[include(틀:대수학)] [include(틀:수 체계)] [목차] == 개요 == {{{+1 Transcendental Number · [[超]][[越]][[數]]}}} [[정수]][* [[유리수]]라고도 서술하는데 분모의 최소 공배수를 곱하면 정수로 바뀌니 결국 같은 의미다.] 계수로만 이뤄진 유한 차수 다항 방정식의 해가 될 수 없는 수. 반대로 그 해가 될 수 있는 수는 '[[대수#s-1|대수적인 수]](algebraic number)'라고 한다.[* 여기서 유리수(정수) 계수로만 이루어진 방정식이라는 조건이 중요하다. 극단적으로 아래에서 설명할 대표적인 초월수인 [math(\pi)],[math(e)]조차도 실수 계수 방정식 하에선 [math(x - \pi = 0)], [math(x - e = 0)]과 같은 매우 간단한 방정식의 해가 되어 버리기 때문이다. 이를 좀 더 대수학적으로 표현하면 유리수체 [math(\mathbb{Q})] 위에서 초월적인 수라고 할 수 있다.][* 또한 이 초월수의 존재로 인하여 유리수체 [math(\mathbb{Q})]의 대수적 폐포 [math(\mathbb{Q_A})]는 절대로 실수체 [math(\mathbb{R})]나 복소수체 [math(\mathbb{C})]가 될 수 없다. 대수적 폐포의 정의 자체가 해당 체의 확대체 중에서 해당 체에서 상정 가능한 모든 다항식을 1차식으로 분해 가능한 체(=모든 근이 포함된 최소의 확대체)로 정의되기 때문에 실제로 체의 확대를 통해 분류할 경우 [math(\mathbb{Q}\subsetneq\mathbb{Q_A}\subsetneq\mathbb{C})]로 분류된다.] [[무리수]]와는 비슷해 보여도 많이 다른 개념이다. 우리가 잘 아는 무리수 중에서 초월수는 [[원주율|[math(\pi)]]], [[자연로그의 밑|자연로그의 밑 [math(e)]]] 등이 있다. 반대로, [math(\sqrt{2})]는 [[무리수]]이지만 [math(x^2-2 = 0)]의 해 중 하나이므로 초월수는 아니다. 또한, 초월수 같지만 초월수가 아닌 수로는 [math(\sin{\displaystyle \frac{\pi}{17}})]가 있다. [* [math(\sin{\displaystyle \frac{\pi}{17}})]의 값은 [math(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{8} {{ \sqrt{17 - \sqrt{17} - \sqrt{2} \left( \sqrt{34 + 6 \sqrt{17} + \sqrt{2} \left( \sqrt{17} - 1 \right) \sqrt{17 - \sqrt{17}} - 8 \sqrt{2} \sqrt{17 - \sqrt{17}}} + \sqrt{17 - \sqrt{17}} \right) }}})]여서 굉장히 복잡하게 보이지만 결국 정수의 사칙연산과 정수차수 제곱근으로 표현되므로 대수적 수가 된다. 이는 [[카를 프리드리히 가우스]]가 정17각형에 대해 연구한 수이다.] 초월수이지만 무리수가 아닐 수도 있다. 무리수의 정의는 유리수가 아닌 실수이므로, 무리수가 아닌 초월수는 모두 실수가 아니다. 예시로, [math(\pi i)]는 무리수가 아닌 초월수이다. 정수들의 사칙 연산 및 거듭제곱근으로 나타낼 수 있는 수는 모두 대수적 수이다. 따라서 작도할 수 있는 수 역시 모두 대수적인 수이다. 예를 들어 정17각형을 작도할 수 있다는 것을 응용해서 [math(\sin{\displaystyle \frac{\pi}{17}})]는 작도 가능하므로 대수적인 수이다. 하지만 모든 대수적인 수가 작도 가능한 것은 아니다. 예를 들어 [math( x^3=2)] 의 실근은 [[3대 작도 불능 문제#s-3.2|작도 불가능한 수]]이다. 또한 정수들의 사칙 연산 및 제곱근으로 나타낼 수 없어도 대수적인 수가 될 수 있는데, 5차 이상 고차 방정식의 일반해는 사칙 연산과 제곱근으로 나타낼 수 없지만 계수가 정수이기만 하면 대수적인 수가 되기 때문이다. 