[include(틀:수학상수의 목록)] [목차] ||<tablebordercolor=#c0c0c0><colbgcolor=#c0c0c0,#3f3f3f> [[한국어]] ||자연로그[br]{{{-3 (自然로그)}}} || || [[영어]] ||natural logarithm || || [[중국어]] ||自然对数{{{-3 (자연대수)}}} || || [[일본어]] ||自然対数{{{-3 (자연대수)}}} || == 개요 == ##토론 합의안(https://namu.wiki/thread/AHardAndTightfistedRain)에 의거, 개요 문단에 '기호 e'에 '자연로그의 밑', '네이피어의 수', '자연상수' 등과 같은 주석이나 각주를 넣지 마십시오. '''자연로그'''는 후술할 기호 [math(e)]로 표기되는 특정 수를 밑으로 하는 [[로그]]다. 이 로그는 따로 [math(\ln)]으로 쓰기도 한다.[* 고등학교 과정에서는 [math(\ln)]으로만 쓰지만, 대학 미적분학 분야에선 [[상용로그]]([math(\log_{10} = \log)])를 접할 일이 거의 없기에 [math(\log)]를 상용로그가 아닌 자연로그의 의미로 쓰는 경우가 많다. 이렇게 사용하는 경우에는 상용로그가 나올 것 같으면 [math(\log_{10}a)]처럼 밑을 [math(10)]으로 명시하거나 [math(\dfrac{\log a}{\log 10})]와 같이 표기해 상용로그를 아예 없는 것처럼 취급한다.] 여기서 자연(natural)이란 수식어는 자연로그의 도함수를 도출하는 과정에서 밑이 동시에 자연스럽게 정의된다는 점이나, 자연로그의 밑을 지수의 밑으로 하는 지수함수의 미분 등에서 아주 깔끔한 결과가 얻어지는 데서 유래했다. [include(틀:다른 뜻1, other1='로그', rd1=로가리듬, paragraph1=2)] == 자연로그의 [[밑#s-2]] == 개요에서 언급한 자연로그의 밑은 [[극한#s-1|극한값]] [math(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( 1+ \frac 1n \right)^n)], 또는 [math(x)]에 관한 방정식 [math(\displaystyle \int_1^x \frac 1t \, \mathrm{d}t = 1)]의 해로 정의된다. 이 값은 [[무리수]]이면서 [[초월수]]로, 소수 열째 자리까지 나타내면 [math(2.7182818284\cdots\cdots)]이다.[* 더 자세한 숫자열은 [[자연로그의 밑/값]] 참조.] 언급할 때마다 숫자열을 일일이 나열하는 것이 번거롭기에 [[원주율]]([math(\pi)])처럼 상수 [math(e)]로 표기되는데 오일러가 이렇게 썼다.[* 오일러(Euler)의 첫 글자를 땄다는 설이 있는데 이는 사실무근이다. 오히려 지수함수(Exponential Function)의 앞글자에서 따온 거란 이야기가 지배적이다. 자연로그 ln의 밑 e는 지수함수에서도 밑이니까. 또한 오일러 이전에 극한식으로 정의되는 값을 찾기 위한 연구 기록을 베르누이가 남긴 바 있고, 나중에 [[라이프니츠]]와 하위헌스가 이 값을 [math(b)]라고 쓴 전례(정황상 베르누이의 이름에서 따온 듯하다)가 있다.] 참고로 표기는 [[이탤릭]]체인 [math(e)]로 쓰는 것을 원칙으로 한다.[* [[나무위키]]에선 {{{''e''}}} 또는 {{{[math(e)]}}}로 쓰면 된다. 각각 ''e'', [math(e)]로 표시된다.] === 정의 === ==== [[극한]] ==== [math(e)]가 사용되기 시작한 것은 하단의 정적분 연구가 시초라고 알려져 있지만, 교육 현장에선 이처럼 [[함수의 극한]]으로 정의하는 [math(e)]가 가장 일반적인 방법이다.[* 참고로 한국의 정규 [[고등학교]] [[교육과정]]에선 이 문서에서처럼 함수 [math(f(x)=(1+x)^{\frac1x})]의 그래프와 함수 [math(f(x)=\left(1+\dfrac1x\right)^x)]의 개형 및 [[점근선]], 함수의 연속 및 불연속을 동원해가며 상세하게 서술되어 있지 않으며, 수식적인 정의만으로 서술되어 있다. 그도 그럴 것이 지수함수와 유리함수를 뒤죽박죽 섞어놓은 합성함수의 그래프를 그리려면 미분을 다 떼서 도함수의 의미(함수의 증감, 극값 등), 이계도함수의 의미(그래프의 오목 및 볼록, 변곡점 등)가 뭔지를 알아야하는데, [math(e)]의 개념은 미분을 들어가기도 전에 극한을 배울 때 등장하기 때문이다.] 전문적인 용어로는 [[야코프 베르누이]]의 계산법이라고 한다. ||<tablewidth=400px><tablebordercolor=#dbe4e8><tablealign=center><tablebgcolor=#fff,#191919>[[파일:f(x)=(1+x)^(1/x).png|width=100%]]|| ||<bgcolor=#dbe4e8,#172024> 함수 [math(f(x)=(1+x)^{\frac1x})]의 그래프에서의 불연속점 [math((0,\,e))] || 함수 [math(f(x)=(1+x)^{\frac1x})][* 해당 함수에 대한 별다른 명칭이 없다. 다항식을 밑으로 하는 지수함수인데 지수가 분수식으로 표현되어 있으므로 그냥 복잡한 '합성함수'로 보는 것이 맞다.]의 그래프를 나타내보면, [math(x=0)]에서 불연속이므로, 함숫값을 갖지 않지만 [[극한]]값은 갖는다. 함수 [math(f(x))]의 [math(x=0)]에서의 극한값은 [math(e)]로 수렴한다. ---- ||<tablewidth=400px><tablebordercolor=#dbe4e8><tablealign=center><tablebgcolor=#fff,#191919>[[파일:f(x)=(1+(1/x))^x.png|width=100%]]|| ||<bgcolor=#dbe4e8,#172024> 함수 [math(f(x)=\left(1+\dfrac1x\right)^x)]의 그래프에서의 [[점근선]] [math(y=e)] || 함수 [math(f(x)=\left(1+\dfrac1x\right)^x)][* 해당 함수에 대한 별다른 명칭이 없다. 유리식을 밑으로 하는 지수함수이므로 '합성함수'로 보는 것이 맞다.]