[include(틀:이산수학·수리논리학)] [목차] == 개요 == {{{+1 [[絶]][[對]][[的]] [[無]][[限]], absolute infinite}}} '''절대적 무한'''이란, [[게오르그 칸토어]]가 정의한 개념으로, 모든 [[초한수]] 가운데서도 가장 큰 무한을 일컫는다.[[https://en.wikipedia.org/wiki/Absolute_Infinite|#]] 참고로 가장 큰 [[서수]]는 그 자체로 모순이므로, 자연스레 이 보다 더 큰 [[기수]]가 되는데, 이 또한 [[ZFC 공리계]]를 비롯한 대부분의 표준 공리적 집합론에서 모순이다. 사실 여기까지 갈 것도 없이, 칸토어의 소박한 [[집합론]]에서도 자기 자신을 원소로 가지는 집합은 존재할 수 없다. 체사레 부랄리포르티(이탈리아어: Cesare Burali-Forti)가 1897년에 발견한 부랄리포르티 역설(Burali-Forti paradox)에 따르면, 모든 순서수의 모임은 집합을 이룰 수 없다. 가장 큰 서수라는 개념이라는 게 그 자체로 모순이기 때문이다. [[존 폰 노이만]]을 따라서, 순서수 [math(\omega)]를 [math(\omega)]보다 작은 순서수들의 집합으로 정의하자. 예를 들어, [math(0=\varnothing, 1=\{0\}, 2=\{0, 1\}, ...)]따위이다. 모든 순서수의 모임 [math(\mathrm{On})]이 집합이라고 하자. 그렇다면 [math(\mathrm{On})]자체도 또한 순서수가 된다. 따라서 그 바로 다음 수 [math(\mathrm{On}+1)]이 존재하고, 이는 [math(\mathrm{On})]보다 크다. 그러나, [math(\mathrm{On})]은 모든 순서수를 포함하므로 [math(\mathrm{On}+1)]도 그 원소가 되며, 다음의 역설이 발생한다. [math(\mathrm{On}<\mathrm{On}+1<\mathrm{On})] 따라서, 모든 순서수의 모임은 집합이 될 수 없다. 이를 발견한 체사레 부랄리포르티(이탈리아어: Cesare Burali-Forti)의 이름을 따 부랄리포르티 역설(Burali-Forti paradox)이라고 한다. 다만, [[콰인]]의 '''새 기초론(New Foundations)'''에 의하면, '''모든 집합들의 집합'''을 허용하면서 [[러셀의 역설]]도 회피할 수 있다.[[https://ko.m.wikipedia.org/wiki/새_기초론|#]] 원초(Urelement)의 존재를 허용하는, 새 기초론의 중요한 변형 중 하나인 NF(U)에서는 페아노 산술과의 상대적 무모순성도 증명된다. 참고로 [[게오르그 칸토어]]가 절대적 무한(Absolute Infinite, 기호: '''[[Ω]]''')과 구분하기 위해 상대적 무한(Relative Infinite, 기호: '''[[ω]]''')에 붙인 이름이 바로 [[초한수]](Transfinite number)다. '''[[Ω]]'''과 '''[[ω]]'''는 각각 그리스 문자 [[오메가]]의 대문자와 소문자이다. == 관련 문서 == * [[게오르그 칸토어]] * [[집합]] * [[집합론]] * [[서수(수학)]] * [[초한기수]] * [[무한]] * [[러셀의 역설]] * [[ZFC 공리계]] * [[Ω]] [[분류:집합론]]