[include(틀:이산수학·수리논리학)] [목차] {{{+2 Stirling numbers of the first kind}}} == 개요 == [[계승(수학)#하강 계승|하강 계승]] 또는 [[계승(수학)#상승 계승|상승 계승]]을 급수 표기로 나타냈을 때의 각 계수로 정의되는 수로, 제임스 스털링이 1730년에 도입하였다. 부호 없는 제1종 스털링 수 [math(\begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix})][*주의 [[벡터]]나 [[행렬(수학)|행렬]]과 혼동할 수 있기 때문에 사전에 이것이 부호 없는 제1종 스털링 수임을 알려주어야 한다.]와 부호 있는 제1종 스털링 수 [math(s(n,\,k) = (-1)^{n-k} \begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix})]로 나뉘며 [math(0 \le k \le n \le 10)] 범위에서[* [[제2종 스털링 수]]와의 관계식에서 알 수 있듯이 [math(n \ge k)]만 만족하면 두 수가 모두 음수여도 정의할 수 있다. 물론 엄밀히 따지면 이 값은 제1종 스털링 수가 아니라 제2종 스털링 수지만……][* [math(n<k)]이면 조합론 수준에서는 정의되지 않으나 대수적으로도 정의된다는 점 때문에 [math(0)]인 것으로 약속한다.] [math(\begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix})] 값은 다음과 같다. 아래 테이블에서 배경이 어두운 칸은 [math(s(n,\,k))]의 부호가 [math((-))]임을 의미한다. || [math(n \Big\backslash k)] || [math(0)] || [math(1)] || [math(2)] || [math(3)] || [math(4)] || [math(5)] || [math(6)] || [math(7)] || [math(8)] || [math(9)] || [math(10)] || || [math(0)] || [math(1)] ||<-10> [math(0)] || || [math(1)] ||<|10> [math(0)] || [math(1)] ||<-9> [math(0)] || || [math(2)] ||<bgcolor=gray> [math(1)] || [math(1)] ||<-8> [math(0)] || || [math(3)] || [math(2)] ||<bgcolor=gray> [math(3)] || [math(1)] ||<-7> [math(0)] || || [math(4)] ||<bgcolor=gray> [math(6)] || [math(11)] ||<bgcolor=gray> [math(6)] || [math(1)] ||<-6> [math(0)] || || [math(5)] || [math(24)] ||<bgcolor=gray> [math(50)] || [math(35)] ||<bgcolor=gray> [math(10)] || [math(1)] ||<-5> [math(0)] || || [math(6)] ||<bgcolor=gray> [math(120)] || [math(274)] ||<bgcolor=gray> [math(225)] || [math(85)] ||<bgcolor=gray> [math(15)] || [math(1)] ||<-4> [math(0)] || || [math(7)] || [math(720)] ||<bgcolor=gray> [math(1764)] || [math(1624)] ||<bgcolor=gray> [math(735)] || [math(175)] ||<bgcolor=gray> [math(21)] || [math(1)] ||<-3> [math(0)] || || [math(8)] ||<bgcolor=gray> [math(5040)] || [math(13068)] ||<bgcolor=gray> [math(13132)] || [math(6769)] ||<bgcolor=gray> [math(1960)] || [math(322)] ||<bgcolor=gray> [math(28)] || [math(1)] ||<-2> [math(0)] || || [math(9)] || [math(40320)] ||<bgcolor=gray> [math(109584)] || [math(118124)] ||<bgcolor=gray> [math(67284)] || [math(22449)] ||<bgcolor=gray> [math(4536)] || [math(546)] ||<bgcolor=gray> [math(36)] || [math(1)] || [math(0)] || || [math(10)] ||<bgcolor=gray> [math(403200)] || [math(1026576)] ||<bgcolor=gray> [math(1172700)] || [math(723680)] ||<bgcolor=gray> [math(269325)] || [math(63273)] ||<bgcolor=gray> [math(9450)] || [math(870)] ||<bgcolor=gray> [math(45)] || [math(1)] || == 정의 == [math(x)]의 [math(n)]승 [[계승(수학)#하강 계승|하강 계승]] [math(x^{\underline n})]을 [math(x)]의 [math(n)]차식으로 나타냈을 때 [math(x^k)]의 계수를 제1종 스털링 수 [math(s(n,\,k))]로 정의한다. 