초월수의 개수(cardinal number)는 [[게오르그 칸토어]]가 복소수 집합이 실수집합과 같은 비가산집합이라는 걸 증명해냈기 때문에, 초월수의 개수는 대수적인 수 보다 아득하게 많다. 전자는 셀 수 없는 비가산집합이고 후자는 셀 수 있는 가산집합이므로. 좀 더 자세한 내용을 알고 싶으면 집합론의 파트 중 countable set(가산 집합) 에 관한 내용을 찾아보는 것을 추천한다. 말은 어려워 보여도 실제 내용은 조금 과장해서 말하면 중학생도 이해 가능한 수준이니 한번쯤 알아둬서 나쁠 건 없다. [[초한기수]] 항목을 참고하는 것도 괜찮다. 일단 정리하면 다음과 같다. >대수적 수가 정수 유한차수 다항식의 해가 되는 수이므로, 대수적 수의 집합은 '''대수적 중복을 허용한 정수 유한차수 다항식의 해의 전체집합'''의 부분집합이다.[* 예를 들어서, [math(x^{2}-1=0)]와 [math(x-1=0)], [math(x+1=0)]의 해의 집합은 대수적 중복을 허용했을 때 [math(\{1_{x-1=0},1_{x^{2}-1=0},-1_{x^{2}-1=0},-1_{x+1=0}\})]으로 4개의 원소로 이루어져 있으나, 실질적인 해집합은 [math(\{ 1, -1\})]의 2개의 원소로만 구성되어 있다. 즉, 대수적으로 중복되는 근이 생기기 때문.] >그리고, 정수 유한차수 다항식은 [math(n)]차 다항식에 대해서 [math(\Sigma_{k=0}^{n}\mathbb{Z}^{k})]과 그 수가 동치가 되고, 무한기수의 성질[* 초한기수 [math(\alpha, \beta)]가 주어졌을 때 [math(\alpha\beta=\alpha+\beta=\mathbf{Max}\left(\alpha, \beta\right))]라는 성질. 여담으로 [math(\alpha\neq 0, \beta\neq 0)]이라면 둘 중 하나가 유한기수라고 해도 성립한다.]에 의해 [math(\Sigma_{k=0}^{n}\mathbb{Z}^{k}\sim\mathbb{Z}^{k}\sim\mathbb{N})]이기 때문에 [math(\aleph_{0})]. 즉 자연수의 개수인 가산집합과 일대일로 대응된다는 것이 밝혀져 있다. >즉, 정수 유한차수 다항식의 전체집합은 결국 가산집합끼리의 가산합집합이 되어서, 가산집합이 되어서 [math(\aleph_{0})]지만, 실수/복소수의 기수는 [math(\beth=2^{\aleph_{0}})]이므로 [[대각선 논법]]에 의해서 가산집합과의 일대일대응을 만족시킬 수 없기 때문에, 초월수의 개수는 대수적인 수보다 많아질 수 밖에 없다. 초월수가 많다는 것과 별개로 어떤 수가 초월수인지 밝혀내는 것은 꽤 까다롭다. [[원주율|[math(\pi)]]]와 [[자연로그의 밑|[math(e)]]]는 친숙한 초월수의 대표주자이지만[* 다만 이 두 상수 역시 초월수인 것을 제대로 증명하는 것은 상상 이상으로 어렵다. 관심이 있으면 Lindemann-Weierstrass Theorem을 찾아보자. 적어도 학부 수준 대수학과 해석학, 정수론에 대한 지식이 있어야 이해가 가능하다.] 정작 [math(\displaystyle \pi+e)]가 초월수인지 아닌지는 아직 밝혀내지 못했다.[* 사실 이 [math(\displaystyle \pi+e)]는 무리수인지 아닌지조차 아직 모른다.] 특이한 경우로는, 소수점 자릿수에 규칙이 있지만 대수적으로는 못 구하는 경우도 있다. 이런 경우도 [[무리수]]인데다 초월수다. 예를 들어서 0.12345678910111213141516171819...(챔퍼노운 수) 같은 경우에는 누구나 보면 언뜻 [[유리수]]처럼 보이지만 반복되지 않는 무한소수이므로 무리수다. 이런 것과 관련해 다양한 [[바리에이션]]이 존재한다. 소수를 적는 진법에 따라 다른 경우로, 0.11011100101110111100010011010...,,(2),,가 있다. ,,(2),,의 의미는 이 숫자가 2진법으로 쓰여져 있다는 것이다.[* 이렇게 소수점 이하에서 해당 진법으로 표시된 자연수를 순서대로 무한히 나열하는 방식으로 만든 초월수를 섐퍼나운 상수(Champernowne constant)라 한다. D.G.