[include(틀:해석학·미적분학)] [목차] == 개요 == [[함수]]의 증가와 감소를 나타낸 표로 특정한 함수의 그래프의 개형을 파악하기 위하여 [[함수]]의 증가와 감소, [[변곡점]](위로 볼록에서 아래로 볼록 또는 아래로 볼록에서 위로 볼록으로 변하는 지점)을 나타낸 표다. 보통 왼쪽에서 첫 번째 열에는 위에서부터 차례로 [math(x)], [math(f'(x))], [math(f''(x))], [math(f(x))]를 쓰며[* 아래의 두번째 예시처럼 도함수, 이계도함수가 아닌 생판 다른 함수를 쓸 수도 있다.], 그 오른쪽의 경우 첫 번째 행에는 [math(x)]의 값을, 두 번째 행에는 [math(f'(x))]의 값([math(f'(x)>0)]일 경우 [math(+)], [math(f'(x)<0)]일 경우 [math(-)], [math(f'(x)=0)]일 경우 [math(0)]으로 표기), 세 번째 행에는 [math(f''(x))]([math(f''(x)<0)]일 경우 [math(+)], [math(f''(x)>0)]일 경우 [math(-)], [math(f''(x)=0)]일 경우 [math(0)]으로 표기), 마지막 네 번째 행에는 [math(f(x))]의 증가와 감소를 보통 화살표로 표시한다. 이때, [math(f'(x))] 또는 [math(f''(x))]의 값이 [math(0)]이 되는 [math(x)]의 값을 나열하는 것이 보통이다. 단, 변곡점(함수의 오목, 볼록)을 구할 필요가 없을 때에는 [math(f''(x))]를 생략하여 나타낸다. == 예시 == [math(f(x)=2x^3-9x^2+12x)] 위 함수를 예로 들어 보자. [math(f'(x)=6x^2-18x+12=6(x-1)(x-2))] 이 함수의 도함수는 위와 같다. 이때 [math(f'(x)=0)]의 해는 [math(x=1)], [math(x=2)]이다. [math(f''(x)=12x-18)] 또, [math(f(x))]의 이계도함수는 위와 같다. 그러므로 [math(f''(x)=0)]의 해는 [math(x=\dfrac 3 2)]이다. ||<table bgcolor=#fff,#1f2023>[math(\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} x & \cdots & 1 & \cdots & \dfrac 3 2 & \cdots & 2 & \cdots \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & - & - & 0 & + \\ \hline f''(x) & - & - & - & 0 & + & + & + \\ \hline f(x) & \text {↱} & \begin{matrix} 5 \\ \text {극대} \end{matrix} & \text {⤵} & \begin{matrix} \dfrac 9 2 \\ \text {변곡점} \end{matrix} & \text {⤷} & \begin{matrix} 4 \\ \text {극소} \end{matrix} & \text {⤴} \end{array})]|| 이 값들을 이용해 위와 같은 표를 그려 [math(f(x))]의 그래프의 개형을 알 수 있다. 같은 방법으로 [[소수 계량 함수]] [math(\pi(x))], [[소수 정리|이를 근사하기 위해 사용하는 함수]]인 [math(\dfrac{x}{\ln x})], [[로그 적분 함수|[math(\mathrm{li}(x))]]]의 예를 들면 아래와 같다. ||<table bgcolor=#fff,#1f2023>[math(\begin{array} {c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c} x & 0 & \cdots & 1 & \cdots & 2 & \cdots & 3 & \cdots & 10 & \cdots & 100 & \cdots & 1000 & \cdots & 10000 & \cdots \\ \hline \pi (x) & 0 & 0 & 0 & + & 1 & + & 2 & + & 4 & + & 25 & + & 168 & + & 1229 & + \\ \hline \dfrac {x} {\ln x} & \begin {matrix} \approx 0 \\ \text {특이점} \end {matrix} & \text {⤵} & \begin {matrix} \pm \infty \\ \text {특이점} \end {matrix} & \text {⤷} & 2.8853 \cdots & + & 2.7307 \cdots & + & 4.3429 \cdots & + & 21.7147 \cdots & + & 144.7648 \cdots & + & 1085.7362 \cdots & + \\ \hline \mathrm {li} (x) & \begin {matrix} \approx 0 \\ \text {특이점} \end {matrix} & \text {⤵} & \begin {matrix} - \infty \\ \text {특이점} \end {matrix} & \text {↱} & 1.0451 \cdots & + & 2.1635 \cdots & + & 6.1655 \cdots & + & 30.1261 \cdots & + & 177.6096 \cdots & + & 1246.1372 \cdots & + \end {array})]|| 1 부근에서는 셋 다 다른 개형을 보이지만, [math(x)]의 값이 커질수록 [math(\dfrac{x}{\ln x})]와 [math(\mathrm{li}(x))]의 개형이 [math(\pi(x))]와 비슷해지는 것을 알 수 있다.[* 물론 제대로 된 성질을 분석하기에는 10000은 너무 작은 수이다. 최소 [[스큐스 수]]까지는 올라가야 한다.] == 용도(고등학교 수학 내에서) == 각 용도에 대하여 위 '예시' 의 함수를 대상으로 문제를 해결해 본다. === 함수의 증가, 감소, 극대와 극소 조사하기 === [[미분]]을 배운 학생이라면 익히 알고 있을 것이다. [math(f(x))]의 도함수 [math(f'(x))]의 부호가 양일 때 증가하고, 음일 때 감소하고, [math(0)]일 때 극값을 가질 수 있다는 것을. 위 예시에는 [math(f'(x) \ge 0)]인 [math(x)]의 범위는 [math(x \le 1)], [math(x \ge 2)]이고, [math(f'(x) \le 0)]인 [math(x)]의 범위는 [math(1 \le x \le 2)]이다. 따라서 함수 [math(f(x))]는 [math(x \ge 1)], [math(x \le 2)]일 때 증가하고, [math(1 \le x \le 2)]일 때 감소한다는 사실을 알 수 있다. 잘 생각해 보면, 증가와 감소만을 조사할 때는 증감표 없이도 [math(f'(x)=0)]이 되는 [math(x)]와 [math(f'(x))]가 [math(0)]보다 큰지 작은지만을 이용하여 증가인지 감소인지 판단할 수 있다. 그러나 극값을 구할 때는 [math(f'(x)=0)]인 [math(x)]를 [math(a)]라 할 때, [math(a)]의 좌우에서 [math(f'(x))]의 부호가 변해야지만 극값이므로[* [math(f'(x))]의 부호가 음에서 양으로 변할 때는 [math(f'(x))]가 증가하므로 [math(f''(a)>0)], [math(f'(x))]의 부호가 양에서 음으로 변할 때는 [math(f'(x))]가 감소하므로 [math(f''(a)<0)]이다. 이 성질을 이용하면 [math(f''(a))]를 이용하여 [math(f'(x))]가 증가하는지 감소하는지, 즉 [math(f(a))]가 극댓값인지 극솟값인지 알 수 있다.], 증감표를 그리는 것을 추천한다. 예시의 두번째 표에서처럼 그래프의 개형 그 자체를 분석하는 데 쓰이기도 한다. === [math(f(x))]의 그래프의 오목, 볼록, 변곡점 판단하기 === 여기서는 이계도함수를 이용해야 한다. 위 표에서는 [math(f''(x)>0)], 즉 아래로 볼록인 [math(x)]의 범위는 [math(x>\frac 3 2)], [math(f''(x)<0)], 즉 위로 볼록인 [math(x)]의 범위는 [math(x<\frac 3 2)]이다. [math(f''(x)=0)]인 [math(x)]는 [math(x=\frac 3 2)]인데, [math(x=\frac 3 2)]의 좌우에서 [math(f''(x))]의 부호가 음에서 양으로 변하므로 [math(x=\frac 3 2)]인 점, 즉 점[math(\left ( \frac 3 2, \frac 9 2 \right ))]는 [math(f(x))]의 변곡점이다. 이때 [math(f(x))]의 증가, 감소, 극대, 극소 판단과 마찬가지로 오목, 볼록만을 판단할 때는 [math(f''(x))]가 [math(0)]보다 큰지, 작은지, [math(0)]인지만 확인하면 되므로 증감표가 필요 없다. 