의 그래프엔 [[점근선]]이 존재하며, 이 점근선은 해당 함수를 무한대로 보낼 때 수렴하는 특정 값이며, 이는 위에서 정의된 [math(e)]와 [[동치]]이다. ---- '''정리.''' [math(\displaystyle e=\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac1x\right)^x=\lim_{x\to0}(1+x)^{\frac1x})] '''따름정리1.''' 함수 [math(f(x)=\left(1+\dfrac1x\right)^x)]의 경우엔 '음의 무한대'의 극한을 취해도 성립한다. [math(\displaystyle e=\lim_{x\to-\infty}\left(1+\frac1x\right)^x)]. '''따름정리2.''' [[수열의 극한]]에서도 통한다. 두 무한수열 [math(\left\{\left(1+\dfrac1n\right)^n\right\})] 또는 [math(\left\{(1+n)^{\frac1n}\right\})]에 대해 [math(\displaystyle e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n=\lim_{n\to0}(1+n)^{\frac1n})]이 성립한다. ==== [[정적분]] ==== 최초의 [math(e)]는 함수 [math(y=\dfrac1x)] 그래프 밑의 넓이([[정적분]]) 연구에서 처음으로 등장한다. 이 정적분은 로그함수의 성질을 만족하므로 로그함수이며, 이 정적분의 값을 [math(1)]로 만드는 적분 상한이 로그함수의 밑이 된다. 그 밑이 [math(e)]인 것이다. ||<tablewidth=400px><tablebordercolor=#dbe4e8><tablealign=center><tablebgcolor=#fff,#191919>[[파일:f(x)=1/x(1부터 e까지의 정적분).png|width=100%]]|| ||<bgcolor=#dbe4e8,#172024> 정적분 [math(\displaystyle \int_1^x\frac1t\,\mathrm{d}t=1)]의 그래프[br]{{{-1 (해를 구하면 [math(x=e\approx2.71828182845\cdots)]이다.)}}} || 윗문단처럼 교육 현장에서 정적분으로 정의하지 않는 이유는 미적분을 몰라도 정의할 수 있는 지수함수부터 먼저 가르치고 로그함수를 지수함수의 역함수로 가르치기 때문이다. 본래 일반적인 지수함수는 자연로그함수의 역함수, 그러니까 자연지수함수의 특수한 경우이다. 자연로그와 자연지수함수 간의 역함수 관계에 의해 [math(x = e^{\log_ex})] 가 성립하므로, [math(x)]에 [math(a^t)]를 치환해 넣으면, [math(a^t = e^{t\log_ea})], 즉 [math(a^t)]를 [math(e^{?})] 꼴로 나타낼 수 있음을 알 수 있다. ===== 둘러싸인 넓이 ===== 상수 [math(e)]를 [[정적분]], [[로그함수]], [[극한]]의 개념 없이 직관적으로 정의할 수도 있다. 좌표평면상에 표현되는 그래프의 영역이 모두 [math(x \ge 0,~y\ge0)] 내에 존재하므로 음의 값을 갖는 [[정적분]]이 없다. 따라서 넓이로 지칭할 수 있다. ||<tablebgcolor=#dbe4e8,#000><tablebordercolor=#dbe4e8,#000><tablealign=center>[br] 좌표평면상의 네 개의 그래프 [math( y=\dfrac{1}{x},~)] [math(x)] 축[math(, ~x=1,~x=t>1 )]로 둘러싸인 넓이를 [math(1)]이라고 할 때, [math(t=e)]이다. 이때 [math(e)]의 [[소수(실수)|소수]] 부분은 순환하지 않는 [[무한소수]]이며 대략 [math(2.71828~18284~\cdots)]로 알려져 있다.[br][br]|| 이는 [[2015 개정 교육과정]]상 [[중학교]] 2학년 수준에서도 이해할 수 있는 정의이다. '''<확인하기>''' 네 그래프의 교점 [math(\displaystyle (1,~1),~(1,~0),~(t,~0),~\left(t,~\dfrac{1}{t}\right))]을 꼭짓점으로 하는 [[사다리꼴]]의 넓이 [math(\dfrac{1}{2} \times (t-1)\times \left(1+\dfrac{1}{t}\right))]는 위 정의상의 넓이를 포함할 수 있다. 다시 말해 [math(1)]보다 사다리꼴의 넓이가 약간 커야 하며, 실제로 [math(e=2.71828~18284~\cdots)]를 대입하여 확인해보면 [math(0.17520~11936~ \cdots)]만큼 더 크다는 것을 확인해볼 수 있다. 아래는 중학교 3학년 범위 내에서 [math(e)]가 어느 특정 값임을 가르쳐주지 않았을 때 대략적인 범위를 대수적으로 알아내는 방법이다. '''<따름 정리>''' 네 그래프의 교점 [math(\displaystyle (1,~1),~(1,~0),~(t,~0),~\left(t,~\dfrac{1}{t}\right))]을 꼭짓점으로 하는 [[사다리꼴]]의 넓이 [math(\dfrac{1}{2} \times (t-1)\times \left(1+\dfrac{1}{t}\right))]는 (위 정의상) [math(1)]보다 커야 하며, 이를 만족하는 [math(t)] 값의 범위를 이차부등식으로 풀이하면 [math(t>1+\sqrt 2)]이다. 