[Include(틀:정다면체)] [목차] || [[파일:external/upload.wikimedia.org/Icosahedron.gif]] || || [[정다면체]]중 하나인 정이십면체의 모습. || == 개요 == 正二十面體, Icosahedron[* 복수는 Icosahedra] 한 개의 꼭짓점에 다섯 개의 [[정삼각형]]이 만나고, 총 스무 개의 면으로 이루어진 다면체. 정다면체들 중 면이 가장 많다. 정이십면체에서 두 면이 이루는 이면각은 [math(\displaystyle\sin^{-1}\frac{-\sqrt{5}}{3}\approx138.19^\circ)]로, 3개의 정이십면체가 한 모서리에서 만난다고 가정하면 414.57°로 360°를 초과하기 때문에 [[4차원 정다포체|4차원 볼록 정다포체]]를 만들 수 없다.[* 정이십면체로 오목 정다포체는 만들 수 있다.] == 정이십면체에 대한 정보 == ||단위/특성||개수||비고|| ||[[슐레플리 부호]]|| ||{3,5}|| ||꼭지점(vertex, 0차원)||12|| || ||모서리(edge), 1차원)||30|| || ||면(face, 2차원)||20||[[정삼각형]]|| ||쌍대|| ||[[정십이면체|정십이면체 {5,3}]]|| ||포함 관계[br]또는 '''다른 이름'''|| ||'''비틀어 늘린 맞붙인 오각뿔 (Gyroelongated bipyramid)'''[* 정이십면체는 정오각뿔, 엇정오각기둥 그리고 다시 정오각뿔을 정오각형 면끼리 순서대로 붙여 만들 수 있다.][br]'''다듬은 사사면체 (Snub Tetratetrahedron)'''[* [[아르키메데스 다면체]]의 다듬기 항목 참조. 정사면체의 각 면을 띄워 놓고 각 꼭지점에 5개의 삼각형을 끼워 서로 이어가면 만들어진다.][* [[정팔면체]]의 다른 이름이 사사면체다. 이유는 항목 참조.][br]'''다듬은 정팔면체 (Snub octahedron)'''|| 한 변의 길이가 [math(a)]인 정이십면체가 있을 때 외접구의 반지름 =[math(\displaystyle\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}a)][* 여기에서 φ는 [[황금비]]이다. [math(\displaystyle(\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}))]] 내접구의 반지름 = [math(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{12}(3+\sqrt{5})a)] 총 모서리 길이(total edge length) = [math(30a)] 겉넓이(surface area) = [math(5\sqrt{3}a^2)] 부피(volume) = [math(\displaystyle\frac{5}{12}({3+\sqrt{5}})a^3=\frac{5\varphi^2}{6}a^3)] === 다른 정다면체들과의 관계 === * 정이십면체는 정십이면체와 쌍대(Dual)[* 어떤 다면체의 꼭지점을 면으로, 면을 꼭지점으로 대체한 다면체를 쌍대 다면체라고 한다.] 도형이다.[* 정이십면체는 한 꼭지점에 다섯 개의 정삼각형이 만나기 때문에 {3, 5} 한 꼭지점에서 정오각형이 세 개 만나는 도형인 정십이면체{5, 3}와 쌍대 도형이다.] * [[정팔면체]]의 12개 모서리들을 잘 황금분할하여 서로 이으면 정이십면체가 된다. == 현실에서의 예시 == * 수많은 [[바이러스]] * [[박테리오파지]][* 정확히는 약간 길쭉한 모양이나, 매우 유사하게 생겼다.] * [[아데노바이러스]] * 감마-[[붕소]](γ-boron)[* 고압 환경에서 존재하는 붕소의 동소체이다.] * [[골프공]][* 잘 모르겠다면 골프공에 있는 딤플(골프공 표면에 존재하는 홈)을 자세히 보자. 가끔 예외인 골프공도 있을 수 있으나, 대부분의 골프공의 경우, 대부분의 딤플들은 주변의 6개 딤플들로 둘러싸여 있고, 단 12개의 딤플만 5개의 다른 딤플들로 둘러싸여있는데, 이 12개의 딤플을 이으면 정이십면체가 된다.] * [[지오데식 돔]][* 골프공과 마찬가지로 반드시 정이십면체 기반으로 만들 필요는 없으나, 대부분의 지오데식 돔의 경우, 정다면체들 중에서는 정이십면체가 구와 가장 가깝기 때문에 정이십면체를 기반으로 만들어진다.] * [[d20|정이십면체 주사위]] * 도직 [[분류:기하학]][[분류:명수 20]]