[include(틀:대수학)] [목차] == 개요 == {{{+1 free group · [[自]][[由]][[群]]}}} '''자유군'''은 주어진 문자(alphabet)들의 '''집합'''[* 즉, 이 집합은 [[군(대수학)|군]]일 필요가 없다.]으로부터 정의되는 가장 자연스러운 [[군(대수학)|군]]의 구조이다. 이는 조건을 최소한으로 만족하는 군으로, 이름의 자유(free)는 이런 성질에서 기인한다. == 자유군의 이해와 구성 == 비어 있지 않은 집합 [math(S)]에 대하여, [math(S)]의 원소들을 나열한 '''단어(word)'''라는 개념을 생각할 수 있다. 예를 들어 [math(S = \{ a, b, c \})]라면, [math(abac)], [math(abb)], [math(cabbca)], [math(aaaaaa)] 등이 모두 단어이며 그 개수는 무수히 많다.[* 무한한 길이의 단어는 생각하지 않는다.] 물론 우리는 곱셈군의 구조를 생각할 것이므로, 위 단어들을 각각 [math(abac)], [math(ab^2)], [math(cab^2ca)], [math(a^6)] 등으로 적을 수 있다. 이제 이 단어들의 집합을 군으로 이해하려 한다. 군을 구성하기 위해서는 '연산'이 필요한데, 이 단어들의 모임에서 가장 자연스러운 연산은 '''이어 쓰기(juxtaposition)'''가 될 것이다. 예를 들어 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(abac \cdot cab^2ca = abac^2ab^2ca)]}}} 가 되며, 이어 쓰기가 결합법칙을 만족한다는 사실은 자명하다. 이제 이 단어들의 모임이 온전한 군이 되려면 [[항등원]]과 [[역원]]을 갖추어야 한다. 우선 항등원의 경우, 연산의 정의를 생각해 볼 때 '''비어있는 단어(empty word)'''가 가장 적절해 보인다. 혼동을 방지하기 위해, 비어있는 단어를 [math(1)]로 표시하고[* 이 때문에 [math(1 \notin S)]를 가정하는 편이 좋다.] 이 군의 항등원으로 정의한다. 실제로, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(abac \cdot 1 = abac \cdot \text{\_} = abac = \text{\_} \cdot abac = 1 \cdot abac)]}}} 등이 성립하므로 항등원으로 놓는 것에 문제가 없다. 이제 마지막으로 역원이 필요하다. 그런데 우리의 이어 쓰기 연산은 단어의 길이가 늘어날 뿐, 줄어들지 않는데 이 때문에 문제가 생긴다. 항등원이 비어있는 단어 [math(1)]이므로, 예를 들어 [math(cabbca)]에 어떤 단어를 곱해도 [math(1)]이 되지 않는 것. 이 문제를 해결하기 위해 다음과 같은 집합을 생각한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(S^{-1} := \left\{ x^{-1} \ \rvert \ x \in S \right\})]}}} 단, 우리가 처음 생각한 집합 [math(S)]가 군이 아니었기 때문에 [math(x^{-1})]와 같은 표현은 그 의미가 명확하지는 않다. 이제 이런 표현들을 단순히 '''형식적 기호(formal symbol)'''로 이해하고, 이를 1글자 단어로 포함시킨 후 연산 규칙 [math(x^{-1} \cdot x = 1 = x \cdot x^{-1})]을 부여한다. 그렇다면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\begin{aligned} cabbca \cdot a^{-1}c^{-1}b^{-1}b^{-1}a^{-1}c^{-1} & = cabbc \cdot c^{-1}b^{-1}b^{-1}a^{-1}c^{-1} \\ & = cabb \cdot b^{-1}b^{-1}a^{-1}c^{-1} \\ & = cab \cdot b^{-1}a^{-1}c^{-1} \\ & = ca \cdot a^{-1}c^{-1} \\ & = c \cdot c^{-1} = 1 \end{aligned})]}}} 이므로 [math(a^{-1}c^{-1}b^{-1}b^{-1}a^{-1}c^{-1})]이 [math(cabbca)]의 역원임을 알 수 있다. 