따라서 [math(1+ \sqrt 2<e)]인즉 [math(2.414 \cdots <e)]임을 대수적으로 알 수 있다. === 특칭 현상 === [clearfix] ||<tablebordercolor=#c0c0c0><tablealign=right><colbgcolor=#c0c0c0,#3f3f3f> [[한국어]][br]{{{-3 대한수학회}}} ||자연로그의 밑[br]{{{-3 (自然로그의 밑)}}} || || [[한국어]][br]{{{-3 고교 교육과정}}} ||무리수 [math(e)] {{{-2 (대부분의 출판사)}}}[br]자연로그의 밑[* 성지출판사 계승혁(서울대학교 수학과 교수) 외 저 [[수학Ⅱ(2007)|수학Ⅱ(2007 개정 교육과정)]] 중 '함수의 극한과 연속' 단원 중[br][[파일:성지출판_계승혁_수학Ⅱ(2007).jpg]]][br]수 [math(e)] {{{-2 (일부)}}}[br]극한값 [math(e)] {{{-2 (일부)}}} || || [[영어]] ||base of the natural logarithm[br](natural) base e || || [[중국어]] ||自然对数的底 || || [[일본어]] ||自然対数の底 || 공인된 명칭인 ‘자연로그의 밑’ 대신에, 항간에서 불리는 ‘자연상수’, ‘네이피어 상수’, ‘오일러의 수’ 등은 모두 비공식 명칭이다. ‘자연로그의 밑’ 자체가 이미 특칭된 명칭이긴 하지만, 소유격조사 [[-의]]로 풀어쓴 듯한 느낌도 있고, 자연로그를 미리 알아야 그 정의를 알아야 하는 ‘용어의 선후 관계적 특성’ 때문으로 보인다. '''첫째,''' 특히 유독 [[대한민국]]에서만 퍼진 '자연상수'란 용어가 공식 용어인 줄 아는 사람이 많지만 자연상수는 표준 용어가 아니다. 공식 수학 용어를 채택하는 [[대한수학회]]에서도 [math(e)]는 '''[[http://www.kms.or.kr/mathdict/list.html?key=kname&keyword=%EC%9E%90%EC%97%B0%EB%A1%9C%EA%B7%B8%EC%9D%98+%EB%B0%91|자연로그의 밑]]'''으로 등재했으며, [[표준국어대사전]]이나 기타 백과사전에서 '자연상수'라는 말은 찾아볼 수가 없다. 보통 마땅한 용어가 없으면 해외에서 수입하는 경우가 있으나, 자연상수는 이런 연유조차 발견할 수 없다. 일단 영어권에서 natural constant란 용어는 존재하지 않으며 오히려 natural constant라고 하면 [[물리 상수]]로 알아듣는다. 또 한국 수학 교육과정의 용어에 큰 영향을 끼친 [[일본]]에서조차 自然定数라고 하지 않는다. 자연상수는 언제 누가 어디서 처음으로 썼는진 알려지지 않았으나 구글 검색으로 나오는 가장 오래된 기록은 1999년 10월 8일경 작성된 [[http://www.emh.co.kr/content.pl?time_value_of_money|한 경제학 칼럼 개인 사이트]]로 보인다. 이후 [[http://rigvedawiki.net/w/%EC%9E%90%EC%97%B0%EC%83%81%EC%88%98?action=info|리그베다 위키의 기여 역사]]를 보면 [[https://www.google.com/search?q=%22%EC%9E%90%EC%97%B0%EC%83%81%EC%88%98%22&oq=%22%EC%9E%90%EC%97%B0%EC%83%81%EC%88%98%22&aqs=chrome..69i57j35i39j0j69i60j69i61j69i60.2528j0j4&sourceid=chrome&ie=UTF-8|구글 완전 일치검색어 통계 '자연상수']] 빈도 수가 높아지는 시기와 리그베다 위키에 자연상수 문서가 작성된 시기가 대략적으로 일치하는데, 위키의 전파성과 어느 정도 상관관계가 있는 것으로 보인다. 또한 [[서울대학교]]의 기초교육 강의 교수로 지내는 정 모 교수가[* [[https://terms.naver.com/entry.nhn?docId=3568951&cid=58944&categoryId=58970|네이버캐스트 수학 산책]]에 '자연 상수 [math(e)]'를 작성한 사람이다. 참고로 네이버 관련 자료에 모두 이의 신청을 받아들여 '자연로그의 밑', '네이피어의 수', '극한값 [math(e)]'로 모두 수정된 상태인데 이 분만 고집을 부리고 있다고 한다.]가 '자연상수'란 용어를 [[독자연구]]로 밀고 있다고 알려져 있다. 반대로, 같은 서울대학교 교수인 계 모 교수는 이 용어 사용에 대해 회의적이라고 알려져 있다. 논란에 불을 지핀 격인 [[서울대학교]] 측에서도 이 일을 아는 모양이었는지, 이후 미적분학 1^^+^^ · 2^^+^^ (김홍종 저) 머리말에 '자연상수'는 공식 용어가 아니라듯 '''이 책에 한해서 그렇게 부르겠다는 문구'''가 추가적으로 차쇄본에 들어갔다.[* [[파일:20200802_101502122.jpg]] ] 이전까지는 아무렇지 않게 서술되었으나, 최근 수정판 머리말에 [[피드백]]을 넣어두어 공식 용어가 아님을 확인하였다.[* 참고로 해당 서적엔 자연로그의 밑 외에도 '''이 책에서만 이렇게 부르기로 약속'''된 독자적인 기호나 용어가 여럿 있다.] 이렇듯이 '자연상수' 사용을 따로 금지해야 한다는 법은 없으나, 객관적인 정보를 전달해야 하는 논문 저자, 교육자, 전공자 등 수학계에 있는 사람들은 이러한 불확실한 용어 사용을 가급적 피해야 할 것이다. 사용해봤자 좋을 것도 없는 게 인터넷에 떠돌아다니는 출처 불확실 정보를 알려줬다는 것임을 드러내는 격이다. '''둘째,''' '네이피어 상수(Napier's Constant, ネイピア数, 纳皮尔常数, constante de Napier 등)'로 부르자는 움직임이 있지만, 이 마저도 하자가 있다. 네이피어는 자연로그의 값을 처음으로 기록한 사람이지 [math(e)]를 연구한 사람이 아니며, 이 값을 계산하는 방법은 오히려 [[야코프 베르누이]]가 창안해냈다. 굳이 이 사안에 인명을 기려내려면 네이피어가 아니라 야코프 베르누이의 이름을 담아내야 할 것이다. 하지만 [[베르누이 수열|베르누이의 수([math(B_n)])]]가 이미 존재하는 문제가 있어서 신중을 가해야 한다.[* 정확히 말하면, 수가 아니라 수열이지만 이미 이쪽도 [[입말]]이 되어버리는 바람에, 혼동할 가능성이 있다. 비슷한 케이스로 [[피타고라스 세 쌍|피타고라스 수]]가 있는데 이쪽도 엄밀히 말하면 수가 아니고, [[집합족]]이라고 하는 수하고는 다른 대상이다.] '''셋째,''' '오일러의 수(Euler's Number; オイラー数, 欧拉数, número de Euler 등)'라는 특칭도 있는데, 이는 국내보다 해외에서 주장하고 있다. 하지만 오일러의 이름이 붙은 수가 너무 많아서 이 수 하나만을 오일러의 수라고 특칭하기 어렵다는 문제가 있다. 보통 다른 나라에서 자연로그의 밑을 따로 지칭하려는 움직임은 극소수이며, [[대한민국]]에서만 왜 이런 현상이 발생하는지에 대한 여러 추측이 있다. 