즉 || [math(\displaystyle x^{\underline n} = \prod _{k=0}^{n-1}(x-k) = x(x-1)(x-2) \cdots\cdots(x-n+1) = \sum_{k=0}^n s(n,\,k) x^k)] || 한편, [math(x)]의 [math(n)]승 [[계승(수학)#상승 계승|상승 계승]] [math(x^{\overline n})]을 이용해서도 나타낼 수 있는데, 이 경우 제1종 스털링 수에 절댓값 기호가 붙는다. || [math(\displaystyle x^{\overline n} = \prod_{k=0}^{n-1}(x+k) = x(x+1)(x+2) \cdots\cdots(x+n-1) = \sum_{k=0}^n \left| s(n,\,k) \right| x^k)] || [math(\left| s(n,\,k) \right|)]는 종종 [math(c(n,\,k))]또는 [math(\begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix})]로 나타내기도 하는데, 이를 '''부호 없는(unsigned) 제1종 스털링 수'''라고 한다. 각 하강 계승, 상승 계승을 이용한 정의식으로부터 다음과 같은 관계를 알 수 있다. || [math(s(n,\,k) = (-1)^{n-k} c(n,\,k) = (-1)^{n-k} \begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix})] || 참고로 [[제2종 스털링 수]]는 [math(s)]를 대문자로 쓴 [math(S(n,\,k))]이다. [math(k=0)]일 때는 상수항의 계수를 의미하며 값이 두 가지 경우로 나뉜다. [math(n \ge 1)]이면 상수항이 없는 곱셈식이 되므로 [math(s(n,\,0) = 0)]이지만, [math(n=0)]이면 순열과의 관계로부터 [math(x^{\underline 0} = {}_x {\rm P}_0 = \dfrac{x!}{x!} = 1)]이므로 편의상 [math(s(0,\,0)=1)]로 정의한다. 또 부호 없는 제1종 스털링 수의 정의식에 [math(x=1)]을 대입하면 다음과 같은 관계식을 유도할 수 있다. ||[math(\displaystyle 1^{\overline n} = \prod_{k=1}^n k = n! = \sum_{k=0}^n \begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix})] || 즉, 부호 없는 제1종 스털링 수의 합은 [[팩토리얼]]과 같다. 부호 없는 제1종 스털링 수는 조합론으로도 정의할 수 있는데, 원소의 개수가 [math(n)]인 집합을 구분되지 않는 [math(k)]개의 순환[* 방향이 있는 원순열이다. 1 → 2 → 3 → 4 → 1과 1 → 4 → 3 → 2 → 1은 같은 원순열이지만 다른 순환이다. [[대칭군]]의 표기법으로 나타내면 전자는 [math(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix})]이고 후자는 [math(\begin{pmatrix} 1 & 4 & 3 & 2 \end{pmatrix})]로 극명하게 다르다는 것을 알 수 있다.]으로 분할하는 방법의 수이다. 예를 들어 [math(a)], [math(b)], [math(c)], [math(d)]를 원소로 갖는 집합을 [math(2)]개의 순환으로 분할해보면 [math(\begin{pmatrix} a \end{pmatrix},\,\begin{pmatrix} b & c & d \end{pmatrix})] [math(\begin{pmatrix} a \end{pmatrix},\,\begin{pmatrix} b & d & c \end{pmatrix})] [math(\begin{pmatrix} b \end{pmatrix},\,\begin{pmatrix} a & c & d \end{pmatrix})] [math(\begin{pmatrix} b \end{pmatrix},\,\begin{pmatrix} a & d & c \end{pmatrix})] [math(\begin{pmatrix} c \end{pmatrix},\,\begin{pmatrix} a & b & d \end{pmatrix})] [math(\begin{pmatrix} c \end{pmatrix},\,\begin{pmatrix} a & d & b \end{pmatrix})] [math(\begin{pmatrix} d \end{pmatrix},\,\begin{pmatrix} a & b & c \end{pmatrix})] [math(\begin{pmatrix} d \end{pmatrix},\,\begin{pmatrix} a & c & b \end{pmatrix})] [math(\begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix},\,\begin{pmatrix} c & d \end{pmatrix})] [math(\begin{pmatrix} a & c \end{pmatrix},\,\begin{pmatrix} b & d \end{pmatrix})] [math(\begin{pmatrix} a & d \end{pmatrix},\,\begin{pmatrix} b & c \end{pmatrix})] 로 [math(11)]가지가 얻어지며 [math(\begin{bmatrix} 4 \\ 2 \end{bmatrix} = 11)]이다. 