또 [math(ab^{-1}a^2c)]같은 단어의 역원이 [math(c^{-1}a^{-2}ba^{-1})]이 되므로 이런 확장은 문제를 일으키지 않는다. 이제 군의 연산, 항등원, 역원 등이 다 깔끔하게 정의되었지만 한 가지 문제가 남았다. 우리가 군의 개념을 완성하기 위해서 역원에 해당하는 형식적인 기호를 도입했고, 여기서 두 기호 사이의 '''관계'''가 정의되었다. 최소한의 조건만을 갖춘 군을 만들려 했지만 그 정의 때문에 조건이 아예 없는 군은 불가능했고, 연산 관계 [math(x^{-1} \cdot x = 1 = x \cdot x^{-1})]를 갖추어야만 한다는 것.[* 물론, 이 연산 규칙은 군이라면 당연히 가지고 있어야 하는 규칙이다.] 그렇기 때문에 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(abc^{-2}aa^{-1}c^2 = ab)]}}} 와 같이, __그 표현이 다름에도__ 정의상 '''같은''' 단어들이 생긴다. 그래서 '''축약된 단어(reduced word)'''라는 개념 도입이 필요하다. 그 표현에서 알 수 있듯이, 축약 규칙 [math(x^{-1} \cdot x = 1 = x \cdot x^{-1})]를 적용하여 단어의 길이를 가장 짧게 만든 것이 축약된 단어이다. 예를 들어, [math(abc^{-2}aa^{-1}c^2)]와 같은 단어의 축약된 단어는 [math(ab)]이다. 이런 축약된 단어는 각 단어마다 ''유일하게'' 결정되고, 축약된 단어들끼리의 연산(즉, 이어 쓰기 후 축약하기) 또한 ''유일하게'' 정해진다. 최종적으로, 우리는 집합 [math(S)]에 정의된 '''자유군(free group)''' [math((\mathcal F_S,\ \cdot \ ))]을 정의했다. 군의 원소들은 형식적 기호 집합 [math(S \cup S^{-1})]의 __축약된 단어__들의 모임이며, 연산은 __이어 쓰기 후 축약하기__가 된다. 이는 군으로서 갖춰야 할 최소 조건(결합법칙, 항등원, 역원)만을 가진 군이다. 이에 빗대어 볼 때 이름의 자유(free)는 '연산으로부터 자유롭다(free form relation)'는 의미라고 볼 수 있다. 자유군 [math((\mathcal F_S,\ \cdot \ ))]을 만드는 데에 쓰인 집합 [math(S)]를 '''생성집합(generating set)''', [math(S)]의 원소들을 '''생성원(generator)'''이라 부른다. 또, [math(\lvert S \rvert = n)]인 경우 [math(\mathcal F_S)] 대신 [math(\mathcal F_n)]의 표현도 사용한다.[* 생성집합의 기수가 같은 자유군이 동형이라는 사실은 명백하다.] 단순히 어떤 군 [math(G)]가 '''군으로서 자유(free as a group)'''이라고 말하는 경우도 있는데, 이는 [math(G)]가 어떤 자유군과 동형이라는 것을 의미한다. '자유군의 부분군은 항상 자유이다[* 놀랍게도 이 명제는 참이다.]' 같은 식으로 쓴다. == 엄밀한 정의 == 위 문단에서는 집합 [math(S)]로부터 자연스럽게 자유군 [math((\mathcal F_S,\ \cdot \ ))]를 얻었다. 하지만 이는 자유군의 이해를 위해 상당히 간략화한 정의로, 실제 자유군의 정의와는 다르다. '축약된 단어', '이어 쓰기 후 축약하기' 등이 직관적으로는 그 의미가 명백하고 유일성도 자명하지만, 엄밀한 수학적 논증을 하기에는 부족한 면이 있다. 이럴 때 [[보편 성질]](Universal property)이 필요하다. ||<tablewidth=100%><(> '''[ 정의 ]''' [math(S)]로부터 생성된 자유군(free group generated by [math(S)]) ---- [math(S)]가 공집합이 아닐 때, 적당한 군 [math(\mathcal F(S))]와 함수 [math(\imath: S \to \mathcal F(S))]의 짝(pair) [math((\mathcal F(S), \imath))]가 다음 [[보편 성질]]을 만족한다고 하자. * 임의의 군 [math(G)]와 함수 [math(f: S \to G)]에 대하여, [math(\tilde f \circ \imath = f)]를 만족하는 준동형사상 [math(\tilde f: \mathcal F(S) \to G)]가 '''유일하게 존재'''한다. 