가장 유력한 가설은 '''[[교육과정]] 서술상의 순서'''의 문제점이라는 게 중론이다. [[외국]] 교육과정에선 [[대한민국]] 교육과정과 반대로 자연로그를 먼저 서술한 뒤 그 다음 밑을 알려주는 순서를 따르는데[* 일각에선 자연로그의 정의 자체보단 값([math(2.71828\cdots\cdots)])만 외우게 되는 [[주입식 교육]]을 우려해 이 방식이 채택됐다고 해석한다. ] 대한민국에서는 [math(e)]를 먼저 서술하는 성격 탓에 이런 현상이 발생했다는 것. 그래서 대부분의 국내 교과서에선 '무리수 [math(e)]'라고 부르고 있다. 하지만 이 경우는 국내 교육과정 하에 승인된 용어일 뿐, 국제에서 범용화된 용어는 아니다. 해외에선 Irrational number [math(e)]라고 하는 경우가 드물다. 정작 교육과정에서 [math(e)]가 무리수임을 증명하는 과정은 서술하고 있지 않다. 차라리 교과서 정의에서 채택하고 있는 [[극한]]의 방식을 따라 '극한값 [math(e)]'로 쓰는 게 더 적절할 수도 있다. 2015 개정 교육과정 일부 교과서에선 이 점에 근거해 '극한값 [math(e)]' 혹은 '수 [math(e)]'로 바뀌었다. == 활용 == === 역함수 === 자연로그를 취하는 함수의 역함수는 [[로그함수]]와 [[지수함수]]의 관계에 의해 [math(e^x)]이다. 전산수학에선 [math(\exp(x))]로 표기하기도 한다. === 자연로그의 극한 === 모든 수를 대표하는 수([math(e)])와 연관되는만큼 특이한 극한값을 볼 수 있다. ==== [[소수 정리]] ==== {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\dfrac{\pi(x)}{\left(\dfrac x{\ln x}\right)}=1 )] }}} [[카를 프리드리히 가우스|가우스]]와 [[아드리앵 마리 르장드르|르장드르]]의 추측을 시작으로 [[리만 가설]]에 이르기까지 [[소수(수론)|소수]]의 구조를 밝혀낼 열쇠가 되는 정리이다. 자세한 내용은 [[소수 정리|문서]] 참조. ==== [[오일러-마스케로니 상수]] ==== {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=1}^n\frac1k-\ln n\right)=\gamma )] }}} [[비례·반비례|반비례 관계]] 그래프와 자연로그와의 차를 나타내는 수. 자세한 내용은 [[오일러-마스케로니 상수|문서]] 참조. ==== 특수한 함수의 극한 ==== 보통 '로그함수의 극한'이라고 하면 이 내용을 떠올리기 쉬우나[* 좀 더 수학적인 가치가 있는 위 둘은 고등학교 교과서에서 아예 언급조차 없다(...).] 사실은 '''특정 지수함수에 로그를 취한 [[합성함수]]의 극한'''을 배우는 것이다. 겉은 로그지만 속은 지수식이고, 그마저도 일반적인 지수식도 아니므로[* 유리식에 지수가 합성된 형태 혹은 다항식에 유리식의 지수가 합성된 형태의 합성함수이다.] '''합성함수'''로 보는 게 타당하다. 앞서 [math(e)]를 정의할 때 다뤘던 '''합성함수''' [math(f(x)=\left(1+\dfrac1x\right)^x)]에 자연로그를 취하면 [[로가리듬|로그]]의 성질에 의해 지수는 로그 앞으로 꺼내진다. ||<tablebordercolor=#fff,#191919><tablealign=center><tablebgcolor=#fff,#191919> [math(\ln f(x)=\ln\left(1+\dfrac1x\right)^x=x\ln\left(1+\dfrac1x\right))] || 여기서 [math(\ln f(x))]를 [math(g(x))]라고 하면, 다음과 같은 개형이 나타난다. ||<tablewidth=400px><tablebordercolor=#dbe4e8><tablealign=center><tablebgcolor=#fff,#191919>[[파일:y=(1+frac{1}{x})^(x).png|width=100%]]|| ||<bgcolor=#dbe4e8,#172024> 함수 [math(g(x)=x\ln\left(1+\dfrac1x\right))]의 그래프와 [[점근선]] [math(y=1)] || 이 그래프의 [[점근선]]을 구하려면 함수에 무한대를 넣어야 하며 그 값은 [math(y=1)]이다. ||<tablebordercolor=#fff,#191919><tablealign=center><tablebgcolor=#fff,#191919> [math(\displaystyle \lim_{x\to\infty}g(x)=\lim_{x\to\infty}x\ln\left(1+\frac1x\right)=1)] || 음의 무한대를 넣어도 동일한 결과가 나온다. ||<tablebordercolor=#fff,#191919><tablealign=center><tablebgcolor=#fff,#191919> [math(\displaystyle \lim_{x\to-\infty}g(x)=\lim_{x\to-\infty}x\ln\left(1+\frac1x\right)=1)] || ---- [math(e)]를 정의할 때 다룬 위와는 또 다른 '''합성함수''' [math(f(x)=(1+x)^{\frac1x})]에 자연로그를 취하면 [[로가리듬|로그]]의 성질에 의해 지수는 로그 앞으로 꺼내진다. ||<tablebordercolor=#fff,#191919><tablealign=center><tablebgcolor=#fff,#191919> [math(\ln f(x)=\ln(1+x)^{\frac1x}=\dfrac1x\ln(1+x)=\dfrac{\ln(1+x)}x)] || 여기서 [math(\ln f(x)=\dfrac{\ln(1+x)}x)]를 [math(g(x))]라고 하면, 다음과 같은 개형이 나타난다. ||<tablewidth=400px><tablebordercolor=#dbe4e8><tablealign=center><tablebgcolor=#fff,#191919>[[파일:y=(1+x)^(frac{1}{x}).png|width=100%]]|| ||<bgcolor=#dbe4e8,#172024> 함수 [math(g(x)=\dfrac{\ln(1+x)}x)]의 그래프와 불연속점 [math((0,\,1))] || 이 그래프에서 불연속점인 [math(x=0)]에서의 [math(y)] 좌표, 즉 [math(x \to 0)]으로 수렴하는 극한값을 구하면 [math(1)]이다. ||<tablebordercolor=#fff,#191919><tablealign=center><tablebgcolor=#fff,#191919> [math(\displaystyle \lim_{x\to0}g(x)=\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}x=1)] || ---- [math(e)]을 밑으로 하는 [[지수함수]]의 정점이 원점이 되도록 평행이동한 그래프의 함수 [math(y=e^x-1)]의 수식을 [math(y+1=e^x)]로 나타내자. 