위의 두 정의가 왜 동치인지 직관적으로 와닿지 않을 수도 있는데, 각 정의를 바탕으로 점화식을 써보면 완전히 똑같은 식이 유도된다(후술). == 성질 == === 점화식 === || [math(\begin{bmatrix} n+1 \\ k+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix} + n \begin{bmatrix} n \\ k+1 \end{bmatrix})] || [math(x)]의 [math(n)]승 상승 계승식에 [math((x+n))]을 곱해서 나타내보면 바로 위의 식이 튀어나온다. || [math(\displaystyle x^{\overline{n+1}} = \prod_{k=0}^n(x+k) = (x+n)\prod _{k=0}^{n-1}(x+k) = (x+n) x^{\overline n} = x \cdot x^{\overline n} + n \cdot x^{\overline n})] || 맨 우변에 주목했을 때, [math(x \cdot x^{\overline n})]에서 [math(x^{k+1})]의 계수는 [math(x^{\overline n})]의 [math(x^k)]차항 계수와 같으며 이는 [math(\begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix})]에 해당한다. 제2항에서 [math(x^{k+1})]의 계수는 [math(x^{\overline n})]의 [math(x^{k+1})]차항 계수이며 이는 [math(\begin{bmatrix} n \\ k+1 \end{bmatrix})]와 같다. 맨 좌변에서 [math(x^{k+1})]의 계수는 [math(\begin{bmatrix} n+1 \\ k+1 \end{bmatrix})]이므로 정리하면 위의 식이 얻어진다. 조합론을 이용한 증명의 경우, [math(n)]개 원소를 분할한 경우에서 [math((n+1))]번째 원소를 끼워넣는 방법을 고려해서 유도할 수 있는데, [math((n+1))]번째 원소를 길이가 [math(1)]인 순환으로 남기는 방법과 다른 순환에 포함시키는 방법으로 나누어서 생각할 수 있다. 전자의 경우 [math((n+1))]번째 원소 자체가 [math(1)]개의 순환이므로 [math(n)]개의 원소를 [math(k)]개의 순환으로 분할한 경우의 수 [math(\begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix})]가 그대로 쓰인다. 후자의 경우, [math(n)]개의 원소를 [math((k+1))]개의 순환으로 분할한 것을 대칭군 표기법으로 나열한 뒤, 각 순환의 원소에서 맨 앞, 사이 사이, 맨 뒤에 끼워넣어보면 되는데, 예를 들어 순환의 길이가 [math(m)]이라고 하면 [math((n+1))]번째 원소가 들어갈 자리의 수는 [math((m+1))]이지만 맨 앞과 맨 뒤에 끼워넣는 경우는 같은 순환이므로 결과적으로 각 순환에서 원소 하나를 끼워넣어서 새로운 순환이 생길 경우의 수는 순환의 길이 [math(m)]과 같다. 각 순환의 길이를 모두 합한 값은 원소의 총 개수 [math(n)]과 같으므로 경우의 수는 [math(\begin{bmatrix} n \\ k+1 \end{bmatrix})]에 [math(n)]을 곱한 값 [math(n \begin{bmatrix} n \\ k+1 \end{bmatrix})]이 된다. 또한 [math(s(n,\,k) = (-1)^{n-k} \begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix})]였으므로 이를 대입해서 정리하면 || [math(s(n+1,\,k+1) = s(n,\,k) - n s(n,\,k+1))] || === [[제2종 스털링 수]]와의 관계 === * || [math(\begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix} = \begin{Bmatrix} -k \\ -n \end{Bmatrix})] || 두 성분을 교환하고 각 성분의 부호를 모두 바꿔주면 스털링 수의 종류가 바뀐다. 위 관계는 점화식을 이용해서 간단하게 증명이 가능하다. 