섐퍼나운이라는 영국의 수학자 겸 경제학자가 창안한 것.] 또 다른 경우로는 0.235711131719232931...이 있는데, 소수만 나열해 놓은 경우다.(코플랜드-에르되시 상수) 그 외에도 이 방식으로 최초로 제시된 초월수는 리우빌 상수(Liouville’s constant)가 존재한다. [math(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}10^{-k!})]로 표기되며, 소수점 아래로 [math(0.110001000000000000000001000...)]로 이어지는 무한소수다. [[힐베르트의 23가지 문제]] 중 하나는 [math(a^b)] 꼴의 수가 초월수임을 판정하는 방법에 관한 것이었다. 이 문제는 문제가 발표되고 몇 년만에 해결되었는데, 지금은 아래와 같이 서술되는 겔폰트-슈나이더 정리로 불린다. [math(a^b)]에서 [math(a)]가 0 또는 1이 아닌 대수적 수이고(복소수라도 상관 없음), [math(b)]가 유리수가 아닌 대수적 수라면(복소수라도 상관 없음)라면, [math(a^b)]는 초월수이다. 여기서 대수적 수는 유한차 유리수 계수 방정식의 해가 되는 수를 말한다. 따라서 [[겔폰트-슈나이더 상수]](무리수의 무리수 거듭제곱이 유리수일 수 있다는 명제와 연관된다)[math(2^{\sqrt{2}})], [math(e^{\pi})] (= [math((-1) ^{-i})] ) 같은 수는 초월수다. 반면, [math(\pi^e)] 는 아직 무리수인지도 판정하지 못했다.([math(\pi)]가 대수적 수가 아니어서 위 정리를 적용할 수 없다.) 마찬가지로, [math(e+\pi)] 또한 아직도 초월수인지 아닌지 밝혀지지 않았다.[* 한편 [math(e+\pi)]와 [math(e\pi)] 둘 중 하나는 적어도 초월수라는 것은 자명하다. [math(e)]와 [math(\pi)]를 해로 갖는 이차방정식 [math((x-e)(x-\pi) = x^2-(e+\pi)x+e\pi = 0)]에서 [math(e+\pi)]와 [math(e\pi)] 둘 다 대수적인 수라면 [math(e)]와 [math(\pi)]가 초월수라는 것에 모순이기 때문.] 현재 "샤누엘 추측(Schanuel’s conjecture)이 참이라면 [math(e+\pi)]는 초월수이다."라는 명제가 참이라는 것 까지는 증명된 상태지만, 정작 샤누엘 추측의 참/거짓 여부가 불명이다. 초월수의 정의가 '''유한 개'''의 항으로 표현할 수 없는 수라고 한 것에 주의하자. 무한 개의 항이라면, [math(e)]와 [math(\pi)]도 다음과 같이 대수적 표현이 가능하다.[* 이를 [[테일러 급수]]라고 한다.] [math(e= \displaystyle \sum^{\infty}_{n=0}\frac{1}{n!} )] [math(\pi= \displaystyle \sum^{\infty}_{n=1}\frac{4(-1)^{n-1}}{2n-1} )] 의외로 사람들이 헷갈려하는 오개념 중 하나인데, '''대수적 수와 초월수는 무리수의 하위 분류가 아니다.''' 무리수를 굳이 나눈다면 '대수적인 무리수'와 '초월수인 무리수'로 나눌 수는 있다. 대수적 수라는 말은 정수 계수의 방정식으로 나올 수 있는 해를 말하고, 초월수는 그렇지 못한 수기 때문에 대수적 수는 모든 수 체계의 수가 될 수 있고, 초월수는 하다못해 [math(\pi i)]같은 [[복소수]]도 포함시킬 수 있다. 또한 대수적 수인 유리수도 많다. 단, 유리수인 초월수라는 것은 있을 수 없기 때문에 실수인 초월수는 모두 무리수이긴 하다. 한편 이것의 [[함수]] 버전도 있는데, [[초월함수]]라고 한다. 초월수처럼 유한 차수 다항식으로 정의되지 않는 함수이다. 잘 알려진 초월수는 [[원주율]], [[자연로그의 밑]], log₂3[* 로그의 정의에 따라 2^^''x''^^=3을 만족시키는 ''x''의 값이다. ]등이 있다. == 관련 문서 == * [[3대 작도 불능 문제]] * [[원주율]] * [[자연로그의 밑|자연로그의 밑 [math(e)]]] * [[실수(수학)|실수]] * [[대수]] [[분류:초월수]]