[목차] ~~2학년산~~ {{{+3 [[二]][[項]][[演]][[算]]}}} == 개요 == 두 개의 항으로부터 결과를 얻어내는 연산. 가장 간단한 예로 [[덧셈]], [[곱셈]], [[지수(수학)|지수]] 등이 있다. 기본적으로 우리가 사용하는 연산은 대부분 이항 연산이다. [math(1+2+3)]은 얼마냐고 물어봤을 때 세 개를 동시에 계산하여 삼항연산(?)을 통해 [math(6)]이 된다고 생각하겠지만, 우선 앞에 두 수를 더해서 [math((1+2)+3)]이 되고 다시 두 수를 더해 [math(3+3)]이 되어 [math(6)]이 되는 것이다. 초등학교를 나온 사람이라면 기본적으로 덧셈이라는 연산에 대해 훈련이 되어 있기 때문에 이 과정을 의식하지 못하는 것 뿐이다. == 수학적 정의 == [[집합]] [math(S)]가 있을 때, [math(S)]에서 닫혀 있는 이항 연산은 다음과 같은 함수를 말한다. [math(*: S \times S \mapsto S)][* [math(S \times S = \left \{ \left( x, y \right) |x, y \in S \right \})]] [math(S)]의 원소 [math(a)], [math(b)]를 이항연산한 결과를 일반적인 함수처럼 전위표기법을 써서 [math(* \left( a, b \right))]으로 나타낼 수도 있지만, 보통의 이항연산은 중위표기법을 사용해 [math(a * b)]와 같이 많이 나타낸다. == [[결합법칙]] == [math(\left( a * b \right) * c = a * \left( b * c \right))]가 항상 성립할 때, 이 이항연산은 결합법칙을 만족한다고 한다. == 항등원 == 집합 [math(S)]의 원소 중에 원소 [math(e)]가 존재하여 [math(a * e = e * a = a)]가 항상 성립할 때 [math(e)]를 이 이항연산의 항등원이라고 부른다. == 역원 == 항등원 [math(e)]가 있을 때, [math(a * a' = a' * a = e)]가 성립하는 [math(a')][* [math(a^{-1})]로 표기하기도 한다.]이 있으면 [math(a')]을 [math(a)]의 역원이라고 한다. [math(a')]은 [math(a)]의 값에 따라 다를 수 있다. == [[군(대수학)|군(Group)]], [[환(대수학)|환(Ring)]], [[체(대수학)|체(Field)]] == 1. 집합 [math(G)]에 이항연산 [math(*)]가 정의되어 있고, (물론 닫혀 있어야 한다.) 2. [math(*)]가 결합법칙을 만족시키고, 3. [math(G)]가 항등원을 가지고 있고, 4. [math(G)]의 모든 원소들이 각각 역원을 가지고 있을 때, '''[math(\left( G, * \right))]가 군(group)을 이룬다'''고 한다. 여기서 이항연산이 [math(*)]인 것이 뻔할 때에는 그냥 "[math(G)]가 군을 이룬다", 혹은 "[math(G)]는 군이다"라고 한다. [[교환법칙|[math(a*b = b*a)]]]가 항상 성립할 때 교환가능하다고 하는데, 이런 연산을 가진 그룹은 '''가환군(abelian group)'''이라고 부르며, [[정수#s-2|정수]]라는 집합에 주어진 [[덧셈]]이 가장 잘 알려진 예제다. 항등원은 [math(0)], [math(n)]의 역원은 [math(-n)]. 덧셈에 대한 역원이 존재하는 군을 [[환(대수학)|환(Ring)]]이라고 하며, 0을 제외한 [[곱셈]]에 대한 역원까지 있다면 [[체(대수학)|체(Field)]]가 된다. 반면에 가환군이 아닌데 체의 조건을 만족하면 꼬인 체(Skew Field)라고 한다. == 고등학교 교육과정 == 연산 법칙에서 가장 기초적인 개념이기 때문에 고등학교 1학년 과정에 [[이항연산]]과 '닫혀있다'의 개념이 있었으나 무슨 이유에서인지 [[2009 개정 교육과정]](2014년 고1 입학 적용)부터 탈락해버렸다. 수능 미출제 과목인 고급 수학Ⅰ·Ⅱ에서조차 다루지 않는다. [[분류:대수학]]