우변의 [[제2종 스털링 수]]에 점화식을 적용하면 ||[math(\begin{Bmatrix} -k \\ -n \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} -k-1 \\ -n-1 \end{Bmatrix} - n \begin{Bmatrix} -k-1 \\ -n \end{Bmatrix})] || 이 되는데, 우변의 제2항을 이항하면 ||[math(\begin{Bmatrix} -k-1 \\ -n-1 \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} -k \\ -n \end{Bmatrix} + n \begin{Bmatrix} -k-1 \\ -n \end{Bmatrix})] || 이제 각 성분을 교환하고 [math(-1)]을 곱해주면 제1종 스털링 수의 점화식 꼴이 된다. ||[math(\begin{bmatrix} n+1 \\ k+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix} + n \begin{bmatrix} n \\ k+1 \end{bmatrix})] || * ||[math(\displaystyle \sum_{r=k}^n s(n,\,r) S(r,\,k) = \sum_{r=k}^n S(n,\,r) s(r,\,k) = \delta_{n\,k})] || [math(\delta_{n,\,k})]는 [[크로네커 델타]]이다. 두 식 모두 [[라흐 수]]의 정의처럼 각 스털링 수의 정의를 연달아 적용함으로써 도출된다. ||[math(\displaystyle \begin{aligned} x^{\underline n} &= \sum_{r=0}^n s(n,\,r) x^r = \sum_{r=0}^n s(n,\,r) \sum_{k=0}^r S(r,\,k) x^{\underline k} = \sum_{r=0}^n \sum_{k=0}^r s(n,\,r) S(r,\,k) x^{\underline k} \\ &= \sum_{k=0}^n \sum_{r=0}^n s(n,\,r) S(r,\,k) x^{\underline k} = \sum_{k=0}^n \left( \sum_{r=0}^n s(n,\,r) S(r,\,k) \right) x^{\underline k} \end{aligned} \\ \therefore \sum_{r=0}^n s(n,\,r) S(r,\,k) = \sum_{r=k}^n s(n,\,r) S(r,\,k) = \delta_{n,\,k} \\ \begin{aligned} x^n &= \sum_{r=0}^n S(n,\,r) x^{\underline r} = \sum_{r=0}^n S(n,\,r) \sum_{k=0}^r s(r,\,k) x^k = \sum_{r=0}^n \sum_{k=0}^r S(n,\,r) s(r,\,k) x^k \\ &= \sum_{k=0}^n \sum_{r=0}^n S(n,\,r) s(r,\,k) x^k = \sum_{k=0}^n \left( \sum_{r=0}^n S(n,\,r) s(r,\,k) \right) x^k \end{aligned} \\ \therefore \sum_{r=0}^n S(n,\,r) s(r,\,k) = \sum_{r=k}^n S(n,\,r) s(r,\,k) = \delta_{n,\,k})] || 부호 없는 스털링 수, 그러니까 [math(s(n,\,k) = (-1)^{n-k} \begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix})]표기를 이용하면 다음과 같이 된다. ||[math(\displaystyle \begin{aligned} \sum_{r=k}^n(-1)^r \begin{bmatrix} n \\ r \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} r \\ k \end{Bmatrix} &= (-1)^n \delta_{n,\,k} \\ \sum_{r=k}^n(-1)^r \begin{Bmatrix} n \\ r \end{Bmatrix} \begin{bmatrix} r \\ k \end{bmatrix} &= (-1)^k \delta_{n,\,k} \end{aligned})] || 두 식에서 우변의 [math(-1)]의 지수가 다르지만 사실 둘 다 [math((-1)^n)]을 쓰든 [math((-1)^k)]를 쓰든 상관 없다. 어차피 부호가 제 역할을 하는 경우는 [math(\delta_{n,\,k} = 1)], 즉 [math(n=k)]일 때 뿐이며, 좌변에서 [math(n=k)]란 곧 [math((-1)^k \begin{bmatrix} k \\ k \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} k \\ k \end{Bmatrix} = (-1)^k = (-1)^n)]을 의미하기 때문이다. === 생성함수 === ||[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{\left\{ \ln(1+x) \right\}^k}{k!} &= \sum_{n=0}^\infty s(n,\,k) \frac{x^n}{n!} \\ \frac{ \left\{ - \ln(1-x) \right\}^k}{k!