[[분류:수학 용어]][[분류:한자어]][[분류:미적분]][[분류:대수학]][[분류:해석학(수학)]][[분류:나무위키 수학 프로젝트]] [include(틀:해석학·미적분학)] [목차] == 소개 == {{{+1 fluxions · [[流]][[率]][[法]]}}} [[영국]]의 [[수학자]] [[아이작 뉴턴|아이작 뉴턴 (Isaac Newton, 1643~1727)]]이 고안한 미분법. 뉴턴이 그래프 위를 움직이는 점의 속도를 '흐르는 양(量)'이라는 뜻의 '유량(fluxio, [[流]][[量]])'이라고 불렀기 때문에 이러한 명칭이 붙었다. 뉴턴이 유율법의 아이디어를 처음 고안한 것은 1665년, 뉴턴이 수학을 연구한 지 1년밖에 되지 않은 23세 시절이었다. 이 유율법의 아이디어 때문에 [[수학사]]에서는 뉴턴이 세계 최초로 미분을 발견한 인물로 인정받는다. == 수학사적 의의 == 뉴턴이 유율법을 발견하기 이전에는 모든 그래프의 모든 점에 대하여 접선의 기울기를 구하는 방법은 없었다. [[르네 데카르트]], [[피에르 드 페르마]] 등 많은 수학자들이 [[포물선]] 등 특정 개형의 곡선에서 성립하는 방법론을 고안했지만, 결코 보편적인 방법이 되지 못했다.[* 그중에서 피에르 드 페르마는 보편적인 방법에 가장 접근했는데, 뉴턴도 페르마의 방법론을 참고했다.] 그러나 유율법은 처음으로 모든 그래프에 적용할 수 있는 방법이었다. 비록 뉴턴의 논리에는 후술할 약간의 허점이 있긴 하였지만, 유율법을 사용하면 접선의 기울기를 제대로 구할 수 있는 것만은 확실하였다. 뉴턴은 [[적분]]까지 발견하고 [[미분]]과 적분의 관계까지 밝혀내어 [[미적분]]을 창시했다. 현재까지도 미적분의 응용 범위는 실로 방대하며, 수학뿐만 아니라 다른 학문에도 긴요하게 사용되고 있다. 자세한 내용은 [[미적분학#s-3]] 문서를 참고하라. == 개념 == 한 점이 곡선 [math(y=f(x))] 위를 무한히 짧은 시간 동안 오른쪽으로 움직인다. 뉴턴은 이 '무한히 짧은 시간'을 [[그리스 문자]] [math(\omicron)]([[오미크론]])이라는 기호로 나타냈는데, [math(\omicron)]은 더 자세히 말해서 '''0은 아니지만 0에 한없이 가까운, 극히 짧은 시간'''이다. 구체적으로 '몇 초' 식으로 정해져 있지는 않다. 한편, 점은 곡선 위를 따라 움직이므로, 점이 움직인 자취는 곡선의 일부이며, 그 역시 곡선이다. 그러나, 점이 무한히 짧은 시간 동안 움직인다면, 그 점이 움직인 자취는 '''극히 짧은 직선'''으로 간주할 수 있다.[* 움직인 자취란 결국 '거리'가 되는데, 이를 극히 짧은 직선으로 간주한다는 것은 '''점의 속력은 유한함'''을 함의한다. 시간과 속력의 곱이 거리이기에, 시간이 무한소인데 속력이 무한대라면 이는 [math(0\times\infty)] 꼴의 [[부정형]]으로서, 거리가 무한대인지 무한소인지 어느 유한한 값이 되는지 결정하기 아주 곤란해진다. 따라서, 유율법에서 점의 속력은 유한한 값이 된다.] 이 극히 짧은 직선이란 곧 점의 진행 방향이며, 점의 출발 지점에 대한 [[접선]]과도 같다. 유율법에서, 접선의 기울기는 [math(\omicron)] 동안 움직인 점이 [math(y)]축으로 운동한 속력 [math(q)]에서 [math(x)]축으로 운동한 속력 [math(p)]로 나눈 값, 즉 [math(q/p)]이다. 출발 지점 [math((a, \, b))]에서 [math(\omicron)] 동안 점은 [math(x)]축 방향으로 [math(p)]의 속력으로, [math(y)]축 방향으로 [math(q)]의 속력으로 움직인 것이므로, 점이 움직인 거리는 [math(x)]축 방향 [math(\omicron{p})], [math(y)]축 방향 [math(\omicron{q})]이다. 따라서 움직여 도착한 점의 좌표는 [math((a+\omicron{p},\, b+\omicron{q}))]이며, 출발 지점 [math((a, b))]의 [[접선]]에 해당하는 '극히 짧은 직선'은 [math((a, \, b))]와 [math((a+\omicron{p},\, b+\omicron{q}))]를 지난다. 