[include(틀:초등함수의 목록)] [목차] == 개요 == {{{+1 exponential function, [[指]][[數]][[函]][[數]]}}} || [[파일:지수함수.jpg|width=100%]] || || [math(y=2^x)]의 그래프 || '''지수함수'''는 [[지수(수학)|지수]]에 미지수 [math(x)]가 있는 함수, 즉 [math(f\left(x\right) = a^x (a>0, a \neq 1))] 꼴로 나타낼 수 있는 함수를 말한다. 달리 멱함수(冪函數)라고 하기도 한다. 대략적으로 일반적인 다항식으로 표현할 수 없기 때문에[* 일반적인 다항식과는 달리, 거듭제곱 자리에 정의역이 들어가기 때문. 다만 테일러 급수를 이용하면 무한차 다항식으로 표현이 가능하다.] [[초월함수]]에 속한다. [[대한민국]]의 [[수학 관련 정보|수학]] 교육과정에서는 고등학교 [[수학Ⅰ]](2015개정교육과정)에서 배운다. 지수함수는 지수 법칙을 실수 범위로 확장한 뒤에 배우게 되는데 실수에서의 지수 법칙을 만족하기 위해 밑 [math(a>0)]을 전제로 깔고 간다. 따라서 아래 문단에서 특별한 설명이 없으면, [math(a>0)]을 전제로 한다.[* [math(a)]가 0이면 정의역이 [math(x>0)]이 되고 치역이 '''[math(0)]뿐'''이다. [math(a)]가 0보다 작으면, 음의 정수일 때에만 함숫값이 실수이며 [math(a)]가 정수가 아닌 음의 실수라면 함숫값이 허수이므로, 공역이 실수 혹은 그의 부분집합이라면 그래프가 '''불연속적'''이다. [math(a<0)]의 경우 [[오일러의 등식]]을 이용해서 미분과 부정적분을 구할 수 있다.] 또한 지수함수에서 [math(a=1)]인 경우에는 상수함수가 되기 때문에 지수함수에서 제외한다. [[정규분포]]에서 등장하는 [[확률 밀도 함수]]가 일종의 지수함수이며, [[삼각함수]] 또한 지수함수의 변형으로 볼 수도 있다. == 그래프의 특징 == * [math(a^0 = 1)]이기 때문에 [math(\left(0, 1\right))]을 반드시 지난다. * [math(a^1 = a)]이기 때문에 [math(\left(1, a\right))]를 반드시 지난다. * [math(\displaystyle a^{-1} = {1 \over a})]이기 때문에 [math(\displaystyle \left(-1, {1 \over a}\right))]를 반드시 지난다. * [math(a>1)]인 경우, [math(x)]값이 증가하면 [math(y)]값도 증가하는 증가함수이다. * [math(0<a<1)]인 경우, [math(x)]값이 증가하면 [math(y)]값은 감소하는 감소함수이다. * 상수항이 없는 경우[*A 그말인즉슨 y축 방향으로 평행이동을 시키지 않았을 경우] 절대로 3, 4사분면을 지나가지 않는다. * [[로그함수]] [math(f\left(x\right) = \log_{a}{x})]와 서로 [[역함수]] 관계이다. 즉, [math(y=x)]에 대칭이다. (단. 이 때의 정의역은 당연히 0보다 큰 실수(원래 지수함수의 치역, 이것이 로그의 진수조건)로 바뀐다.) * 단, [math(xe^x)]의 역함수는 로그함수가 아닌 [[람베르트 W 함수]]라는 [[초월함수]]이다. 정의역에 역수를 취한 지수함수 [math(\displaystyle y = a^{1 \over x})]의 특징은 다음과 같다. * [math(a^1 = a)]이기 때문에 [math(\left(1, a\right))]를 반드시 지난다. * [math(\displaystyle a^{-1} = {1 \over a})]이기 때문에 [math(\displaystyle \left(-1, {1 \over a}\right))]를 반드시 지난다. * 점근선이 [math(x=0, y=1)]인 쌍곡선이다. * 함수 [math(f\left(x\right) = \log_{x}{a} = \dfrac{1}{\log_{a}{x}})]와 [[역함수]] 관계이다. 정의역을 제곱하고 반수를 취한 지수함수 [math(\displaystyle y = a^{-x^2})][* 형태를 보면 알겠지만 [[확률 밀도 함수]]이다. 가우스 함수라고도 한다.]