아래 가환 다이어그램(commutative diagram) 참고. [[파일:commutative diagram for free groups(고화질).png|width=200px&align=center]] 이 때, [math(\mathcal F(S))]를[* 정확히 해야 할 필요가 있을 때는 [math((\mathcal F(S), \imath))]를] '''[math(S)]로부터 생성된 자유군(free group generated by [math(S)])'''라고 부른다. || 이 정의에 의해, 자유군은 군들의 [[범주론|범주]](category) [math(\mathcal{Gr})]의 자유 오브젝트(free object)임을 알 수 있다. 자유군의 정의가 바뀌었으니, 자유군의 '''존재성'''과 '''유일성'''이 문제가 된다. * 존재성: [math(\mathcal F(S))]를 2번 문단에서 정의한 [math(\mathcal F_S)]로, [math(\imath: S \to \mathcal F_S)]를 포함함수라고 할 때, 어떤 축약된 단어의 함숫값은 거의 당연하게 정해진다. 예를 들어 [math(S = \{x, y, z\})]이고 [math(x^2y^{-1}z \in \mathcal F_S)]라면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\tilde f(x^2y^{-1}z) = \tilde f(x)^2 \tilde f(y)^{-1} \tilde f(z) = f(x)^2 f(y)^{-1} f(z))]}}} '''이어야만''' 한다. 즉 [math((\mathcal F_S, \imath))]는 자유군.[* '''이인석, ''대수학'', 서울대학교 출판문화원, 2015''' 의 10장 2절에 따르면 이는 '눈을 감으면 정말 당연하며,' 그렇지 않다고 생각한다면 '''[[서지 랭|S. Lang]], ''Algebra'', 3^^rd^^ ed., Addison-Wesley, 1993''' 의 67페이지를 참조할 것을 권했다.] * 유일성: [math((\mathcal F(S), \imath))]와 [math((\mathcal F'(S), \jmath))]가 모두 [math(S)]로부터 생성된 자유군이라면, 아래 가환 다이어그램을 생각한다. [[파일:commutative diagram for free groups3.png|width=320px&align=center]] 여기서 [math(\tilde{\imath}: \mathcal F'(S) \to \mathcal F(S))]와 [math(\tilde{\jmath}: \mathcal F(S) \to \mathcal F'(S))]는 각각 [math((\mathcal F'(S), \jmath))]와 [math((\mathcal F(S), \imath))]의 보편 성질로부터 얻어지는 유일한 준동형사상이다. 그러므로 두 사상의 합성 [math(\tilde{\imath} \circ \tilde{\jmath}: \mathcal F(S) \to \mathcal F(S))]를 생각할 수 있고, 이는 [math(\mathcal F(S))] 위의 자기준동형사상이다. 한편 [math((\mathcal F(S), \imath))]의 보편 성질로부터 [math(\imath: S \to \mathcal F(S))]는 준동형사상 [math(\mathcal F(S) \to \mathcal F(S))]를 유도하는데, 이는 그 유일성으로부터 [math(\text{id}_{\mathcal F(S)})] '''이어야만''' 한다. 위 사실과 결합하면, [math(\tilde{\imath} \circ \tilde{\jmath} \equiv \text{id}_{\mathcal F(S)})]. 비슷하게 [math(\mathcal F(S))]와 [math(\mathcal F'(S))]의 역할을 바꾸어 생각하면 [math(\tilde{\jmath} \circ \tilde{\imath} \equiv \text{id}_{\mathcal F'(S)})]를 얻으며, 이 두 사실로부터 두 자유군 [math(\mathcal F(S))]와 [math(\mathcal F'(S))]는 동형임을 알 수 있다. == 관련 개념들 == === 군의 표현(group presentation) === 모든 군들은 그 군의 성질을 특징지어주는 몇 개의 등식을 가지고 있다. 