[include(틀:다면체)] [include(틀:정다면체)] [목차] == 개요 == [[파일:external/1.bp.blogspot.com/regular+polyhedrons.jpg]] 正多面體 / Regular Polyhedron [[기하학]]에 등장하는 3차원 [[도형]]의 일종. 흔히 플라톤의 다면체라고 말하는 [[정다면체|볼록 정다면체]] 5종과 일상적으로는 정다면체라고 부르지 않는 [[오목 정다면체]] 4종까지 일컫는 말. 따라서 정다면체는 모두 9개이다. 예로부터 정다면체는 다섯 가지만이 존재한다고 알려져 있었는데, [[요하네스 케플러]]는 이 정의에서 사용하는 면을 [[다각형#s-4|오목정다각형]]까지 확장시켰고, 두 개를 정다면체의 개념에 추가하였다. 이후 [[푸앵소]]는 이 정의에서 한 꼭짓점에서 만나는 면의 개수를 분수번까지 확장시켜 케플러가 만든 다면체의 쌍대에 해당하는 두 개의 다면체를 찾아내었다. [[주사위]]에서는 공평함을 위해 정다면체(특히 [[정육면체]])를 쓰는 일이 많다. [[반정다면체]]의 쌍대다면체인 [[카탈랑 다면체]] 등도 공평한 주사위로 쓸 수 있으나, 드문 편이다. 또한 10면체 주사위는 각 면이 연꼴(Kite)인 오각 엇쌍각뿔(Pentagonal trapezohedron)을 쓴다. == 볼록 정다면체 == 볼록 정다면체에는 오로지 다섯 가지 정다면체([[정사면체]], [[정육면체]], [[정팔면체]], [[정십이면체]], [[정이십면체]])만 존재한다. === 성질 === 오로지 다섯 개의 볼록 정다면체만 존재한다는 것은 다음과 같이 매우 간단하게 증명할 수 있다. * 다면체에서 최소한 세 개의 면이 있어야 하나의 꼭짓점이 만들어진다. * 각 꼭지각의 합은 360°보다 작아야 한다. * 다면체를 구성하는 면은 모두 합동이므로 각 꼭지각의 크기는 같다. 한편, 이런 꼭지각이 최소 세 개로 구성되므로 모든 꼭지각의 크기는 360°÷3=120° 보다 작아야 한다. * 내각의 크기가 120°보다 작은 정다각형은 정삼각형 · 정사각형 · 정오각형 뿐이다. * 정삼각형: 내각의 크기가 60°이므로, 하나의 꼭짓점에 모일 수 있는 삼각형면의 개수는 3개 · 4개 · 5개이다. 이것은 각각 정사면체 · 정팔면체 · 정이십면체에 해당한다. * 정사각형: 내각의 크기가 90°이므로, 하나의 꼭짓점에 모일 수 있는 사각형면의 개수는 3개이다. 이것은 정육면체에 해당한다. * 정오각형: 내각의 크기가 108°이므로, 하나의 꼭짓점에 모일 수 있는 오각형면의 개수는 3개이다. 이것은 정십이면체에 해당한다. [[오일러 지표]]를 이용하여 증명할 수 도 있으나. 사실상 위의 증명을 수치화한것에 가깝다. == 오목 정다면체 == 오목 정다면체에는 네 가지 다면체([[작은 별모양 십이면체]], [[큰 십이면체]], [[큰 별모양 십이면체]], [[큰 이십면체]])가 존재한다. == 선과 점의 개수 == 아래에서 모든 볼록 정다면체의 [[오일러 지표|<math>V-E+F=2</math>]]가 나온다. 이를 오일러 지표라고 하는데, 모든 볼록 다면체에 대해 성립한다. 오목 다면체는 두 개는 2, 나머지 둘은 -6이다. ||<:>__정다면체__||꼭짓점의 개수(V)||모서리의 개수(E)||면의 개수(F)||V-E+F|| ||<(>정사면체||<)>4||<)>6||<)>4||<)>2|| ||<(>정육면체||<)>8||<)>12||<)>6||<)>2|| ||<(>정팔면체||<)>6||<)>12||<)>8||<)>2|| ||<(>정십이면체||<)>20||<)>30||<)>12||<)>2|| ||<(>정이십면체||<)>12||<)>30||<)>20||<)>2|| ||<(>작은 별모양 십이면체||<)>12||<)>30||<)>12||<)>-6|| ||<(>큰 십이면체||<)>12||<)>30||<)>12||<)>-6|| ||<(>큰 별모양 십이면체||<)>20||<)>30||<)>12||<)>2|| ||<(>큰 이십면체||<)>12||<)>30||<)>20||<)>2|| == 확장된 정다면체의 정의 == ||<tablealign=center><tablebgcolor=black>[youtube(_hjRvZYkAgA)]|| 정다면체를 엄밀하게 3차원 유클리드 상에서 하나의 연결된 도형이고 두 개 이상의 서로 다른 꼭짓점, 모서리 또는 면이 정확히 같은 위치를 점유하는 건 불가능하다고 가정할 때 도형에서 고른 아무 꼭짓점을 다른 꼭짓점으로 옮길 수 있는 '''점추이''', 모서리를 다른 모서리로 옮길 수 있는 '''변추이'''와 아무 면을 다른 면으로 옮길 수 있는 '''면추이'''를 만족하는 도형으로 정의할 경우 정다면체의 종류는 다음 48가지이다. * 볼록 정다면체(플라톤 입체) 5종 * 오목 정다면체([[케플러-푸앵소 다면체]]) 4종 * [[테셀레이션|정타일링]] 3종 * 페트리-콕서터 다면체 3종 * 거듭정사면체 * 거듭정육면체 * 거듭정팔면체 * 앞의 언급한 것들의 페트리 쌍대 15종 * 섞인 무한면체 12종 * 섞인 정타일링 3종 * 나선 정타일링 3종 * 섞인 페트리 정타일링 3종 * 나선 페트리 정타일링 3종 * 순수 그륀바움-드레스 다면체 6종 * 이분 거듭정육면체 * 페트리 이분 거듭정육면체 * 페트리 이분 거듭정육면체 쌍대 * 삼중나선 정사각 타일링 * 사중나선 정삼각 타일링 * 꼬인 거듭정팔면체 그러나, 보통은 플라톤 다면체와 오목 다면체 9종만을 정다면체로 간주하며, 확장하여도 같은 도형을 무한히 평평하게 배열하는 무한다면체인 정타일링 3종(정삼각타일링, 정사각타일링, 정육각타일링)만을 추가로 정다면체로 간주한다. [[분류:도형]]