[include(틀:기하학·위상수학)] [목차] == 개요 == 1678년 이탈리아의 기하학자 조반니 체바(Giovanni Ceva)가 발견한 정리이다. 크게 선에 관한 정리와 각에 관한 정리로 나뉜다.[* 따로 각 체바 정리라고도 하나 승인되지 않은 용어이며, 일반적인 선에 관한 체바 정리와 대등한 하위 관계에 있다.] == 선에 관한 체바 정리 == [[파일:namu_체바.svg|width=120&align=center&bgcolor=#ffffff]] ||<table width=100%>[math(\triangle \rm ABC)]에서 [math(\overline{\rm BC})], [math(\overline{\rm CA})], [math(\overline{\rm AB})]의 어느 위에 있지 않은 삼각형 내부의 한 점 [math(\rm P)]와 [math(\rm A)], [math(\rm B)], [math(\rm C)]를 이은 직선이 각각 [math(\overline{\rm BC})], [math(\overline{\rm CA})], [math(\overline{\rm AB})]에서 만나는 점을 각각 [math(\rm D)], [math(\rm E)], [math(\rm F)]라 할 때, 다음이 성립한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \frac{\overline{\rm BD}}{\overline{\rm DC}}\cdot\frac{\overline{\rm CE}}{\overline{\rm EA}}\cdot\frac{\overline{\rm AF}}{\overline{\rm FB}}=1)]}}} || ||<table width=100%>또한, 역으로 [math(\triangle \rm ABC)]에서 [math(\overline{\rm BC})] 위에 [math(\rm D)], [math(\overline{\rm CA})] 위에 [math(\rm E)], [math(\overline{\rm AB})] 위에 [math(\rm F)]를 잡은 후, 각각 [math(\rm A)], [math(\rm B)], [math(\rm C)]와 이었을때, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \frac{\overline{\rm BD}}{\overline{\rm DC}}\cdot\frac{\overline{\rm CE}}{\overline{\rm EA}}\cdot\frac{\overline{\rm AF}}{\overline{\rm FB}}=1)]}}} 이 성립하면 [math(\overline{\rm AD})], [math(\overline{\rm BE})], [math(\overline{\rm CF})]가 한 점 [math(\rm P)]에서 만나게 된다. || 참고로 말하자면, '''[math(\mathbf P)]가 외부에 있을 때도 동일하게 성립한다.''' 이 경우, [math(\overline{\rm AP})], [math(\overline{\rm BP})], [math(\overline{\rm CP})]가 각각 [math(\overline{\rm BC})], [math(\overline{\rm CA})], [math(\overline{\rm AB})]의 연장선상에서 만나는 점을 [math(\rm D)], [math(\rm E)], [math(\rm F)]라 하며, 방향을 생각한 길이 표기를 도입하게 된다.[* 그냥 연장선이 변을 지나치는 경우를 양으로 생각하고, 반대방향을 음으로 생각하면 된다. 이는 아주 자연스러운 일이다. ] * [math(\overline{\rm AP})]가 [math(\overline{\rm BC})]를 [math(\rm C)]쪽으로 연장한 반직선과 만난다면(그 때 교점을 [math(\rm D)]라고 하면) [math(\overline{\rm DC})]는 음수로, [math(\overline{\rm BD})]는 양수로 표시하게 된다. * [math(\overline{\rm AP})]가 선분 [math(\overline{\rm BC})]와 만난다면 [math(\overline{\rm BD})], [math(\overline{\rm DC})] 모두 양수로 측정하게 된다. * [math(\overline{\rm AP})]가 [math(\overline{\rm BC})]를 [math(\rm B)] 쪽으로 연장한 반직선과 만난다면 반대로 [math(\overline{\rm BC})]는 음수, [math(\overline{\rm DC})]는 양수이다. === 증명 === 위에서 설명한, 방향이 고려된 길이 표기를 사용하기로 한다. 즉 길이는 음수가 될 수 있다. [math(\displaystyle \triangle\rm ABC)]에서 [math(\displaystyle \overline{\rm BC})] 위에 [math(\displaystyle \rm D)], [math(\displaystyle \overline{\rm CA})] 위에 [math(\displaystyle \rm E)], [math(\displaystyle \overline{\rm AB})] 위에 [math(\displaystyle \rm F)]를 잡은 후, [math(\displaystyle \overline{\rm AD})], [math(\displaystyle \overline{\rm BE})], [math(\displaystyle \overline{\rm CF})]가 한 점 [math(\displaystyle \rm P)]에서 만난다고 하자. 삼각형의 넓이비를 생각하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \displaystyle \frac{\overline{\rm BD}}{\overline{\rm DC}}&=\frac{\triangle\rm ABP}{\triangle\rm ACP} \\\frac{\overline{\rm CE}}{\overline{\rm EA}}&=\frac{\triangle\rm BCP}{\triangle\rm BAP} \\ \frac{\overline{\rm AF}}{\overline{\rm FB}}&=\frac{\triangle\rm CAP}{\triangle\rm CBP} \end{aligned})]}}} 이것을 모두 곱하면 1이 된다. 