예를 들어, 소수 [math(p)]에 대하여 원소가 [math(p)]개인 순환군 [math(G)]를 생각할 수 있다. 이 때 임의의 [math(x \in G)]에 대하여 [math(x^p = 1)]을 만족하며, 이런 등식을 '''관계(relation)'''이라고 한다. 군들은 이런 관계 여러개에 의해 특정지어지는데, 이는 아무런 관계가 없는 자유군에 __관계를 정의하여 얻어졌다__는 관점에서 해석할 수 있다. 즉, 위에서 언급한 소수 순환군 [math(G)]와 같은 경우에는 생성집합이 [math(\{ x \})]인 자유군 [math(\mathcal F(\{ x \}))]에 관계 [math(x^p = 1)], 같은 말로 단어 [math(x^p = xxx \cdots x)]와 항등원 [math(1)]이 그냥 '''같은 단어'''라고 정의하여 얻어졌다고 보는 것이다. 이를 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(G \cong F(\{ x \}) / \langle x^p \rangle = \langle x \ | \ x^p \rangle)]}}} 와 같이 표현하기도 한다. 그런데 과연 모든 군에서 이런 관점을 적용할 수 있을까 의문이 들 수 있는데, '''있다!''' ||<tablewidth=100%><(> '''[ 정리 ]''' 모든 군은 어떤 자유군의 준동형상(homomorphic image)이다. ---- {{{#!folding [ 증명 ] 군 [math(G)]에 대하여, [math(G)]와 '''집합'''으로서 똑같은 [math(S)]를 생각하자. 즉, 이 [math(S)]는 [math(G)]의 원소들을 (연산을 잊어버린 채로) 모아놓은 것이다. 함수 [math(f: S \to G)]를 [math(f(x) = x \ \ \forall x \in S)]로 정의하고 자유군 [math((\mathcal F(S), \imath))]의 보편 성질을 이용하면, 준동형사상 [math(\tilde f: \mathcal F(S) \to G)]가 존재하여 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\tilde f \circ \imath = f)]}}} 가 성립한다. 이제 임의의 [math(g \in G)]에 대하여, [math(g = f(g) = (\tilde f \circ \imath)(g))]이므로, [math(G = \tilde f(\mathcal F(S)))]는 자유군 [math(\mathcal (F(S), \imath))]의 준동형상.□}}} || 이 정리와 제1 동형사상 정리로부터, 모든 군을 자유군에 관계를 정의함으로서 얻을 수 있다. 이렇게 자유군에 관계를 주어 군을 표현하는 것을 '''군의 표현(group presentation)'''이라고 한다. 아래는 몇몇 군의 표현 예시이다. 더 많은 예시는 [[https://en.wikipedia.org/wiki/Presentation_of_a_group|Wikipedia]] 참조. * 순환군(cyclic group) [math(\mathbb Z/n\mathbb Z \cong \left\langle x \ | \ x^n \right\rangle)] * [math(\mathbb Z/6\mathbb Z \cong \left\langle x, y \ | \ x^2 = y^3 = 1, yx = xy \right\rangle)][* [math(yx = xy)]는 [math(x^{-1}y^{-1}xy = 1)]와 같은 말. 한편 이 예시는 군의 표현이 유일하지 않음을 말하고 있다.] * 두 순환군의 직합(direct sum) [math(\mathbb Z \oplus \mathbb Z \cong \left\langle x, y \ | \ yx = xy \right\rangle)] [math(\mathbb Z/m\mathbb Z \oplus \mathbb Z/n\mathbb Z \cong \left\langle x, y \ | \ x^m = y^n = 1, yx = xy \right\rangle)] * 정이면체군(dihedral group) [math(D_{2n} \cong \left\langle x, y \ | \ x^n, y^2, (xy)^2 \right\rangle)] * 