의 특징은 다음과 같다. * [math(a^0 = 1)]이기 때문에 [math(\left(0, 1\right))]을 반드시 지난다. * [math(x)]의 [[절댓값]]이 증가하면 [math(y)]값은 감소하는, 종 모양을 그리는 [[대칭함수|짝함수]]이다. * 상수항이 없는 경우[*A 그말인즉슨 y축 방향으로 평행이동을 시키지 않았을 경우] 절대로 3, 4사분면을 지나가지 않는다. 한편, 밑과 지수가 같은 특수한 지수함수인 [math(y = x^{x})][* [[테트레이션]]을 이용하여 [math(y = x \uparrow\uparrow 2)] 로 표현할 수 있다.]의 특징은 다음과 같다. * [math(1^1 = 1)]이기 때문에 [math(\left(1, 1\right))]을 반드시 지난다. * [math(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0+}{x^x} = 1)]이므로[* [math(x^x)]에 자연로그를 취한 다음 [[로피탈의 정리]]로 풀면 된다.] [math(\left(0, 1\right))]에서 출발하도록 그린다.( 단, [math(0^0)]은 정의하지 않으므로 [math(\left(0, 1\right))]은 뻥 뚫어놓는다.) * [math(x>1)]인 경우, [math(x)]값이 증가하면 [math(y)]값도 증가하는 증가함수이다. * [math(0<x<1)]인 경우, 비뚤어진 U자형을 그린다. 이 구간에서 임계점(=최솟값)은 [math(\displaystyle x = {1 \over e})] 이다. * [math(x<0)]인 경우, 함숫값이 [math(x)]가 정수일 때 실수, 정수가 아닌 수일 때 '''허수'''이다. * 이 함수의 역함수는 [[https://en.wikipedia.org/wiki/Tetration#Super-root|초제곱근 함수]]이다. 위 함수의 변형인 [math(y = x^{1 \over x})]의 특징은 다음과 같다. * [math(1^1 = 1)]이기 때문에 [math(\left(1, 1\right))]을 반드시 지난다. * [math(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0+}{x^{1 \over x}} = 0)]이므로 [math(\left(0, 0\right))]에서 출발하도록 그린다.( 단, [math(0)]으로 나누기는 정의하지 않으므로 [math(\left(0, 0\right))]은 뻥 뚫어놓는다.) * [math(x>0)]인 구간에서 완만한 곡선을 그린다. 임계점(=최댓값)은 [math(\displaystyle x = e)] 이다. [math(x<e)]인 경우 [math(x)]값이 증가하면 [math(y)]값도 증가하는 증가함수이며, [math(x>e)]인 경우 [math(x)]값이 증가하면 [math(y)]값은 감소하는 감소함수이다. * [math(x<0)]인 경우, 함숫값이 [math(x)]가 정수일 때 실수, 정수가 아닌 수일 때 '''허수'''이다. 위 함수의 또 다른 변형인 [math(y = x^{-x})]의 특징은 다음과 같다. * [math(1^{-1} = 1)]이기 때문에 [math(\left(1, 1\right))]을 반드시 지난다. * [math(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0+}{x^{-x}} = 1)]이므로 [math(\left(0, 1\right))]에서 출발하도록 그린다.( 단, [math(0^0)]은 정의하지 않으므로 [math(\left(0, 1\right))]은 뻥 뚫어놓는다.) * [math(x>0)]인 구간에서 완만한 곡선을 그린다. 임계점(=최댓값)은 [math(\displaystyle x = \frac{1}{e})] 이다. [math(x<\dfrac{1}{e})]인 경우 [math(x)]값이 증가하면 [math(y)]값도 증가하는 증가함수이며, [math(x>\dfrac{1}{e})]인 경우 [math(x)]값이 증가하면 [math(y)]값은 감소하는 감소함수이다. * 점근선이 [math(y=0)]이다. * [math(x<0)]인 경우, 함숫값이 [math(x)]가 정수일 때 실수, 정수가 아닌 수일 때 '''허수'''이다. == 극한값 == * [math(a>1)]의 경우 * [math(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}{a^x} = \infty)] * [math(\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}{a^x} = 0)] * [math(0<a<1)]의 경우 * [math(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}{a^x} = 0)] * [math(\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}{a^x} = \infty)] 극한을 모르는 이를 위해 설명하자면, [math(a>1)]이면 x값이 증가할수록 그래프가 ~~하늘을 뚫을 그래프~~ 위로 올라가고, x값이 감소할수록 x축에 점점 가까워진다는 뜻. [math(0<a<1)]이면 반대로 x값이 증가할수록 그래프가 x축에 점점 가까워지고, x값이 감소할수록 그래프가 위로 올라간다는 뜻. 이때 어느 경우든 함수의 그래프가 x축에 점점 가까워지므로 점근선이 x축이라고 볼 수 있다. == 미적분 == * 미분: [math( \dfrac{d}{dx} a^{x} = a^{x} {\ln a})] * [math( \dfrac{d}{dx} a^{1 \over x} = -a^{1 \over x} {\ln a \over x^2} )] * [math(a < 0)]인 경우 : [math( \dfrac{d}{dx} a^{x} = a^{x} ({\ln |a| + i \pi}))] * [math( \dfrac{d}{dx} e^{x} =e^{x})] * [[오일러 공식|[math( \dfrac{d}{dx} e^{ix} = i \cos x - \sin x)]]] * [math(\dfrac{d}{dx} e^{-x^2} = -2x e^{-x^2})] * [math( \dfrac{d}{dx} i^{x} = {i \pi \over 2} \cos ({\pi x \over 2}) - {\pi \over 2} \sin ({\pi x \over 2}))] * [math( \dfrac{d}{dx} a^{\ln x} = {a^{\ln x} \ln a \over x})] * [math( \dfrac{d}{dx} x^{x} = x^{x}({1 + \ln x}))] * [math( \dfrac{d}{dx} x^{x^{x}} = x^{x^{x} + x - 1} (x (\ln x)^2 + x \ln x + 1))] * [math( \dfrac{d}{dx} x^{1 \over x} = x^{-2x +1 \over x}({-1 + \ln x}))] * 적분 : [math( \displaystyle \int a^{x}dx=\frac{a^{x}}{\ln a}+C)] * [math( \displaystyle \int a^{1 \over x} dx)]는 '''[[초등함수]]로 표현할 수 없다.'''[* 부정적분식이 [math( \displaystyle \int a^{1 \over x} dx = x a^{1 \over x} - \text{Ei}({\ln a \over x}) \ln a + C)]로, Ei는 [[지수 적분 함수]]라는 [[특수함수]]이다.] * [math(a < 0)]인 경우 : [math( \displaystyle \int a^{x}dx = {a^{x} \over \ln |a| + i \pi} + C)] * [math( \displaystyle \int e^{x}dx = e^{x} + C)] * [[오일러 공식|[math( \displaystyle \int e^{ix} dx = \sin x - i \cos x + C)]]] * [math(\displaystyle \int e^{-x^2} dx)]는 '''[[초등함수]]로 표현할 수 없다.'''[* 적분식이 [math(\displaystyle \int e^{-x^2} dx = \dfrac{\sqrt{\pi}}{2} \mathrm{erf}(x) + C)]로, [math(\mathrm{erf}(x))]는 [[오차함수]](Error Function)라는 [[특수함수]]이다.] * [math( \displaystyle \int i^{x} dx = {2 \over \pi} \sin ({\pi x \over 2}) - {2i \over \pi} \cos ({\pi x \over 2}) + C)] * [math( \displaystyle \int a^{\ln x}dx = {x a^{\ln x} \over \ln a + 1} + C)] * [math( \displaystyle \int x^{x} dx)], [math( \displaystyle \int x^{-x} dx)], [math( \displaystyle \int x^{1 \over x} dx)]는 '''[[초등함수]]로 표현할 수 없을뿐더러, 저 적분으로 정의되는 특수함수조차 없다.'''