[[분류:수학 용어]][[분류:수학상수]][[분류:나무위키 수학 프로젝트]] [목차] == 개요 == {{{+1 Kaprekar number(constant) · Kaprekar [[數]]([[常]][[數]])}}} [[인도]]의 [[수학자]] 카프리카가 1955년 발견한 수로, 그의 이름을 따서 '''카프리카 수'''라고 한다. 아래에서 설명하는 내용 중 전자는 확실한 구별을 위해 '''카프리카 상수'''라고도 한다. == 카프리카 상수 == [include(틀:수학상수의 목록)] [math(0)]부터 [math(9)]까지의 정수 중 세 개의 수를 고르되, '''같은 수를 세 번 고르지 말아야 한다.''' 그 세 수를 큰 순서대로 배열하여 세 자리 자연수를 만들고, 작은 순서대로 배열하여 또 다른 세 자리 자연수를 만든다. 그런 다음 이 두 수의 차를 구한다. 두 수의 차가 되는 세 자리 자연수 역시 큰 순서대로 다시 배열하여 새로운 세 자리 자연수를 만든다. 이 자연수의 배열을 역순으로 하여 또 다른 세 자리 자연수를 만들고 이 두 수의 차를 구한다. '''단, 두 수의 차가 세 자리가 되지 않는다면, 세 자리가 되기 위해 부족한 자리를 모두''' [math(\boldsymbol{0})]'''으로 간주한다.''' 이 과정을 계속 반복하면 결국 [math(\boldsymbol{495})]가 반복된다. 만약 처음에 [math(6)], [math(6)], [math(7)]을 뽑았다면 다음과 같이 된다. ||[math(766-667=099)] [math(990-099=891)] [math(981-189=792)] [math(972-279=693)] [math(963-369=594)] [math(954-459=495)] ⋮|| 이제부터는 계속 [math(495)]가 반복된다. 세 자리가 아니라 네 자리 수로도 카프리카 수를 얻을 수 있다. 마찬가지로 [math(0)]부터 [math(9)]까지의 정수 중 네 개의 수를 고르되, '''같은 수를 네 번 고르지 말아야 한다.''' 만약 처음에 [math(1)], [math(4)], [math(6)], [math(9)]를 뽑았다면 다음과 같이 된다. ||[math(9641-1469=8172)] [math(8172-2718=5454)] [math(5544-4455=1089)] [math(9810-0189=9621)] [math(9621-1269=8352)] [math(8532-2358=6174)] [math(7641-1467=6174)] ⋮|| 이제부터는 계속 [math(6174)]가 반복된다. 이와 같은 계산을 '''카프리카 루틴(Kaprekar routine)'''이라고 하며, [math(495)]와 [math(6174)]를 '''카프리카 수''' 또는 '''카프리카 상수'''라고 한다. === 증명 === 그렇다면 왜 세 자리 카프리카 수는 [math(495)]가 될까? 우선, 처음에 뽑은 세 정수를 각각 [math(a)], [math(b)], [math(c)]라고 하자.[math((9\geq{a}>b>c\geq{0}))] 그러면 처음으로 실행하는 연산은 [math((100a+10b+c)-(100c+10b+a))]가 된다. 이를 계산하면 [math(100(a-c)+(c-a))]가 되고, 이는 결국 [math(100(a-c)-(a-c)=99(a-c))]가 된다. [math(a>b>c)]이므로 [math(a-c>0)]이고, [math(99(a-c)>0)]이다. [math((a-c))]의 값이 될 수 있는 수를 알아보자. 우선, 뺄셈의 연산은 정수 집합에 대하여 닫혀 있으므로 [math((a-c))] 역시 정수일 수밖에 없다. 또한, [math(a>b>c)]이므로 [math(a=c)]일 수 없고, [math(a-c=0)]일 수 없다. 또한, [math(a>b>c)]이고 [math(a)], [math(b)], [math(c)]는 정수이므로 [math(a-c=1)]일 수 없다. [math(a-c=1)]이면 정수 [math(b)]의 값을 결정할 수 없기 때문이다. 또한, [math(9\geq{a}>b>c\geq{0})]이므로 [math(a-c\leq{9-0}=9)]이기 때문에 [math((a-c))]의 값은 [math(9)]보다 클 수 없다. 따라서 [math((a-c))]의 값이 될 수 있는 수는 [math(2)], [math(3)], [math(4)], [math(5)], [math(6)], [math(7)], [math(8)], [math(9)]이다. 