3번째 대칭군(symmetric group) [math(S_3 \cong D_6 \cong \left\langle x, y \ | \ x^3, y^2, (xy)^2 \right\rangle)] * 사원수군([[윌리엄 로원 해밀턴|해밀턴]] 군, quaternion group) [math(Q_8 \cong \left\langle x, y \ | \ x^4 = 1, x^2 = y^2, yx = x^3y \right\rangle)] === 자유곱(free product) === 군 [math(G_\alpha (\alpha \in I))]들의 '''자유곱(free product)'''은 [math(\bigcup_{\alpha \in I} G_\alpha)]의 원소들로 만들어진 자유군을 의미한다. 그런데 몇 가지 조심해야 할 점이 있다. 우선, 이 군들은 항등원 [math(1_{G_\alpha})]를 가지고 있는데 이들을 전부 같은 문자로 본다. 또, 2번 문단에서 형식적인 기호로 정의했던 [math(x^{-1})]들은 이 [math(x)]가 군의 원소이므로 그 의미가 확실하게 정의됨에 주의해야 한다. 마지막으로, 축약된 단어를 만들 때 축약 규칙 [math(x^{-1} \cdot x = 1 = x \cdot x^{-1})]뿐만 아니라 원래 군의 연산 규칙까지 모두 적용하여 축약을 해야 한다. 이렇게 얻어진 자유곱을 [math({\large *}_{\alpha \in I} G_\alpha)]로 쓰는 것이 일반적이나[* 자유곱은 교환, 결합법칙이 성립하므로 이런 표기가 가능하다.], [[범주론]]적인 의미를 강조하기 위해 [math(\coprod_{\alpha \in I} G_\alpha)]의 표기도 쓰인다. 예를 들어, 두 군 [math(G)]와 [math(H)]의 자유곱은 다음과 같은 원소들로'''만''' 이루어져 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(g_1h_1g_2h_2 \cdots g_nh_n)] [br] [math(g_1h_1g_2h_2 \cdots h_ng_{n+1})] [br] [math(h_1g_1h_2g_2 \cdots h_ng_n)] [br] [math(h_1g_1h_2g_2 \cdots g_nh_{n+1})]}}} 여기서 [math(g_i \in G - \left\{ 1_G \right\})], [math(h_i \in H - \left\{ 1_H \right\})]. 왜냐하면, 같은 군에 속하는 두 문자가 연달아 나타난다면 이는 두 문자의 연산 결과로 대체되기 때문이다. 또한 중간에 [math(1_G, 1_H)]들이 포함되어 있는 것은 아무런 영향을 주지 못한다. 한편 자유군 [math(\mathcal F(S))]는 [math(S)]의 원소 갯수인 [math(\lvert S \rvert)]만큼의 덧셈군 [math(\mathbb{Z})]의 자유곱으로 볼 수도 있다. 즉 [math(\mathcal F(S) \cong {\large *}_{1 \leq i \leq \lvert S \rvert} \mathbb{Z})]. 이 관점은 가환군화(abelianization)를 할 때 유용하다. 자유곱의 계산은 보기보다 훨씬 복잡하다. 예를 들어, 단순해 보이는 [math(\mathbb Z/2\mathbb Z * \mathbb Z/2\mathbb Z)]는 유한군조차 아니며, 각 [math(\mathbb Z/2\mathbb Z)]의 생성원 [math(a, b)]에 대하여 [math(abab\cdots a)]과 같은 원소들도 전부 포함하고 있다. 그렇다고 해서 정수군 [math(\mathbb Z)]와도 동형이 아니며, 실제 계산 결과는 기묘하게도 두 군 [math(\mathbb Z)]와 [math(\mathbb Z/2\mathbb Z)]의 준직합(semidirect product) [math(\mathbb{Z} \rtimes \mathbb Z/2\mathbb Z)]가 된다.[* 또 다른 해석으로는 바로 윗 단락에서 소개한 정이면체군 [math(D_{\infty})]이 된다고 한다. [math(a, b)]는 각각 0에 대한 반사, 1/2에 대한 반사에 대응된다.] 원소의 개수가 고작 4개밖에 되지 않는 [math(\mathbb Z/2\mathbb Z \times \mathbb Z/2\mathbb Z)]와도 비교해 보면 그 난해함이 더욱 잘 느껴진다. 