이 항등식의 양변에 자연로그를 취하면 우변은 [[로가리듬|로그]]의 성질에 의해 지수는 로그 앞으로 꺼내진다. ||<tablebordercolor=#fff,#191919><tablealign=center><tablebgcolor=#fff,#191919> [math(\ln(y+1)=\ln e^x=x\ln e=x)] || || {{{-2 정리 a. }}} || 여기서 '''합성함수''' [math(f(x)=\dfrac x{e^x-1})]의 수식은 정리 a.에 따라 아래처럼 조작할 수 있다. ||<tablebordercolor=#fff,#191919><tablealign=center><tablebgcolor=#fff,#191919> [math(\dfrac x{e^x-1}=\dfrac{\ln(y+1)}{e^{\ln(y+1)}-1}=\dfrac{\ln(y+1)}{(y+1)-1}=\dfrac{\ln(y+1)}y)] || 여기서 매개변수 [math(t)]를 이용해 함수의 수식을 [math(t=\dfrac x{e^x-1}=\dfrac{\ln(y+1)}y)]로 놓으면 두 함수의 불연속점은 아래 그래프처럼 [math((0,\,1))]임을 확인해볼 수 있다. ||<tablewidth=400px><tablebordercolor=#dbe4e8><tablealign=center><tablebgcolor=#fff,#191919>[[파일:두 함수의 불연속점.png|width=100%]]|| ||<bgcolor=#dbe4e8,#172024> 함수 [math(t=\dfrac x{e^x-1})]의 그래프 (붉은 실선)[br]함수 [math(t=\dfrac{\ln(y+1)}y)]의 그래프 (푸른 실선)[br]및 불연속점 [math((0,\,1))] || 따라서 [math(x\to0)]로 수렴하는 값은 [math(y\to0)]로 수렴하는 값과 같으므로, ||<tablebordercolor=#fff,#191919><tablealign=center><tablebgcolor=#fff,#191919> [math(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac x{e^x-1}=1)] || 일반적으로 정의하는 [math(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{e^x-1}x)]의 값도 위의 역수이므로 [math(1)]이다. 참고로 이 함수의 수식 [math(\dfrac{e^x-1}x)]은 어디서 떡하고 튀어나오거나 인위적으로 제시된 게 아니라 '''[[지수함수]]의 [[도함수]]'''를 정의하는 과정에서 고안되었다. 살펴보면 미분계수의 정의 꼴에서 쓰이는 평균변화율 [math(\dfrac{e^x-e^0}{x-0})]와 같다. === 미적분 === ==== [[도함수]] ==== 밑이 어떤 상수 [math(e)][* 막연하게 '밑이 상수'임을 나타낸다는 전제로서, 아직 이 단계에선 [math(e)]가 어떤 관계식으로 나타내어지는지, 어떤 값인지는 모른다.]인 로그함수 [math(\log_e x)]의 미분을 정의에 따라 나타내고 적절히 변형해주면 다음과 같은 식이 얻어진다. ||[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\log_ex&=\lim_{h\to0}\frac{\log_e(x+h)-\log_ex}h=\lim_{h\to0}\frac{\log_e\left(1+\dfrac hx\right)}h=\lim_{h\to0}\frac 1h\log_e\left(1+\frac hx\right) \\ &= \lim_{h\to0}\frac1x\frac xh\log_e\left(1+\frac hx\right)=\frac1x\lim_{h\to0}\log_e\left(1+\frac hx\right)^{\frac xh}=\frac1x\log_e\lim_{h\to0}\left\{\left(1+\frac hx\right)^{\frac xh}\right\} \end{aligned})] || 마지막 식에서 진수의 극한은 [math(\dfrac hx=t)]치환을 통해 다음과 같이 간단하게 나타낼 수 있으며 ||[math(\displaystyle \lim_{h\to0}\left(1+\frac hx\right)^{\frac xh}=\lim_{t\to0}\,(1+t)^{\frac1t})] || 이 식은 특정 상수로 수렴하게 되어있고, 그 값을 [math(e)]라고 정의하면 최종적으로 [math(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\log_ex=\dfrac1x\log_ee=\dfrac1x)]이 된다. 이와 더불어 [math(\log_ex=\ln x)]로 정의한다. 즉, [math(e)]는 미분하면 [math(\dfrac1x)]이 되는 로그함수의 특징을 정의하는 과정에서 '''자연스럽게''' 유도되는 상수인 것이다. 