그래서 접선의 기울기는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle\frac{b+\omicron{q}-b}{a+\omicron{p}-a}=\frac{\omicron{q}}{\omicron{p}}=\frac{q}{p})]}}} 가 되는 것이다. 그렇다면 접선의 기울기를 구하기 위해서는 [math(p)]와 [math(q)]의 값을 알아야 할까? 그렇다면 그 값은 또 어떻게 알 수 있을까? 사실 유율법에 따르면 [math(p)]와 [math(q)]의 값을 몰라도 접선의 기울기, 곧 [math(q/p)] 자체의 값은 구할 수 있다. 점이 곡선 위에서만 움직이므로, [math(\omicron)] 후 도착한 점의 좌표 [math((a+\omicron{p}, \, b+\omicron{q}))] 역시 접선을 구하고자 하는 그 곡선 위에 있다는 사실을 이용하면 된다. 예를 들어 [math(y=x^{2})] 위의 점 [math((2,\,4))]의 접선의 기울기를 구해 보자. 점은 [math((2, \, 4))]에서 [math(\omicron)] 동안 [math(x)]축 방향으로 [math(p)], [math(y)]축 방향으로 [math(q)]의 속력으로 움직여 [math((2+\omicron{p}, \, 4+\omicron{q}))]에 도달한다. 따라서 [math(\omicron)] 동안 점이 지난 자취로서의 '극히 짧은 직선'은 [math((2,\, 4))]와 [math((2+\omicron{p}, \, 4+\omicron{q}))]를 지나는데, 점은 항상 곡선 위를 움직이므로 [math((2,\, 4))]뿐만 아니라 [math((2+\omicron{p},\, 4+\omicron{q}))]도 곡선 [math(y=x^2)] 위에 있다. 따라서, [math((2+\omicron{p})^2=4+\omicron{q})]이다. 이 식을 조작하면 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\begin{aligned} (2+\omicron{p})^2&=4+\omicron{q} \\ 4+4\omicron{p}+{\omicron}^2{p^2}&=4+\omicron{q} \\ 4\omicron{p}+{\omicron}^2{p^2}&=\omicron{q} \\ 4p+\omicron{p^2}&=q \\ 4+\omicron{p}&=\displaystyle\frac{q}{p} \end{aligned})]}}} 마지막에 양변을 [math(p)]로 나눈 이유는, 우변을 접선의 기울기를 뜻하는 [math({q}/{p})]의 꼴로 만들기 위해서이다. 여기에서, [math(\omicron)]은 무한소의 시간이므로, [math(\boldsymbol\omicron)]'''이 곱해진 모든 항은 0으로 간주하여 무시할 수 있다'''는 것이 뉴턴의 사고방식이다. 따라서 접선의 기울기는 [math({q}/{p}=4)]이다. 이와 같이 유율법에서는 [math(p)]와 [math(q)]의 값을 직접 구하지 않고도 [math(\displaystyle {q}/{p})]의 값을 알 수 있다. == 허점 == 유율법의 아이디어는 세계 최초로 고안된 모든 곡선의 접선의 기울기를 구하는 방법론이었던 만큼 분명히 획기적이었으나, '''사실 유율법은 완전하지 않다.''' 사실 앞서 설명한 유율법의 메커니즘은 넉넉하게 잡아 중학교 3학년만 되어도 이해할 수 있다. 그러나 유율법은 수학적으로 엄밀하지 않기 때문에 고등학교 2학년에 극한과 미적분을 배울 때 유율법을 배우지 않는 것이다. 고등학교 시절에 배우는 극한은 뉴턴이 살던 시기에는 없던 개념이며, 후세 수학자들의 연구로 탄생한 것이다. === 비판 === [[영국]]의 [[철학자]]이자 [[성직자]] [[조지 버클리]](George Berkeley, 1685-1753)의 비판이 대표적이다. 