유한군의 자유곱도 이정도로 난해한데, 자유군 [math(\mathcal F_2 = \mathbb Z * \mathbb Z)]와 같은 군들은 후술할 [[위상수학]]에서의 응용을 생각하지 않으면 성질을 파악하기조차 힘들다. 자유곱 또한 보편 성질로서 정의가 가능하며, 그 방법은 아래와 같다. ||<tablewidth=100%><(> '''[ 정의 ]''' 군 [math(G_\alpha (\alpha \in I))]들의 자유곱(free product) ---- 군 [math(H)]와 [math(\alpha \in I)]들이 주어져 있다고 하자. 준동형사상 [math(f_\alpha: G_\alpha \to H)]들이 주어져 있을 때, 군 [math({\large *}_{\alpha \in I} G_\alpha)], 포함함수 [math(\imath_\alpha: G_\alpha \to {\large *}_{\alpha \in I} G_\alpha)]가 다음 성질을 만족하면, [math({\large *}_{\alpha \in I} G_\alpha)] 혹은 [math(({\large *}_{\alpha \in I} G_\alpha, \imath_\alpha))]를 군 [math(G_\alpha (\alpha \in I))]들의 '''자유곱(free product)''' 이라고 한다. * [math(\tilde f \circ \imath_\alpha = f_\alpha \ \ \forall \alpha \in I)]인 준동형사상 [math(\tilde f: {\large *}_{\alpha \in I} G_\alpha \to H)]가 '''유일하게 존재'''. 아래 가환 다이어그램 참고.[* 군 2개의 자유곱만을 나타냈지만, 임의의 갯수로도 확장 가능하다.] [[파일:commutative diagram for free product2.png|width=240px&align=center]] || 이렇게 새로 정의된 자유곱의 존재성과 유일성 증명은 자유군의 그것과 완전히 똑같이 가능하다. 또한, 범주론적 관점에서 자유곱은 쌍대곱(coproduct)에 대응한다. === 자유 가환군(free abelian group) === '''자유 가환군(free abelian group)'''은 자유군에 [[교환법칙]]만을 조건으로 준 것이다. [math(S = \left\{ x, y, z \right\})]일 때, 위에서 설명한 군의 표현을 떠올려보면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\mathcal F(S) / \langle xy = yx, yz = zy, zx = xz \rangle \\ = \langle x, y, z \ | \ xy = yx, yz = zy, zx = xz \rangle)]}}} 가 될 것이다. 이 군은 자유군에 비해 파악하기가 훨씬 간편한데, 예를 들어 [math(x^2zyx^{-1} = x^2zx^{-1}y = x^2x^{-1}zy = xzy = xyz)]와 같은 관계가 성립하므로 모든 원소를 [math(x^ay^bz^c (a, b, c \in \mathbb Z))]로 표시할 수 있기 때문이다. 가환군의 범주 [math(\mathcal{Ab})]와 [math(\mathbb{Z})]-[[가군]]의 범주 [math(\mathcal{Mod}_{\mathbb Z})]는 동형이므로, [math(S)]에 정의된 자유 가환군 원소들은 (더하기 표현을 남용하여) {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(x^ay^bz^c \approx ax + by + cz \ \ \ \forall a, b, c \in \mathbb Z)]}}} 와 같이 쓸 수 있다. 