역정리를 보이자. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \frac{\overline{\rm BD}}{\overline{\rm DC}}\cdot\frac{\overline{\rm CE}}{\overline{\rm EA}}\cdot\frac{\overline{\rm AF}}{\overline{\rm FB}}=1)]}}} 라 가정하자. [math(\displaystyle \overline{\rm AD})]와 [math(\displaystyle \overline{\rm BE})]의 교점을 [math(\displaystyle \rm Q)]라고 하고 [math(\displaystyle \overline{\rm CQ})]를 연장시켜 [math(\displaystyle \overline{\rm AB})]와의 교점을 [math(\displaystyle \rm F')]라고 하자. 그럼 원래 체바의 정리에 의해 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \frac{\overline{\rm BD}}{\overline{\rm DC}}\cdot\frac{\overline{\rm CE}}{\overline{\rm EA}}\cdot\frac{\overline{\rm AF'}}{\overline{\rm F'B}}=1)]}}} 이 성립하는데, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \frac{\overline{\rm BD}}{\overline{\rm DC}}\cdot\frac{\overline{\rm CE}}{\overline{\rm EA}}\cdot\frac{\overline{\rm AF}}{\overline{\rm FB}}=1)]}}} 도 성립하므로 결국 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \frac{\overline{\rm AF'}}{\overline{\rm F'B}}=\frac{\overline{\rm AF}}{\overline{\rm FB}})]}}} 여야 한다. 따라서, [math(\displaystyle \rm{F})]는 [math(\displaystyle \rm{F'})]과 같다는 결론을 얻는다. == 각에 관한 체바 정리 == ||<table width=100%>[math(\triangle \rm ABC)]에서 [math(\overline{\rm AD})], [math(\overline{\rm BE})], [math(\overline{\rm CF})]가 한 점 [math(\rm P)]에서 만날 때 다음이 성립한다. 이 경우 외에도 방향이 고려된 각도를 사용하게 된다.[* 이에 대해서는 [[각#s-1.2|각]]을 참조하여라.] 점 P가 외부에 있어도 성립한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \frac{\sin\angle\rm CAD}{\sin\angle\rm BAD}\cdot\frac{\sin\angle\rm BCF}{\sin\angle\rm ACF}\cdot\frac{\sin\angle\rm ABE}{\sin\angle\rm CBE}=1)]}}} 이것의 역 또한 성립한다. || === 증명 === [math(\overline{\rm AD})], [math(\overline{\rm BE})], [math(\overline{\rm CF})]가 한 점 [math(\rm P)]에서 만난다면 [math(\triangle\rm PAB)], [math(\triangle\rm PBC)], [math(\triangle\rm PCA)]에서 [[사인 법칙]]을 적용하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{\overline{\rm PA}}{\overline{\rm PB}}&=\frac{\sin\angle\rm PBA}{\sin\angle\rm PAB}=\frac{\sin\angle\rm ABE}{\sin\angle\rm BAD} \\ \frac{\overline{\rm PB}}{\overline{\rm PC}}&=\frac{\sin\angle\rm PCB}{\sin\angle\rm PBC}=\frac{\sin\angle\rm BCF}{\sin\angle\rm CBE} \\ \frac{\overline{\rm PC}}{\overline{\rm PA}}&=\frac{\sin\angle\rm PCA}{\sin\angle\rm PAC}=\frac{\sin\angle\rm CAD}{\sin\angle\rm ACF}\end{aligned})]}}} 이고, 변변 곱하면 된다. 각에 관한 역정리 증명도 선에 관한 체바 역정리와 같은 방법을 사용할 수 있다. == 기타 == * 교과 과정에 포함되지는 않았지만 그 심플함과 편리성으로 인해 [[KMO]]를 준비한 학생들은 고등학교의 복잡한 기하 문제들을 심히 편히 풀어나갈 수 있도록 도와주기도 한다. 메넬라오스 정리와 함께 조금만 복잡한 삼각형 기하를 푸는 데 필수로 필요한 도구. * [[이탈리아어]]에서 유래되었으므로 [[외래어표기법]] 상 '체바'로 표기하는 게 옳으며 '''‘세바’'''는 [[영어]]권 사람들의 발음법이다. [[일본]]에서는 이를 고려하고 체바 정리로 지은 것. 왜 일본 이야기를 꺼내냐면, 우리나라의 수학 용어 대부분이 일본을 경유하여 들여왔기 때문이다. [[대한수학회]]에서도 '체바 정리'를 밀고 있다. * [[영어]]에서는 '''세바'''라고 발음한다. [[https://youtu.be/LMUrFo4wsMI|발음 듣기1]] [[https://www.youtube.com/watch?v=1UWFAkQEa80|발음 듣기2]] 참고로 교육과정에 들어온다면 '-의 정리'는 채택되지 않을 가능성이 높다. 소유격 조사 '-의'를 모두 빼는 추세이기 때문이다.(그 예로 [[피타고라스 정리]], [[아보가드로 법칙]], [[맥스웰 방정식]] 등이 있다.) == 관련 항목 == * [[메넬라오스 정리]] * [[젤곤 삼각형]] [[분류:삼각형]][[분류:논증 기하학]]