그러나 변곡점을 찾을 때는 [math(f''(x)=0)]인 점의 좌우를 확인해야 하므로 증감표를 그리는 것을 추천한다. === 함수의 그래프 그리기 === 증가, 감소, 오목, 볼록만을 판단하여 그래프를 그릴 수 있는 경우 증감표가 필요 없지만, 그 외에 극대, 극소, 변곡점을 찾아야 할 때는 증감표가 필요하다. 일반적으로 후자의 경우에 해당하므로, 함수의 그래프를 그릴 때 대부분 증감표를 활용한다. ==== 예시 ==== 함수 [math(f(x)=x/(x^{2}+1))]의 증감표 (a)를 작성하여 그래프의 개형 (b)를 그려보면 아래와 같다. [[파일:namu_증감표_그래프예시.png|width=550&align=center]] === 그래프 그리기가 '혼란스러운' 경우 === 증감표 그리기가 원래 필요 없다고 여겨지는 증가, 감소, 오목, 볼록만을 판단하는 경우라도 함수가 복잡하거나(?)해서 그래프 그리기가 혼란스러울 때는 증감표를 그려서 개형을 추측해 보는 것을 추천한다. 이런 케이스에 속하는 함수로 [[감마 함수]][* [[파일:external/upload.wikimedia.org/555px-Gamma_plot.svg.png|width=333]][br][math(x<0)] 영역에서 종유석과 석순이 반복된다고 생각하면 된다.], [[에어리 함수]][* [[파일:에어리함수_그래프.png|width=333]][br][math(x<0)] 영역에서 진동한다.], [[프레넬 적분 함수]][* [[파일:나무_프레넬적분_그래프_NEW.png|width=333]][br][math(|x|>0)] 영역에서 진동한다.] 같은 것들이 있다. === 함수의 최대, 최솟값 찾기 === 일반적으로 [[연속함수]]의 최대, 최솟값을 구할 때는 주어진 범위의 경계점, [math(f(x))]의 극대, 극솟값 중 [math(f(x))]의 값이 가장 큰 것이 최대, 가장 작은 것이 최소이다. 예를 들어, 위 경우에서는 극대는 [math(f(1)=5)], 극소는 [math(f(2)=4)]이다. [math(0 \le x \le 3)]인 [math(x)]에 대해서는 [math(f(0)=0)], [math(f(3)=9)]이므로 [math(f(0))], [math(f(1))], [math(f(2))], [math(f(3))] 중 최댓값은 [math(f(3)=9)], 최솟값은 [math(f(0)=0)]이다. 최대, 최솟값을 구할 때는 극대, 극솟값을 먼저 구해야 하기 때문에 증감표가 필요하다고 생각할 수 있다. 그러나 함수가 어떤 구간에서 미분가능한 경우 해당 구간에서 극대, 극솟값은 [math(f'(x)=0)]이라는 성질을 가지고 있으므로[* 미분가능하지 않은 경우 그렇지 않을 수 있다. 예를 들어 [math(f(x)=|x|)]인 경우 [math(x=0)]에서 극소이지만 고등학교 수준에서는 미분가능하지 않으므로 [math(f'(x))]가 존재하지 않는다.][* 실제로는 __미분 가능하다__. [[부호 함수|[math(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}|x|=\mathrm{sgn} \,x)]]], [[디랙 델타 함수|[math(\dfrac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}x^{2}} |x|= 2\delta(x))]]]가 성립한다.] [math(f'(x)=0)]인 점을 모조리 찾아내고 주어진 범위의 경계점에서의 [math(f(x))]의 값을 조사하여 가장 큰 값이 최대, 가장 작은 값이 최소이다. 이렇게 하면 증감표가 필요 없다. === 방정식의 실근의 개수 구하기 === 예시로 든 함수 [math(f(x)=2x^3-9x^2+12x)]에 대하여 [math(f(x)=0)]의 근의 개수를 구해 보자. [math(f(x))]가 점 [math((1, 5))]에서 극대, 점 [math((2, 4))]에서 극소이므로, [math(x<1)]인 어떤 [math(x)]에 대해서 [math(f(x)=0)]인 [math(x)]가 1개 존재한다. 따라서 방정식의 실근의 개수는 1개이다. 함수 [math(f(x))]에 대하여 방정식 [math(f(x)=0)]의 실근의 개수를 구하려면 [math(f(x))]의 극대, 극솟값을 모두 조사한 후 그것을 바탕으로 [math(f(x)=0)]인 [math(x)]의 개수를 추론해야 한다. 이때 단지 [math(f'(x)=0)]인 [math(x)]만을 구하려다가는 큰코 다친다.(극대, 극소인지 아니면 [math(f'(x))]의 부호가 변하지 않아서 아무것도 아닌지 알 길이 없다) 따라서 증감표를 그리는 것을 추천한다. [[분류:해석학(수학)]]