일반적으로, 집합 [math(S)]위에 주어진 자유 가환군 [math(\mathcal F_{\mathrm{ab}}(S))] 역시 보편 성질로서 정의되며 그 방법은 다음과 같다. ||<tablewidth=100%><(> '''[ 정의 ]''' [math(S)]로부터 생성된 자유 __가환__군(free __abelian__ group generated by [math(S)]) ---- [math(S)]가 공집합이 아닐 때, 적당한 __가환__군 [math(\mathcal F(S))]와 함수 [math(\imath: S \to \mathcal F(S))]의 짝 [math((\mathcal F(S), \imath))]가 다음 [[보편 성질]]을 만족한다고 하자. * 임의의 __가환__군 [math(G)]와 함수 [math(f: S \to G)]에 대하여, [math(\tilde f \circ \imath = f)]를 만족하는 준동형사상 [math(\tilde f: \mathcal F(S) \to G)]가 '''유일하게 존재'''한다. 아래 가환 다이어그램 참고. [[파일:commutative diagram for free groups(고화질).png|width=200px&align=center]] 이 때, [math(\mathcal F(S))]를[* 정확히 해야 할 필요가 있을 때는 [math((\mathcal F(S), \imath))]를] '''[math(S)]로부터 생성된 자유 __가환__군(free __abelian__ group generated by [math(S)])'''라고 부른다. || 보편 성질로 정의된 자유군의 정의와 거의 같으며, __밑줄__을 친 부분만 달라진 것이다. 역시 존재성과 유일성이 문제시 되지만, 위 구성을 참고하면 금방 보일 수 있다. 또한 [math(\mathbb{Z})]-[[가군]]의 범주 [math(\mathcal{Mod}_{\mathbb Z})]에서 생각하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\mathcal F_{\mathrm{ab}}(S) \cong \left\{ \displaystyle\sum_{g \in G} n_gg \ \biggl| \biggr. \ n_g \in \mathbb{Z}, n_g = 0 \ \mathsf{almost} \ \mathsf{every} \ g \in G \right\})]}}} 라 볼 수도 있다.[* [math(\mathsf{almost} \ \mathsf{every} \Leftrightarrow \mathsf{all} \ \mathsf{but} \ \mathsf{finitely} \ \mathsf{many})].] 다만 자유 가환군을 이런 식으로 다룰 때는 우변의 [math(\displaystyle\sum_{g \in G} n_gg)]가 실제 합이 '''아닌''', 형식적인 유한 합으로 보아야 함에 주의해야 한다. 이 때 두 원소의 연산은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle\sum_{g \in G} m_gg + \sum_{g \in G} n_gg = \sum_{g \in G} (m_g + n_g)g)]}}} 로 주어진다. 물론 거의 모든 [math(m_g)]와 [math(n_g)]가 0이므로, [math(m_g + n_g)]도 거의 모두 0이고 이 연산이 잘 정의됨은 명백하다. [math(S)]가 유한집합이라면, 거의 모두 0인지 여부를 신경 쓸 필요가 없으므로 [math(\mathcal F_{\mathrm{ab}}(S) \cong \mathbb Z^{\lvert S \rvert})]라 봐도 무방하다.[* 다만 무한집합의 경우에는 [math(\mathcal F_{\mathrm{ab}}(S) \not \cong \mathbb Z^{\lvert S \rvert})].] 한편, 가환 다이어그램을 적절히 활용하면 다음 사실을 증명할 수 있다. 이는 관계의 관점에서 보았을 때, 자유 가환군은 자유군에 [[교환법칙]]만을 추가하여 얻어진다는것을 의미한다. ||<tablewidth=100%><(> '''[ 명제 ]''' 어떤 집합 [math(S)]가 생성하는 자유 가환군 [math(\mathcal F_{\mathrm{ab}}(S))]은 [math(S)]가 생성하는 자유군 [math(\mathcal F(S))]의 가환군화(abelianization)와 같다. 즉, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\mathcal F_{\mathrm{ab}}(S) = \mathcal F(S) / [\mathcal F(S), \mathcal F(S) ])]}}} 이다. ---- {{{#!folding [ 증명 ] [math(\mathcal F(S))]에는 아무런 조건도 없고, [math(\mathcal F_{\mathrm{ab}}(S))]는 거기에 단순히 교환 법칙만이 성립하는 군이므로 사실 본 명제는 당연해 보인다. 