버클리는 [[합리주의]]를 표방하는 자들이 연구한다는 [[미적분]]의 방법론에 대해서도 그들 스스로 엄밀함을 확보하지 못하는 주제에 자신이 몸담고 있는 교회의 비합리성만을 비판하는 행태를 공격했다. 버클리는 '무한소'의 개념을 엄밀히 확립하지도 않은 채 아무렇게나 무한소라는 단어를 남발하는 수학계의 행태를 비판했는데, 그중에서 유율법에 등장하는 [math(\omicron)]도 여지없이 비판의 대상이 되었다.[* 주의할 것이 있는데, 버클리는 미적분이 가져다 준 엄청난 학문의 진보 자체를 부정하지는 않았다. 단지 미적분이 엄밀하지 않다는 말을 했을 뿐이다.] 요컨대 비(比)는 모름지기 유한한 값 두 개로 결정되거나[* 예를 들어 [math(3:4)], [math(1777:3331)]] [[부정형|부정(不定)]] [math(\displaystyle 0/0)]의 꼴이 되지, '''아예 0은 아니긴 아닌데 0으로 간주되기도 하며 어쨌든 한없이 작은''' 무한소 두 개의 비를 논할 수는 없다는 것이었다. 앞서 살펴 보았듯이, 유율법에서는 '''한없이 짧은 시간''' [math(\boldsymbol\omicron)] 동안 점이 이동한 '''한없이 짧은 거리'''의 비[* 더 정확히 말하면, 곡선 위의 점이 [math(x)]축 방향으로 움직인 '''한없이 짧은 거리'''와 [math(y)]축 방향으로 움직인 '''한없이 짧은 거리'''의 비. 이것은 다름이 아니라 앞서 말한 [math(\displaystyle{\omicron{q}}/{\omicron{p}})]에 해당한다.]를 접선의 기울기로 간주하므로, 유율법은 버클리의 이러한 비판을 모면할 수가 없다. 버클리의 또 다른 비판점은, 유율법에서 무한소 [math(\omicron)]을 처리하는 방식이 비논리적이라는 것이다. 위 예시의 계산 과정을 보면, [math(4\omicron{p}+{\omicron}^2{p^2}=\omicron{q})]의 '''양변을 [math(\boldsymbol\omicron)]으로 나누어''' [math(4p+\omicron{p^2}=q)]를 얻었는데, 마지막 식 [math(4+\omicron{p}=q/p)]에서는 [math(\omicron)]이 한없이 작다면서 '''0으로 간주하여 무시해 버렸다!''' 다시 말해, [[0으로 나누기]]가 금지되어 있는 이상 양변에서 [math(\omicron)]을 나누는 동시에 [math(\omicron)]이 곱해진 모든 항을 0으로 간주하여 무시할 수는 없다는 것이다. 버클리는 이처럼 애매모호하기 짝이 없는 무한소의 개념을 대차게 깠다. === 해결 === 조지 버클리가 촉발한 미적분의 엄밀함을 둘러싼 논쟁은 [[프랑스]]의 [[수학자]] [[오귀스탱 루이 코시]](Augustin Louis Cauchy, 1789~1857)에 의해 비로소 해결되었다. 그는 〈해석 교정〉에서 [[극한]]의 개념을 정의했으며 1823년 출판된 〈왕립 에콜 폴리테크니크의 무한소 계산 강의 요록〉에서 그 유명한 '''[[엡실론-델타 논법]]'''을 고안하여 미적분의 엄밀함을 확보했다. 그는 '한없이' 따위의 엄밀하지 않은 표현을 의식적으로 배제하면서 엄밀함을 추구했다. [[엡실론-델타 논법]] 참고. == 쓰임새 == 이외에, [[초실수체]]를 이용한 비표준 해석학에서는 [[극한#s-2.3|위와 같은 허점이 없는, '논리적으로 참인' 유율법]]을 다룬다. == 여담 == 유율법에서 쓰이는 기호 [math(\omicron)]은 기호로서의 주요한 용례가 유율법 말고는 없다. 숫자 [[0]]과 [[닮은꼴 문자|모양이 닮아서 헷갈리기 때문이다]]. [[게오르크 시몬 옴]](Georg Simon Ohm, 1789~1854)도 자신의 이름 Ohm의 첫 글자를 따서 [[전기 저항]]의 단위를 [[O|[math(\rm O)]]](옴)으로 명명하려 했으나, 같은 이유로 [math(\rm O)]를 쓰지 못하고 발음이 비슷한 그리스 문자 [[Ω|[math(\Omega)]]]([[오메가]])를 썼을 정도이다.