[목차] == 개요 == 어떤 [[자연수]][* 이 조건이 붙지 않으면 '''모든 수가 제곱수가 된다'''([[제곱근]] 문서 참조).]를 [[지수(수학)|두 번 곱해서]] 나오는 [[정수]]. 정사각수라고도 한다. 즉, [math(n=m^2)]인 자연수 [math(m)]이 존재하는 [math(n)]을 말한다. == 성질 == === 자연수로 나눈 나머지 === 제곱수를 어떤 자연수로 나누었을 때, 나올 수 있는 나머지는 다음과 같다. ||<tablebordercolor=#1E90FF><rowbgcolor=#1E90FF> '''{{{#D3D3D3 제수}}}''' || '''{{{#D3D3D3 나머지}}}''' || || '''3''' || 0, 1 || || '''4''' || 0, 1 || || '''5''' || 0, 1, 4 || || '''7''' || 0, 1, 2, 4 || || '''8''' || 0, 1, 4 || || '''9''' || 0, 1, 4, 7 || || '''10''' || 0, 1, 4, 5, 6, 9 || ||<-2> ... || 이 성질을 이용해서 어떤 자연수가 제곱수가 아님을 일차적으로 판별할 수 있다. === 제곱수의 십의 자리 수 === 제곱수의 십의 자리 수가 홀수인 것과 일의 자리 수가 6인 것이 서로 필요충분조건이다. 즉, 일의 자리 수가 4 또는 6인 자연수를 제곱하면 일의 자리 수는 6이고 십의 자리 수는 홀수며, 그 외의 자연수를 제곱하면 일의 자리 수는 6이 아니고 십의 자리 수도 짝수다. === 열려있는 사물함 === 대개 이런 문제로 알려져 있다. >학생 100명이 있고, 사물함이 100개가 있다. >그리고 학생들에게 1부터 100까지의 번호를 부여해주고, 사물함에도 1부터 100까지의 번호를 부여해준다. >사물함은 모두 닫혀있다고 했을때, >>1번 학생은 '''자기 번호의 배수인''' 사물함을 연다. >>2번 학생은 '''자기 번호의 배수인''' 사물함을 닫는다. >>3번 학생은 '''자기 번호의 배수인''' 사물함이 '''열려있으면 닫고 닫혀있으면 연다.''' >>4번 학생은 '''자기 번호의 배수인''' 사물함이 열려있으면 닫고 닫혀있으면 연다. >>... >>99번 학생은 '''자기 번호의 배수인''' 사물함이 열려있으면 닫고, 닫혀있으면 연다. >>100번 학생은 '''자기 번호의 배수인''' 사물함이 열려있으면 닫고, 닫혀있으면 연다. >자. 그렇다면 100번 학생까지 이 과정을 마쳤을 때, '''열려있는 사물함의 갯수는 몇 개일까?''' 이런 문제는 1부터 n까지의 제곱수를 구하면 된다. 원리는, 닫혀있으면 열고, 열려있으면 닫는데에 있다. ||<tablebordercolor=#1E90FF><rowbgcolor=#1E90FF> '''{{{#D3D3D3 번호}}}''' || '''{{{#D3D3D3 여는 과정}}}''' || '''{{{#D3D3D3 열리거나 닫히는 횟수}}}''' || || 1번 || 열고 || 1번 || || 2번 || 열고 닫고 || 2번 || || 3번 || 열고 닫고 || 2번 || || 4번 || 열고 닫고 열고 || 3번 || |||||| ... || || 99번 || 열고 닫고 열고 닫고 열고 닫고 || 6번 || || 100번 || 열고 닫고 열고 닫고 열고 닫고 열고 닫고 열고 || 9번 || 또한 열리거나 닫히는 횟수는 그 수의 약수의 개수와 일치하는데, 열려있는 번호는 약수의 갯수가 홀수 개다. 이는 '''제곱수의 특징인 약수가 홀수개''' 라는 것을 보여준다. === [[바젤 문제|제곱수의 역수의 합]] === [[레온하르트 오일러]]는 제곱수의 역수의 합을 다음과 같이 계산했다. 놀랍게도 결과값으로 [[원주율]]이 튀어나온다. >[math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} \cdots = \frac{\pi^2}{6})] 또한 오일러는 같은 방식으로 네제곱수의 역수합[* [math(\dfrac{\pi^4}{90})]]도 계산해냈다. 