이 극한식의 정의를 이용하면 미분해도 변하지 않는 지수함수의 밑은 [math(e)]임을 '''자연스럽게''' 증명할 수 있다. ||[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^x&=\lim_{h\to0}\frac{e^{(x+h)}-e^x}h=\lim_{h\to0}\frac{e^x(e^h-1)}h \\ &=e^x\lim_{h\to0}\frac{e^h-1}h \end{aligned})] || [math(e^h-1=t)]로 치환하면 [math(h\to0)]일 때 [math(t\to0)]이고 [math(h=\ln(1+t))]이므로 ||[math(\displaystyle \begin{aligned} \lim_{h\to0}\frac{e^h-1}h&=\lim_{t\to0}\frac t{\ln(1+t)}=\lim_{t\to0}\frac1{\dfrac1t\ln(1+t)} \\ &=\lim_{t\to0}\frac1{\ln(1+t)^{\frac1t}}=\frac1{\ln e} \\ &=1 \end{aligned})] || 따라서 [math(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^x=e^x)]가 된다. ==== [[로그 적분 함수]] ==== >[math(\displaystyle \mathrm{li}(x)=\int_0^x\frac{\mathrm{d}t}{\ln t}=\left(\int_{x}^{\infty}\frac{e^{-t}}{t}\,\mathrm{d}t\right)\circ\ln x)][* 마지막 항은 로그 적분 함수를 [[지수 적분 함수]]와 자연로그의 합성으로 나타낼 수 있다는 의미이다.] 자연로그로 유도할 수 있는 [[특수함수]]이다. 자세한 내용은 [[로그 적분 함수]] 문서 참조. === 무한급수 === [math(e^x)]를 [[테일러 전개]]한 식에 [math(x=1)]를 대입해 유도할 수도 있고, 위의 극한을 이용한 정의에서의 극한식을 [[이항정리]]를 이용해 정리해서 이 식을 유도할 수도 있다. 표현 자체만 다를 뿐 극한식과 급수식은 서로 동치 관계에 있다. 오일러가 이 방식으로 무한급수식을 도출한 바 있다. [math(t\to0)]인 극한식에서 [math(t=\dfrac1n)]으로 치환해주면 [math(n\to\infty)]이며 지수가 [math(n)]으로 간단하게 표현되기에 이항 정리를 용이하게 적용할 수 있다. ||[math(\displaystyle \begin{aligned} \lim_{t\to0}\,(1+t)^{\frac1t}&=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n \\ &=\lim_{n\to\infty}\sum_{r=0}^n\binom nr\frac1{n^r}=\lim_{n\to\infty}\sum_{r=0}^n\frac{n!}{r!\cdot(n-r)!}\frac1{n^r} \\ &=\lim_{n\to\infty}\left\{\frac{n!}{0!\cdot n!}\frac1{n^0}+\sum_{r=1}^n\frac{n!}{r!\cdot(n-r)!}\frac1{n^r}\right\}=\lim_{n\to\infty}\left\{\frac1{0!}+\sum_{r=1}^n\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)}{r!}\frac1{n^r}\right\} \\ &=\lim_{n\to\infty}\left\{\frac1{0!}+\sum_{r=1}^n\frac{1\cdot\left(1-\dfrac1n\right)\left(1-\dfrac2n\right)\cdots\left(1-\dfrac{r-1}n\right)}{r!}\right\} \\ &=\lim_{n\to\infty}\left\{\frac1{0!}+\frac1{1!}+\frac{1\cdot\left(1-\dfrac1n\right)}{2!}+\frac{1\cdot\left(1-\dfrac1n\right)\left(1-\dfrac2n\right)}{3!}+\cdots+\frac{\displaystyle \prod_{r=1}^n\left(1-\frac{r-1}n\right)}{n!}\right\} \\ &=\frac1{0!}+\frac1{1!}+\frac1{2!}+\frac1{3!}+\cdots \\ &=\sum_{n=0}^\infty\frac1{n!} \end{aligned})] || === [[경제학]] === 기간 [math(t)] 동안에 이자율(=증가율) [math(i)]로 연속 성장(continuously compounded)할 때 그 극한이 지수함수로 나타나는데 밑이 [math(e)]가 된다. 다음과 같이 유도할 수 있다. 연속 성장의 횟수가 [math(n)]이라고 하면 [math(1)]회 성장 기간은 [math(\dfrac tn)]이며 증가율은 [math(\dfrac{it}n)]가 된다. 지난 성장 결과를 [math(a_k)]라고 하면 다음 성장 결과 [math(a_{k+1})]은 [math(a_{k+1} = \left(1+\dfrac{it}n\right)a_k)]이며 [math(a_1 = 1)]이라고 하면 이 점화식은 등비급수의 꼴이므로 [math(a_k = \left(1+\dfrac{it}n\right)^k)]로 풀린다. [math(k=n)]일 때, [math(n\to\infty)]의 극한을 취하면 ||[math(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n \to \infty} \left(1+ \frac{it}n \right)^n = \lim_{n\to\infty} \left(1+ \frac{it}n\right)^{\frac n{it}\cdot it} = \lim_{n\to\infty}\left\{\left(1+\frac{it}n\right)^{\frac n{it}}\right\}^{it}= e^{it})] || ln(1+x)=x 로 근사하여 변화율을 구할 때도 쓴다. === 기타 === * [math(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( 1-\frac 1n \right)^n = \dfrac1e)]이다. 고등학교 교육과정에선 등장하지 않지만 극한에 대한 이해를 평가하는 문제로서 간간히 출제되기도 한다. * 이 값은 [[가챠]]처럼 카드 뽑기 게임에서도 활용되는 수이다. 확률이 [math(\dfrac 1n)]인 카드를 [math(n)]번 뽑았다고 했을 때, 단 한 번도 안 나올 확률은 [math(p= \dfrac 1e=0.36787944117144\cdots)]가 된다. 이 식은 [math(n=100)] 정도만 돼도 충분히 [math(\dfrac 1e)]값에 근접하기에, 만약 확률이 [math(1\%)]인 뽑기를 [math(100)]번 한다고 해도 [math(36.79\%)]정도의 확률로 1번도 안 뜰 수 있다. 