여기에서 [math(a-c=2)]인 경우에 진행되는 연산을 보자. ||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023>[math(99(a-c)=198)] [math(981-189=792\boldsymbol{(a-c=2, 99(a-c)=198})] [math(\boldsymbol{\sf or})] [math(\boldsymbol{a-c=9, 99(a-c)=891}))] [math(972-279=693\boldsymbol{(a-c=3, 99(a-c)=297})] [math(\boldsymbol{\sf or})] [math(\boldsymbol{a-c=8, 99(a-c)=792)})] [math(963-369=594\boldsymbol{(a-c=4, 99(a-c)=396})] [math(\boldsymbol{\sf or})] [math(\boldsymbol{a-c=7, 99(a-c)=693)})] [math(954-459=495\boldsymbol{(a-c=5, 99(a-c)=495})] [math(\boldsymbol{\sf or})] [math(\boldsymbol{a-c=6, 99(a-c)=594)})] [math(954-459=495)] ⋮|| 이로써 [math((a-c))]의 값이 [math(2)], [math(3)], [math(4)], [math(5)], [math(6)], [math(7)], [math(8)], [math(9)]인 경우 결국 모두 [math(495)]로 도달한다는 것이 자연스럽게 증명되었다. 따라서, '''카프리카 루틴에 따라''' [math(\boldsymbol{0})]'''부터''' [math(\boldsymbol{9})]'''까지의 정수 중에서 어떻게 수를 뽑든지 [math(\boldsymbol{495})]''''''로 도달한다.''' 그렇다면 왜 네 자리 카프리카 수는 [math(6174)]가 될까? 자릿수가 딱 하나 늘어났을 뿐이지만 세 자리의 경우보다 훨씬 복잡해진다. 일반적인 원리로 증명하는 것은 너무 까다롭고, 하나하나 다 해보는(...) 수밖에 없다. 그것을 [[https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4f/KaprekarRoutineFlowGraph6174.svg|순서도]]로 나타낸 것을 참고. == 카프리카 수 == 인도의 수학자 카프리카는 길을 가다가 '3025km'라는 글귀가 쓰인 이정표에서 심한 폭풍우 때문에 '30'과 '25'가 반으로 잘린 것을 보았다. 그러자 카프리카는 [math(30+25=55)]이고, [math(55^2=3025)]라는 점을 발견했다. 그 후 사람들은 55와 같이, 자신의 제곱수를 임의의 두 부분으로 나누어 더하면 다시 원래의 수가 되는 수를 '''카프리카 수'''로 부르게 되었다. 헷갈리지 말 것. 3025가 아니라 55가 카프리카 수다. === 목록 === 1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, 4879, 4950, 5050, 5292, 7272, 7777, 9999, 17344, 22222, 38962, 77778, 82656, 95121, 99999, 142857, 148149, 181819, 187110, 208495, 318682, 329967, 351352, 356643, 390313, 461539, 466830, 499500, 500500, 533170... 9, 99, 999… 와 같이 임의의 자연수 [math(n)]에 대하여 [math(10^n-1)] 꼴이 되는 수는 전부 카프리카 수이다. 임의의 자연수 [math(n)]에 대하여 십진법에서 [math(10^n-1)] 꼴의 수는 9가 [math(n)]개 이어지는데, 다음과 같이 된다. || [math(n)] || [math(10^n-1)] || [math((10^n-1)^2)] || || 1 || 9 || 81 || || 2 || 99 || 9801 || || 3 || 999 || 998001 || || 4 || 9999 || 99980001 || || 5 || 99999 || 9999800001 || || ⋮ || ⋮ || ⋮ || 8+1=9, 98+01=99, 998+001=999, 9998+0001=9999, 99998+00001=99999... 이렇게 되므로 임의의 자연수 [math(n)]에 대하여 [math(10^n-1)] 꼴이 되는 수는 전부 카프리카 수이다. 따라서 카프리카 수는 무수히 많다. == 여담 == * 수학자 이름이 [[파프리카]]와 비슷해서 '파프리카 수'로 오해하는 일도 종종 있다. [[양순음]]과 [[연구개음]]의 음성적 성질이 비슷하기 때문이다. 전화상에서 [[해경]]과 [[해병]]을 헷갈리곤 하는 것이 또 다른 예이다.