이후 이를 일반화한 것이 그 유명한 [[리만 가설|리만 제타 함수]]이다. === 제곱수의 합 === 위에서 제곱수의 역수 합을 구했으니 본래의 제곱수의 합도 구할 수 있는데, 여기서 황당한 상황이 벌어진다. >[math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 \cdots = 0)] 0보다 큰 수를 모두 더하면 0이 되어버리는 이변이 생겼다. 사실 이 무한합은 원래라면 무한대로 발산하지만, [[베른하르트 리만]]이 제타 함수를 [[복소해석학|해석적으로 확장]]해서 계산해낸 값이다.[* 참고로 짝수 제곱의 무한합은 모두 0이 나오는데, 이를 리만 가설에서의 '자명한 근'이라고 한다.] == 제곱수 == 1~20까지의 제곱수이다. ~~솔직히 구구단만 하면 1~9까지는 기본이다~~ 외워두면 좋다. 중학교 수학부터 자주 이용하게 되고 [[고등학교]] [[3학년]]까지 활용할 수 있다. 특히 완전제곱식 꼴의 [[인수분해]]에서 자주 사용된다. === 10000까지의 제곱수 === * [[1]], [[4]], [[9]], [[16]], [[25]], [[36]], [[49]], [[64]], [[81]], [[100]] * [[121]], [[144]], [[169]], [[196]], [[225]], [[256]], [[289]], [[324]], [[361]], [[400]] * [[441]], [[484]], [[529]], [[576]], [[625]], [[676]], [[729]], [[784]], [[841]], [[900]] * [[961]], [[1024]], [[1089]], [[1156]], [[1225]], [[1296]], [[1369]], [[1444]], [[1521]], [[1600]] * [[1681]], [[1764]], [[1849]], [[1936]], [[2025]], [[2116]], [[2209]], [[2304]], [[2401]], [[2500]] * [[2601]], 2704, 2809, 2916, 3025, [[3136]], [[3249]], [[3364]], [[3481]], [[3600]] * [[3721]], [[3844]], [[3969]], [[4096]], [[4225]], 4356, 4489, 4624, [[4761]], [[4900]] * [[5041]], [[5184]], 5329, 5476, 5625, 5776, 5929, 6084, 6241, 6400 * [[6561]], 6724, 6889, 7056, 7225, 7396, 7569, 7744, 7921, [[8100]] * 8281, 8464, 8649, 8836, 9025, 9216, 9409, 9604, 9801, [[10000]] == 바리에이션 == 어떤 자연수를 세 번 곱해서 나오는 자연수를 세제곱수라고 하며, 네 번 곱하면 네제곱수 등으로 부른다. 이 중 세제곱수는 정육면체 , 네제곱수는 정팔포체 배열을 할 수 있다. === 세제곱수의 수열 및 성질 === * [[1]], [[8]], [[27]], [[64]], [[125]], [[216]], [[343]], [[512]], [[729]], [[1000]] * [[1331]], [[1728]], 2197, [[2744]], 3375, [[4096]], 4913, 5832, 6859, [[8000]], ... === 네제곱수의 수열 및 성질 === * [[1]], [[16]], [[81]], [[256]], [[625]], [[1296]], [[2401]], [[4096]], [[6561]], [[10000]], ...[* 네제곱수는 제곱수의 제곱으로 네제곱수는 모두 2제곱수이다.] == [[유리수]]에서 == [math(\dfrac{1001}{999^3}=\dfrac{1001}{997002999})]를 소수로 계산하면 [math(0.000\red {001}004\red {009}016\red {025}036\red {049}064\red {081}100\red {121}169 \red{196}225 \red{256}...)]과 같이 제곱수가 나타난다. [[분류:수]]