} &= \sum_{n=0}^\infty \begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix} \frac{x^n}{n!} \end{aligned})] || 제1종 스털링 수 특성상 [math(n<k)]이면 [math(s(n,\,k) = \begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix} = 0)]이므로 아래와 같이 축약된 식으로 많이 나타낸다. ||[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{\left\{ \ln(1+x) \right\}^k}{k!} &= \sum_{n=k}^\infty s(n,\,k) \frac{x^n}{n!} \\ \frac{ \left\{ - \ln(1-x) \right\}^k}{k!} &= \sum_{n=k}^\infty \begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix} \frac{x^n}{n!} \end{aligned})] || 증명에는 이항급수 [math(\displaystyle (1+x)^r = \sum_{n=0}^\infty \binom rn x^n )]을 이용한다. [[테일러 급수/목록#s-3|테일러 급수의 예]]에 설명되어있듯이 이항급수에서 조합 기호는 [math(\displaystyle \binom rn = \frac 1{n!} \prod_{i=0}^{n-1}(r-i))]로 재정의되고 하강 계승의 정의에 따라 [math(\displaystyle \prod_{i=0}^{n-1}(r-i) = r^{\underline n})]이므로 이항급수는 다음과 같이 고쳐 쓸 수 있다. ||[math(\displaystyle \begin{aligned}(1+x)^r &= \sum_{n=0}^\infty \frac{r^{\underline n}}{n!} x^n = \sum_{n=0}^\infty \left\{ \sum_{k=0}^n s(n,\,k) r^k \right\} \frac{x^n}{n!} = \sum_{k=0}^\infty r^k \sum_{n=0}^\infty s(n,\,k) \frac{x^n}{n!} \\ &= e^{\ln(1+x)^r} = e^{r \ln(1+x)} = \sum_{k=0}^\infty \frac{ \left\{r \ln(1+x) \right\}^k}{k!} = \sum_{k=0}^\infty r^k \frac{ \left\{ \ln(1+x) \right\}^k}{k!} \end{aligned} \\ \therefore \frac{ \left\{ \ln(1+x) \right\}^k}{k!} = \sum_{n=0}^\infty s(n,\,k) \frac{x^n}{n!} = \sum_{n=k}^\infty s(n,\,k) \frac{x^n}{n!})] || 위 유도 과정에서 [math(r)]에 [math(-r)]을, [math(x)]에 [math(-x)]를 대입하면 다음과 같이 부호 없는 제1종 스털링 수의 생성함수로 바뀐다. ||[math(\displaystyle \begin{aligned}(1-x)^{-r} &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-r)^{\underline n}}{n!}(-x)^n = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n r^{\overline n}}{n!}(-1)^n x^n = \sum_{n=0}^\infty \frac{ r^{\overline n}}{n!} x^n = \sum_{n=0}^\infty \left\{ \sum_{k=0}^n \begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix} r^k \right\} \frac{x^n}{n!} = \sum_{k=0}^\infty r^k \sum_{n=0}^\infty \begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix} \frac{x^n}{n!} \\ &= e^{\ln(1-x)^{-r}} = e^{-r \ln(1-x)} = \sum_{k=0}^\infty \frac{ \left\{ -r \ln(1-x) \right\}^k}{k!} = \sum_{k=0}^\infty r^k \frac{ \left\{ -\ln(1-x) \right\}^k}{k!} \end{aligned} \\ \therefore \frac{ \left\{ -\ln(1-x) \right\}^k}{k!} = \sum_{n=0}^\infty \begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix} \frac{x^n}{n!} = \sum_{n=k}^\infty \begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix} \frac{x^n}{n!} )] || == 관련 문서 == * [[제2종 스털링 수]] * [[라흐 수]] * [[팩토리얼]] * [[순열]] [[분류:이산수학]][[분류:나무위키 수학 프로젝트]]