[* 울프람 알파에서는 (no result found in terms of standard mathematical functions)라고 표시된다. 다만 특수함수는 누군가가 직접 만들면 되긴 한다. [[https://math.stackexchange.com/questions/141347/finding-int-xxdx|외국 포럼에서도 [math(x^x)]의 적분이 어떻게 되는지 담론이 오가고 있다.]]][* [math([0,1])] 구간에 한정해서 [[2학년의 꿈]]이 정의되어 있기는 하다.] == [[등비수열]] == [[등비수열]]의 [[일반항]]은 [math(a_n=ar^{n-1})]이므로, 자연수만을 정의역으로 하는 지수함수로 볼 수 있다. [[등비수열#s-4]] 참고. == 여담 == * 어떤 현상이나 수치가 갑자기 늘어나는 양상[* 예를들면 과학의 발전속도가 이러한 양상을 띤다.]을 영어로는 exponential growth라고 한다. 이걸 직역하면 ''''지수(함수)'''적 성장'이다. [[한국어]]로는 보통 '기하급수적'이라고 표현하는데 같은 의미. 대학 수준의 해석학이나 복소함수론에서[* 딱히 복소함수론이 아니더라도 고등학교 이후의 [[수학(교과)|수학]]에서는 지수함수 관련으로 e 이외의 수는 들러리 취급당한다.] 지수 함수를 정의할 때에는, 밑이 [math(a)]인 지수함수를 먼저 정의하는 게 아니라 먼저 [[자연로그의 밑|[math(e)]]]를 밑으로 하는 지수함수 [math(e^z = \exp{z} \left(z \in \mathbb{C}\right))][* 같은 표기를 왼쪽처럼 쓰기도 하고 오른쪽처럼 쓰기도 한다. 복소수에서의 지수함수라는 점을 강조하기 위해 우측 표기를 쓰는 경우가 있다.]를 정의하고 그 다음에 밑이 [math(e)]가 아니라 [math(a)]인 경우를 정의하기도 한다. [math(e^z = \exp{z})]을 [math(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{z^n}{n!}} = 1 + z + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + \cdots)][* 여기서 [math(n! = n \times \left(n-1\right) \times \left(n-2\right) \times \cdots \times 2 \times 1)]. [[계승#s-2|항목]] 참고.]이라고 정의한 다음, [math(a^z)]을 [math(a^z = \exp\left(z \cdot \log{a}\right) = e ^ {z \cdot \log{a}})][* 여기에서의 log는 [[상용로그]]가 아니라 밑이 e인 [[자연로그]]를 말한다. 대한민국 고등학교에서 ln이라고 쓰던 바로 그것.]로 정의하는 식. 또한 해당 정의를 행렬(!!!)에 적용시킨 Exponential Matrix 라는것도 존재한다. 대충 정방행렬 [math(A)]에 대해 [math(e^A = \exp{A})]를 [math(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{A^n}{n!}} = I + A + \frac{A^2}{2!} + \frac{A^3}{3!} + \frac{A^4}{4!} + \cdots)] 식으로 정의하는데 마찬가지로 각 성분마다 값이 수렴하므로 존재성이 보장된다. 하지만 보통 계산은 저렇게 이루어지지 않고 적분변환이나 대각화, 삼각화를 이용하여 구하는 것이 일반적이다. 이는 주로 선형 연립미분방정식의 동차해를 구할 때 이용된다. == 관련 문서 == * [[지수(수학)]] * [[로그함수]] * [[람베르트 W 함수]] * [[테트레이션]] * [[무한 지수 탑 함수]] * [[2학년의 꿈]] [[분류:해석학(수학)]][[분류:초등함수]]