참값은 약 [math(36.60\%)]으로 거의 일치함을 알 수 있다. * [math(x>0)] 구간에서 [math(y = x^x)]의 최솟값은 [math(x = \dfrac 1e)]에서, [math(y = x^{\frac 1x})]의 최댓값은 [math(x=e)]일 때 나온다. 또한 [math(a^x)]와 그 역함수가 접할 조건은 [math(a = e^{\frac 1e})]일 때이며 접점은 [math((e,\,e))]이다. * 자연로그에 [math(1)]부터 [math(10)]까지의 [[자연수]] 및 [math(e)], [math(\pi)]를 대입한 값은 다음과 같다. 소수점 아래 [math(32)]번째 자리수[* [math(1)][[구#s-1.2]] 분의 [math(1)]자리. [math(1)]구 [math(=10^{32}=1)][[경(수)|경]]의 제곱수.]까지 확실한 값이며, 해당 자리수까지 반올림할 시엔 [math(33)]번째 자리의 숫자를 보고 판단하면 된다. [math(33)]번째 자리수는 반올림이 적용되어있지 않으며 [math(34)]번째 자리수 이후의 값을 생략한 것에 불과하니 주의할 것. 한자 문화권에선 [[만]] 단위로 끊어 쓰므로 편의를 위해서 4자리씩 끊었다. ||'''''' [math(\begin{matrix}\begin{aligned}\ln 1 &= 0\ \\ \ln 2 &= 0.6931\,4718\,0559\,9453\,0941\,7232\,1214\,5817\,6\cdots \\ \ln e &= 1 \\ \ln 3 &= 1.0986\,1228\,8668\,1096\,9139\,5245\,2369\,2252\,5\cdots \\ \ln \pi &= 1.1447\,2988\,5849\,4001\,7414\,3427\,3513\,5305\,8\cdots \\ \ln 4 &= 1.3862\,9436\,1119\,8906\,1883\,4464\,2429\,1635\,3\cdots \\ \ln 5 &= 1.6094\,3791\,2434\,1003\,7460\,0759\,3332\,2618\,7\cdots \\ \ln 6 &= 1.7917\,5946\,9228\,0550\,0081\,2477\,3583\,8070\,2\cdots \\ \ln 7 &= 1.9459\,1014\,9055\,3133\,0510\,5352\,7434\,4317\,9\cdots \\ \ln 8 &= 2.0794\,4154\,1679\,8359\,2825\,1696\,3643\,7452\,9\cdots \\ \ln 9 &= 2.1972\,2457\,7336\,2193\,8279\,0490\,4738\,4505\,1\cdots \\ \ln 10 &= 2.3025\,8509\,2994\,0456\,8401\,7991\,4546\,8436\,4\cdots \end{aligned}\end{matrix})] || * [math(xe^x = 1)]를 만족하는 [[오메가 상수]]란 게 있다. [[지수함수]]의 특수한 역함수인 [[람베르트 W 함수]]에 [math(1)]을 대입하면 얻을 수 있다. * 서로 무관한 수처럼 보이는 [math(e)]와 원주율 [math(\pi)], 허수단위 [math(i)]를 합치면 [[오일러 등식|[math(e^{\pi i} + 1 = 0)]]]이란 굉장히 깔끔한 결과가 나온다. 자세한 것은 복소평면상의 단위원을 나타낸 아래의 그래프와 [[오일러 공식]] 참고. [[파일:external/upload.wikimedia.org/180px-Euler%27s_formula.svg.png]] * [[해석적 정수론]]에선 자연로그가 다수 합성된 꼴의 함수([math(\ln\ln\ln\ln x)] 같은 꼴)가 꽤 자주 나온다. == [[복소로그함수]] == [include(틀:상세 내용, 문서명=복소로그함수)] == 여담 == * [[고등학교]]에서 [math(e)]를 배울 때는 '무리수 [math(e)]'란 명칭으로 배우게 된다. 하지만 고등학교에선 [[로그함수]]의 미분에 대해 배우기도 전에 [math(e)]의 극한식 정의부터 배운다. 실제 미적분학을 비롯한 [[수학]] 전반에서 [math(e)]를 사용하면 표기법이 놀랍도록 간단해진다. 현재 자연로그의 경우 고교과정에서 자연계열에만 [[미적분(교과)|편성되어 있다.]] * [math(e)]가 [[무리수]]임을 보이는 것은 쉬우나[* [[귀류법]]으로 [math(e = \dfrac mn)]이라 하고, [math(n!e)]를 생각해보자.], 정수다항식의 근이 될 수 없는 [[초월수]]임을 보이는 건 훨씬 어렵다.[* 그래도 정수 계수 이차방정식의 근이 될 수 없다는 것은 무리수 증명보단 어렵지만 초월수 증명에 비해 쉽게 보일 수 있다. 귀류법으로 ae+b/e=c,a≠0을 만족하는 정수해 a,b,c가 있다고 가정한 후 e와 1/e의 테일러 전개를 잘 이용해주면 된다.] 여러 [math(e^e)] 등의 숫자들은, 심지어 [math(e+\pi)] 마저도 유리수인지 무리수인지조차 확인이 되지 않고 있다. * [math(e)]는 [math(e^{\pi i} + 1 = 0)]이란 [[오일러 등식|세상에서 가장 아름답다고 하는 식]]에 나오기도 한다. * [[원주율]] [math(3.141592\cdots)]를 [[파이|[math(\pi)]]]로 간단하게 쓰는 것처럼 [math(e)] 역시 비순환소수, 즉 무리수이다. 유의미한 수학 상수 중에선 [[초월수]]로서 처음으로 증명된 수이기도 하다. 사족으로, 의미가 큰 건 아니지만, 초월수로 증명된 첫 번째 수는 [math(\displaystyle \sum_{k=1}^\infty10^{-k!}=0.110001\cdots)]으로 정의되는 리우빌 상수(Liouville's Number)로, 이 수는 초월수의 존재를 증명하기 위해 만들어진 숫자다. 