[목차] == 개요 == ||<tablealign=center><bgcolor=#ffffff><table width=340> [[파일:namu_접선_예.png|width=70%&align=center]] || || '''곡선 [math(\boldsymbol{f(x)=x^{2}})] 위의 점 [math(\mathbf{P}\boldsymbol{(1,\,1)})]에서의 접선''' || {{{+1 tangent line[* [[삼각함수]]의 하나인 탄젠트와는 딱히 관계없다. [[어원]]만 같은 것.] · [[接]][[線]]}}} '''곡선 위의 한 점'''에서 곡선에 접하는 직선을 이르는 말로, 수학에서는 접선을 아래와 같이 정의한다.[* 중학교 과정에서는 접선을 곡선과 한 점에서만 만나는 직선으로 정의하는데, 당장 고등학교만 가봐도 접선이 한 점에서만 만나지 않는다는 걸 알 수 있다.] ||<table width=100%>곡선 위의 점 [math(\rm P)]에 대하여 곡선 위를 움직이는 점 [math(\rm Q)]가 [math(\rm P)]에 한없이 다가갈 때 직선 [math(\overline{\rm PQ})]가 하나의 직선으로 수렴한다면 그 극한 위치의 직선을 [math(\rm P)]에서의 '''접선'''이라 하고, 점 [math(\rm P)]를 '''접점'''이라 한다. || 즉, '''할선의 극한'''으로 접선을 정의하는 것이다. [[벡터]]도 당연히 접선을 구할 수 있는데, 이를 [[http://en.wikipedia.org/wiki/Tangent_bundle|접다발(tangent bundle)]]이라고 한다. == 속력과의 관계 == 접선의 기울기가 가지는 대표적인 의미는 속력이다. 달리는 차에서 속도계를 보면 바늘이 계속 움직이는데 차의 속력이 일종의 시간에 따른 함수라는 것을 알 수 있다. 문제는 접선에서와 마찬가지로 일정한 거리를 갔을 때의 속력은 거리/시간으로 정의할 수 있지만 '''순간 속력'''이라는 것은 쉽게 정의할 수 없다는 데에 있다. 감이 딱 오겠지만 접선과 마찬가지 방법으로 해결하면 된다. 어느 한 순간 [math(t)]에서의 속력을 구하고 싶다면 [math(t)]로부터 1초 후까지의 평균 속력, 0.1초 후까지의 평균 속력, 0.01초 후까지의 평균 속력[math(\cdots)]를 쭉 보면서 어느 한 값에 가까워진다 싶으면 그 속도를 순간 속력으로 정의하는 것이다. 이런 걸 수학적으로는 이렇게 표현한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( v(t) = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{x(t+h)-x(t)}{(t+h)-t} )]}}} [math(v)]는 속력, [math(x)]는 거리, [math(h)]는 몇 초 후까지의 평균 속력이냐라는 의미이다. [math(h)]가 양의 값이면서 [math(t)]에 가까워질 때와 음의 값이면서 [math(t)]에 가까워질 때 둘 다 같은 값으로 수렴한다면 그 값이 바로 속력. 이런 형태는 결국 일반화되어 [[미분]]이라는 개념으로 발전하게 된다. == 접선의 방정식 == === 역사 === 수학자들은 오랜 세월 동안 모든 곡선에 적용되는 접선의 방정식 구하는 법을 알아내고자 하였다. 만약 접선이 곡선에 접하는 점의 좌표가 확실하다면, 접선의 기울기만 알아내면 접선의 방정식을 특정할 수 있기에 결국 '''접선의 기울기'''를 구하는 것이 최대 숙제였다. [[포물선]]과 같이 특수하고 한정적인 경우에만 적용되는 방법은 여러 수학자들이 나름대로 고안해 냈지만, 그야말로 모든 접선의 기울기를 구하는 보편적인 방법은 발견하지 못하고 있었다. 1665년 [[아이작 뉴턴]]이 [[유율법]]이라는 모든 곡선에 적용되는 방법을 세계 최초로 고안하면서 이 문제가 해결되었다. 이후 [[오귀스탱 루이 코시]]가 [[엡실론-델타 논법]]을 고안하여 유율법의 허점을 보완하였다. === 구하는 법 === 접점을 알고, 접하는 곡선의 방정식을 안다면 접선의 방정식을 구할 수 있다. 곡선 [math(y=f(x))] 위의 점 [math((t,\,f(t)))]에서의 접선은 기울기가 [math(f'(t))]이고 점 [math((t,\,f(t)))]를 지나므로 방정식은 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(y=f'(t)(x-t)+f(t))]}}} 이는 곡선이 양함수로 표현될 때 가능한 방식이고, [[원(도형)|원]]과 같이 본래는 함수가 아닌 것들은 [[음함수]]의 미분으로 접선의 기울기를 구해야 한다. 한편, 여러 특수한 경우에서는 다른 방법으로도 접선의 방정식을 구할 수 있다. * [[상수함수]]나 [[일차함수]]의 그래프는 기울기가 일정한 직선이기 때문에 그래프 위의 모든 점에서의 접선이 함수 자신의 그래프와 일치한다. * [[이차함수]]의 그래프의 접선은 [[미분]]을 하지 않고 [[판별식]]을 이용하여 구할 수도 있다. [[이차함수#s-2.8]] 문서를 참고하라. * [[원(도형)|원]]의 접선은 [[음함수]]의 미분을 하지 않고 원의 중심에서 원의 접선에 내린 [[수선의 발]]은 접점이 된다는 원의 성질을 이용하여 구할 수도 있다. == 오개념 == 접선은 곡선을 스치고 지나가야 하며, 곡선을 가로질러서는 안 된다는 오개념에 빠지는 학생들이 많다. 이 때문에 [[https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E3%2B1%3D1|곡선을 가로지르는 직선]]이나 [[https://www.wolframalpha.com/input/?i=2x%2B1|직선에 접하는 선]]은 접선이 아니라고 생각하곤 한다. 이러한 오개념은 접선의 개념을 수학적으로 엄밀히 익히지 못하고 모호한 은유로 익혔기 때문에 발생한다. == 관련 문서 == * [[극한]] * [[미적분]] [[분류:수학 용어]][[분류:기하학]][[분류:나무위키 수학 프로젝트]]