게 하면서 더 효율적인 채우기 방법이 있지만, 더 큰 공간에서는 그 다음 구를 채우면서 그 주변 부분은 비효율적으로 채워 진다. 때문에 수학자들은 아마도 맞을 것으로는 생각했지만 증명은 하지 못했다. == 증명 == [[1998년]] 토마스 헤일스가 [[컴퓨터]]를 이용한 증명을 발표하였다. 워낙에 방대한 내용을 담고 있기에, 거의 확실하다는 수준에서 인정하고는 있지만 완전히 증명이 검증되진 않았다. 관련 학자들은 아마도 맞을 것이라고 예상하고 있다. 참고로, 컴퓨터를 이용해서 증명했다는 점에서 [[4색정리|4색 문제]]와 유사하다. 참고로 헤일스가 이끄는 수학팀은 2014년 새로운 증명을 발표하였고, 2017년 리뷰를 통과하여 논문으로 게재되었다. [[https://www.cambridge.org/core/journals/forum-of-mathematics-pi/article/formal-proof-of-the-kepler-conjecture/78FBD5E1A3D1BCCB8E0D5B0C463C9FBC|관련 논문]] == 관련 문제 == [[요하네스 케플러|케플러]]의 추측과 관련된 변형 문제로 아래와 같은 것이 있다. * 반지름이 1인 n차원 [[구(도형)|구]]에 반지름이 1인 n차원 구]을 최대로 많이 접할 수 있는 수. 3차원일때는 뉴턴이 12개가 최대라고 추정했으며, 이것이 옳음이 증명되었기에 뉴턴 수(Newton Number)라고 부른다. 현재 연구 결과로 알려진 뉴턴수는 1, 2, 3, 4, 8, 24차원일때의 수만이 알려져 있으며, 그 외의 차원은 상계와 하계만이 알려진 상태다.[* 갑자기 5차원부터 7차원까지를 건너뛰고 8차원, 9~23차원을 건너뛰고 24차원이 알려진게 이상할지 모르지만, 수학이나 물리학에서는 차원이 하나씩 늘어날수록 늘어난 차원이 가지는 성질이 일종의 제약으로 작용하기 때문에 고차원에서 더 쉽게 풀리는 경우가 있다.][* 고차원에서 더 잘 풀리는 좋은 예가 칼루차-클레인 이론. 상대성이론을 5차원으로 확장시킨 것 만으로도 상대성이론이 맥스웰 방정식을 포괄하게 된다. 다만 전자의 자기력 계수가 이상하게 전개되는 것으로 인해 잊혀졌었다. 지금은 재규격화와 차원을 11차원 이상으로 확장시키는 것으로 문제를 회피한다.][* 1차원에서의 뉴턴수는 2(1차원 구 = 점. 한 점을 중심으로 수직선에서 좌 우로 반지름 r만큼 떨어진 두 점의 집합이 1차원 구의 정의다. 반지름 1의 1차원 구 3개가 연달아 늘어서 있을 경우, 중앙의 구의 좌 우에 다른 구가 접할 수 있으므로 1차원 뉴턴수는 2), 2차원에서는 6(2차원 구 = 원), 3차원에서 12, 4차원에서 24이며, 8차원에서는 240, 24차원에서는 196,560개다.] 그나마 25차원 이상은 상계와 하계를 구할 생각도 못 하고 있다. * 같은 부피씩을 포함하는 가장 효율적인 비눗방울의 구조 - [[절대온도]]를 만든 [[제1대 켈빈 남작 윌리엄 톰슨|켈빈]]이 제안한 깎은 정팔면체가 최대라고 생각이 되었지만 다른 구조가 발견되었다. 이 구조는 [[2008 베이징 올림픽]] 수영장 설계에도 쓰였다. --영재원 문제로 겁나 많이 나오니까 알아둬라-- * 가장 효율적인 [[벌집]]의 속 구조 - [[벌(곤충)|벌]]이 만드는 [[벌집]]보다 내부 구조가 효율적인 벌집을 사람이 찾아냈다. == 기타 == 참고로, [[케플러의 법칙]]과는 다른 것이다. 이는 케플러를 유명하게 만든 천체 운동에 대한 내용이다. [각주] [[분류:수학문제]]