발견 자체는 [[원주율]]이 훨씬 빨랐지만, 원주율이 초월수로 증명된 건 [math(e)]가 초월수로 증명된지 9년 후이다. * [[밑]] 문서에도 적혀있지만 '자연로그의 밑'과 관련해선 발음에 유의해야 한다. '자연로그의 밑으로 갖는…'과 같은 구절에서 [미츠로]라고 읽는 사람이 많으나 '''[미트로]'''라고 읽는 게 올바르다. '밑을' 역시 [미츨]이 아니라 '''[미틀]'''로 발음해야 한다. * 실제로는 수지만 쓸 때는 그냥 [math(e)]라고 쓰는 것을 이용해 문과 놀리기를 하기도 한다.[* 현행 교육과정(2015 개정)에선 무리수 [math(e)] 관련 내용이 [[미적분(교과)|미적분]] 초반 부분에 있다. 따라서 문과는 배우지 않는다.] * [[Wolfram Alpha|울프럼 알파]]에선 log(x)를 입력하면 자연로그로 처리한 뒤 [[상용로그|[math(10)]을 밑으로 갖는 로그]]를 찾은 경우를 대비해 짧은 설명과 링크를 달아준다. [[문과]]와 연관된 [[금융공학]]에서도 [math(\ln x)]로 통일했다. 왜냐하면 자연로그와 [[상용로그]]를 쓰는 곳은 [[파생상품]]인데, 서로 쓰는 분야가 달라서 [math(\log x)]로 통일을 할 수가 없기 때문이다. 이 자연로그는 고교/대학 과정 이상의 [[미적분]]에서 빠질 수 없는 필수 요소다. * 소수점 아래 열 번째 자리까진 매우 쉽게 외울 수 있다. [math(2.7)][[18|[math(\mathbf{18}\,)]]][[28|[math(\mathbf{28}\,)]]][[18|[math(\mathbf{18}\,)]]][[28|[math(\mathbf{28}\,)]]][[死|[math(\mathbf{4})]]][math(\cdots)](…) [math(9)]번째 자리까지만 본다면 유리수 같이 보이는 착각이 일어난다.[* '[math(2.)][[친일파]] [[씨발|이시팔 시팔 이시팔]]'로 외울 수 있다. 이과 고등학생이라면 적어도 [math(2.718)] 정도까진 외워두는 게 좋다. 값의 크기를 비교할 때 써먹어야 하기 때문. 이를테면 [math(3)], [math(e)], [math(2)]의 대소를 비교하라 할 때.] 사실 소수점 아래 열다섯 번째 자리까지도 그리 어렵지 않다. [math(2.7)][[18|[math(\mathbf{18}\,)]]][[28|[math(\mathbf{28}\,)]]][[18|[math(\mathbf{18}\,)]]][[28|[math(\mathbf{28}\,)]]][[45|[math(\mathbf{45}\,)]]][[90|[math(\mathbf{90}\,)]]][[45|[math(\mathbf{45})]]][math(\cdots)] [math(45)]와 [math(90)]이 깔끔하게 배수 관계라 기억하기 쉽다. * 한편, [math(2^2)], [math(2^e)], [math(e^2)], [math(e^e)]이 [[동남 방언]]에선 완벽히 구분되는데 [[대한민국 표준어|표준 한국어]]에선 전혀 구분되지 않는다는 이야기가 인터넷에 돌았고, 각 방언 사용자들이 서로에게 그게 진짜냐고 묻는(...) 떡밥이 돌기도 했다. 해당 방언 사용자는 2e와 [[EE|ee]]를 각각 발음해 보면 감이 온다. 사실 전국적으로 그렇게 발음하는 사람이 많은데, 표준어 사용자라고 그렇지 않다는 건 없다. 그러므로 구분이 안 된다는 말은 어떻게 보면 틀린다. 자음은 묵음이고 /i/만 달랑 발음되는 숫자 2와는 달리 e 앞에 자기도 모르는 새 /ʔ/음가가 들어가기 때문. 참고로 이 발음은 엄연히 성조나 강세가 아닌 하나의 음가다. [[성문음]] 참조.(여담이지만, 중세 국어엔 /ʔ/에 해당하는 음가가 있었다. 그게 바로 __ㆆ(여린히읗)__. 사실 지금도 한국어구사자들은 이 발음을 무의식적으로 발음한다. 쉽게 말해 명치를 맞을 때 내는 "윽!"소리의 "ㅇ"의 실제 발음이다. 일(一)을 발음할 때도 나오는 발음이다.) * 원주율에 비해 떡밥이 적다. 우리 모두 동그라미를 그릴 줄 알기에 원주율에 대해선 직감적이지만(애초에 원의 지름과 원의 둘레의 비를 원주율 [math(\pi)]로 정의한 것이니, 당연히 직관적으로 이해할 수 있다.) 무리수 [math(e)]는 적용된 도형이 거의 없으니... 굳이 찾아본다면 [[삼각함수]]의 [[사인곡선|물결 모양]][* 삼각함수는 [math(e)]를 밑으로 하는 [[지수함수]]의 꼴로 바꿀 수 있다. 다만 이렇게 바꾸려면 [[오일러 공식]]을 활용하는 복소함수적 접근을 해야 하지만.], [[정규 분포]]의 종 모양 곡선, [[현수선]], [[앵무조개]]의 [[로그함수#s-2.1|껍데기가 그리는 나선]] 정도? * 최근 [[http://imnews.imbc.com/replay/2019/nwtoday/article/5609134_24616.html|개의 실제 연령을 산정하는 식이 16*'''개 나이(시간)의 자연로그'''+31이라고 주장하는 연구가 나왔다]]... 개의 2~7세가 사람으로 치면 25~50세에 해당한다고 한다. == 관련 문서 == * [[자연로그의 밑/값]] * 중등교육과정 * [[미분과 적분(7차)|미분과 적분]] (제7차 교육과정) * [[수학Ⅱ]] (2007 개정 교육과정) * [[미적분Ⅱ]] (2009 개정 교육과정) * [[미적분(교과)|미적분]] (2015 개정 교육과정) * [[로그 적분 함수]] * [[로피탈의 정리]] * [[소수 계량 함수]] * [[폰 망골트 함수]] * [[체비쇼프 함수]] * [[소수 정리]] * [[오일러 등식]] [[분류:해석학(수학)]][[분류:무리수]][[분류:초월수]][[분류:수학상수]][[분류:초등함수]] [각주] [include(틀:문서 가져옴, title=자연로그의 밑, version=143)][* 문서 역사가 있는 위치를 명기함.] * [[문서 삭제식 이동]] (자연상수 → 자연로그) * 사유 1: 대한수학회 수학용어에서 [[http://www.kms.or.kr/mathdict/list.html?key=kname&keyword=%EC%9E%90%EC%97%B0%EC%83%81%EC%88%98|자연상수]]란 용어는 존재하지 않음. * 사유 2: 정식적인 번역 용어는 [[http://www.kms.or.kr/mathdict/list.html?key=kname&keyword=%EC%9E%90%EC%97%B0%EB%A1%9C%EA%B7%B8%EC%9D%98+%EB%B0%91|자연로그의 밑]]이므로 자연로그의 하위 문단으로 구성하는 게 바람직함.