[목차] == 질점의 속도 == 이 문서의 내용을 이해하기 위해서는 벡터에 대한 기본적인 지식이 필요하다. [[벡터]] 문서 참조. . [[파일:곡선.png]] 어떤 시각 [math( t )]에 입자가 A점으로부터 출발하여 시각 [math( t+\Delta\ t )]에 B점에 도달하는 정보를 담은 그림이다. 먼저 목적은 '''입자의 속도를 구하는 것'''이다. 입자의 위치벡터 [math( \mathbf r )]은 원점으로부터의 거리 [math( r )] 와 단위벡터 [math( u_r )]를 갖는다. [math(\displaystyle \mathbf{r}=r\mathbf{u}_r)] '''벡터는 특별히 볼드체로 표기하였음을 명심하자! [math( \bf r )]은 벡터이고 [math( r )] 은 스칼라이다.)''' 극좌표를 사용하면 모든 단위벡터는 다음과 같이 표현 가능하다. [math( \displaystyle \mathbf{u}_r( \theta ) = \cos \theta \, \hat{\mathbf{ i }}+ \sin \theta \, \hat{\mathbf j} )] 벡터 [math(\mathbf{r}(t))]와 [math(\mathbf{r}(t+\Delta t))]를 나타내면 [math(\displaystyle \mathbf{r}(t)=r \cos \theta \, \hat{\mathbf i} + r \sin \theta \, \hat{\mathbf j} )] [math( \displaystyle \mathbf{r} (t+\Delta t) =\\ (r+\Delta r) \cos( \theta + \Delta \theta) \hat{\mathbf{i }}+ (r+\Delta r) \sin( \theta + \Delta \theta) \hat{\mathbf{j }})] 이제 입자의 속도를 구해보자. [math(\displaystyle \mathbf{v} = \frac{\mathbf{r}(t+ \Delta\ t) - \mathbf{r}(t)}{\Delta t} )] 에서 매우 짧은 시간 간격 [math(\Delta\ t \approx 0)]에 대하여 매우 짧은 각의 변화 [math(\Delta\ \theta\approx 0)] 으로 취급할 수 있고, 삼각함수의 성질 [math( \displaystyle \sin( \theta + \Delta \theta ) =\sin\theta \cos\Delta\theta + \cos\theta \sin\Delta\theta )] [math( \displaystyle \cos( \theta + \Delta \theta ) =\cos\theta \cos\Delta\theta - \sin\theta \sin\Delta\theta )] 을 이용하여 [math( {\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0}} \dfrac{\mathbf{r}(t+ \Delta\ t) - \mathbf{r}(t)}{\Delta t} )]를 [math( \bf \hat i , \, \hat j )] 성분끼리 정리하면 [math( \bf \hat i )]성분 : ||[math({\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0}} \dfrac{r(\cos \theta \cos\Delta\theta - \sin\theta \sin\Delta\theta)+\Delta r(\cos\theta \cos\Delta\theta - \sin\theta \sin\Delta\theta) -r \cos \theta}{\Delta t} )]|| [math(\bf \hat j )]성분 : ||[math({\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0}} \dfrac{r(\sin\theta \cos\Delta\theta + \cos\theta \sin\Delta\theta)+\Delta r(\sin\theta \cos\Delta\theta + \cos\theta \sin\Delta\theta) -r \sin \theta}{\Delta t} )]|| 여기서 [math( \sin \Delta\theta \approx \Delta\theta , \cos \Delta\theta \approx 1 )]를 이용하여 다시 간단히 하면 [math( \bf \hat i )]성분 : ||[math(\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0} \dfrac{r(\cos\theta - \sin\theta \Delta\theta)+\Delta r(\cos\theta - \sin\theta \Delta\theta) -r \cos \theta}{\Delta t} = {\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0}} (\dfrac{\Delta r \cos \theta}{\Delta t} - \frac{(r-\Delta r) \sin \theta\Delta\theta}{\Delta t} ) )]|| [math( \bf \hat j )]성분 : ||[math(\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0} \dfrac{r(\sin\theta + \cos\theta \Delta\theta)+\Delta r(\sin\theta + \cos\theta \Delta\theta) -r \sin\theta}{\Delta t} = {\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0}} (\dfrac{\Delta r \sin \theta}{\Delta t} + \frac{(r+\Delta r) \cos \theta \Delta\theta}{\Delta t} ) )]|| 매우 짧은 시간 간격 [math(\Delta\ t \approx 0)]에 대하여 매우 짧은 거리 변화 [math(\Delta\ r \approx 0)]일 것이므로 [math( \bf \hat i )]성분 : [math( \displaystyle \lim_{\Delta t\to 0} (\dfrac{\Delta r \cos \theta}{\Delta t} - \dfrac{r \sin \theta\Delta\theta}{\Delta t} ) )] [math( \bf \hat j )]성분 : [math( {\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0}} (\dfrac{\Delta