이를 다음과 같이 엄밀하게 증명할 수 있다. 표기법을 간단히 하기 위해 [math(\mathcal F = \mathcal F(S))], [math(\mathcal F_{\mathrm{ab}} = \mathcal F_{\mathrm{ab}}(S))], [math(\overline \mathcal F = \mathcal F(S) / [\mathcal F(S), \mathcal F(S) ])]라 하자. 또한 [math(\imath: S \to \mathcal F)], [math(\jmath: S \to \mathcal F_{\mathrm{ab}})]를 포함함수, [math(\pi: \mathcal F \to \overline \mathcal F)]를 자연스러운 사영사상이라고 하자. 그러면 다음과 같은 가환 다이어그램들을 그릴 수 있다. [[파일:commutative diagram for free ab group2.png|width=360px&align=center]] 위 다이어그램에서 [math(\widetilde{\pi \circ \imath})]와 [math(\tilde{\jmath})]는 자유 가환군 [math(\mathcal F_{\mathrm{ab}})]와 자유군 [math(\mathcal F)]의 보편 성질로부터 얻어진다. 또 [math([\mathcal F, \mathcal F] \leq \mathrm{ker} \tilde{\jmath})] 이므로 [math(\bar{\tilde{\jmath}})]의 유일성 및 존재성이 얻어진다.[* 이는 핵(kernel)의 보편 성질이기도 하다.] 이렇게 얻어진 두 준동형사상 [math(\widetilde{\pi \circ \imath})]와 [math(\bar{\tilde{\jmath}})]를 생각하고, 아래 두 다이어그램을 보자. 그러면 역시 보편 성질에 의해 [math(\widetilde{\pi \circ \imath} \circ \bar{\tilde{\jmath}} \equiv \mathrm{id}_{\overline \mathcal F})]이고, [math(\bar{\tilde{\jmath}} \circ \widetilde{\pi \circ \imath} \equiv \mathrm{id}_{\mathcal F_{\mathrm{ab} }})] 이어야만 한다. 이 사실은 두 준동형사상이 동형사상임을 의미하며, [math(\mathcal F_{\mathrm{ab}} \cong \overline \mathcal F)].□}}} || == 자유군의 쓰임새 == 자유군은 --보편 성질이 붙은 게 다 그렇듯이-- 의미는 중요하지만, 정작 [[대수학]]을 배우며 이 자유곱을 다룰 일은 드물다. 애초에 [[군론]]을 깊게 파지 않으면 자연스럽게 등장하지 않기 때문이고, 설사 다룬다고 하더라도 자유군과 자유곱의 괴악한 성질[* 위의 [math(\mathbb Z/2\mathbb Z * \mathbb Z/2\mathbb Z)]만 보아도..] 때문에 다가가기가 쉽지 않다. 한편 자유군에서는 일반적인 직관으로는 믿기 힘든 결과가 나오기도 하는데, 2개의 문자로 된 자유군 [math(\mathcal F_2)]에 5개 문자로 된 자유군 [math(\mathcal F_5)]와 동형인 부분군이 존재한다! === [[위상수학]] === 대수학에서의 취급과는 다르게, 자유곱은 정말 뜬금없이 [[위상수학]]에서 등장한다. 그것도 상당히 중요한 개념인 공간의 [[기본군]](fundamental group)을 계산할 때 필요한 내용. [[자이페르트-반 캠펀 정리]](Seifert-van Kampen theorem)에 따르면, 기본군이 [math(G, H)]인 두 공간을 한 점에서 이어붙인 공간의 기본군은 자유곱 [math(G * H)]이다. 또한 덮개 공간(covering space)을 생각하면, 고리가 2개 연결된 8자 모양을 고리가 5개인 모양으로 잘 덮어서 [math(\mathcal F_2)] 안에 [math(\mathcal F_5)]를 집어넣을 수도 있고, 더욱 나아가 위에서 언급한 Nielsen–Schreier 정리(자유군의 부분군은 항상 자유이다)를 증명할 수도 있다. [[분류:대수학]][[분류:나무위키 수학 프로젝트]]