r \sin \theta}{\Delta t} + \dfrac{r \cos \theta\Delta\theta}{\Delta t} ) )] [math( {\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0}} \dfrac{\Delta \mathrm r}{\Delta t} = \dfrac{\mathrm{d} \mathbf{r}}{\mathrm{d} t} )]를 반지름 방향 속도 [math( \bf \dot{r} = v)] 라 정의하고 [math( \displaystyle \lim_{\Delta t\to 0} \dfrac{\Delta\theta}{\Delta t} = \dfrac{\mathrm{d} \theta }{\mathrm{d} t})]를 각속도 [math( \dot \theta = \omega )] 라 정의하면 [math( \mathbf {v} = \displaystyle \lim_{\Delta t \to 0} \dfrac{ \mathbf{r} (t+ \Delta t) - \mathbf{r} (t)}{\Delta t} = \\ ( \dot{r} \cos \theta - r \omega \sin \theta ) \hat{\mathbf i} + ( \dot{r} \sin \theta + r \omega \cos \theta ) \mathbf{ \hat {j}})] 를 얻으며, 만약 각속도 벡터 [math( \vec{\omega} = \omega \mathbf{k} )] 를 정의하면 최종적으로 식 [math( \bf v = \dot{r} u_\mathit{r} + \omega \times r )]가 성립한다. [* 식1] == 방향벡터의 도함수 == 식1 의 {{{+5 [math( v )]}}} {{{+2 [math( = )]}}} [math( \dot{r} )] {{{+2 [math( u_r + \omega \times )]}}} {{{+5 [math( r )]}}} 를 잘 보자, 이는 {{{+5 [math( r )]}}} {{{+2 [math( = )]}}} [math( r )] {{{+2 [math( u_r )]}}}의 양변을 시간에 대해 미분한 것과 같다. 미분 해 보면,{{{+5 [math( \dot{r} )]}}} {{{+2 [math( = )] }}} {{{+5 [math( v )]}}} {{{+2 [math( = )]}}} [math( \dot{r} )] {{{+2 [math( u_r + )]}}} [math( r )] {{{+2 [math( \dot{u}_r)] }}} 이는 목차 1에서 구한 {{{+5 [math( v )]}}} {{{+2 [math( = )]}}} [math( \dot{r} )] {{{+2 [math( u_r + \omega \times )]}}} {{{+5 [math( r )]}}}와 같아야 하므로 다음이 성립한다. [math( r )] {{{+2 [math( \dot{u}_r = \omega \times )]}}} {{{+5 [math( r )]}}} 양 변을 [math( r )] 로 나누어 더 간단히 정리하면 {{{+2 [math( \dot{u}_r = \omega \times u_r )]}}} [* 식2] == 질점의 [[가속도]] == 정의에 따라 식 1을 {{{+5 [math( v )]}}} {{{+2 [math( = )]}}} [math( \dot{r} )] {{{+2 [math( u_r + \omega \times )]}}} {{{+5 [math( r )]}}} 를 시간에 대해 미분하기만 하면 {{{+5 [math( \dot{v} )] }}} {{{+2 [math( = )] }}} {{{+5 [math( a )] }}} {{{+2 [math( = )] }}} [math( \ddot{r} )] {{{+2 [math( u_r + )] }}} [math( \dot{r} )] {{{+2 [math( \dot{u_r} + )] }}} {{{+2 [math( \dot{\omega} \times )] }}} {{{+5 [math( r )]}}} {{{+2 [math( + )]}}} {{{+2 [math( \omega \times )]}}} {{{+5 [math( \dot{r} )]}}} 여기서 식 1과 2에 의해 {{{+5 [math( \dot{r} )]}}} {{{+2 [math( = )] }}} [math( \dot{r} )] {{{+2 [math( u_r + \omega \times )]}}} {{{+5 [math( r )]}}} 와 {{{+2 [math( \dot{u_r} = \omega \times u_r )]}}} 가 성립하므로 {{{+5 [math( a )] }}} {{{+2 [math( = )] }}} [math( \ddot{r} )] {{{+2 [math( u_r + )] }}} [math( \dot{r} )] {{{+2 [math( \omega \times u_r + )]}}} {{{+2 [math( \dot{\omega} \times )] }}} {{{+5 [math( r )]}}} {{{+2 [math( + )]}}} {{{+2 [math( \omega \times )]}}} {{{+2 [math( {( } )] }}} [math( \dot{r} )] {{{+2 [math( u_r + \omega \times )]}}} {{{+5 [math( r )]}}} {{{+2 [math( {)} )]}}} 괄호 항을 전개하여 정리하면 최종적으로 {{{+5 [math( a )] }}} {{{+2 [math( = )]}}} [math( \ddot{r} )] {{{+2 [math( u_r + 2)] }}} [math( \dot{r} )] {{{+2 [math( \omega \times u_r + )]}}} {{{+2 [math( \dot{\omega} \times )] }}} {{{+5 [math( r )]}}} {{{+2 [math( + )]}}} {{{+2 [math( \omega \times {( } )] }}} {{{+2 [math( \omega \times )]}}} {{{+5 [math( r )]}}} {{{+2 [math( {)} )]}}} [* 식 3] 식 3의 {{{+2 [math( 2 )] }}} [math( \dot{r} )] {{{+2 [math( \omega \times u_r )]}}} 을 '''코리올리 가속도'''라고 하며, 자세한 건 [[전향력]] 문서 참조. [[분류:역학]]