[[분류:기하학]][[분류:나무위키 수학 프로젝트]] [include(틀:회원수정)] [include(틀:다른 뜻1, other1=동음이의어,rd1=써클)] [include(틀:다른 뜻1, other1=양판소에서 사용하는 마법 단위,rd1=서클 매직)] [include(틀:기하학·위상수학)] [include(틀:원뿔곡선)] [목차] == 개요 == {{{+1 Circle · [[圓]]}}} [[기하학]]에 등장하는 도형의 일종으로, 수학적인 정의는 '''2차원 평면 상에서 한 정점으로부터 특정 거리만큼 떨어진 점의 집합'''이다. ||<tablealign=center><bgcolor=#ffffff><table width=250> [[파일:나무_원_정의.png|width=70%&align=center]] || || '''중심이 [math(\mathbf{O})]이고, 반지름이 [math(\boldsymbol{r})]인 원''' || [[정다각형]]도 변의 수가 [[극한|무한대로 발산]]하면 원에 가까워지지만[* 폴리곤 그래픽이 원을 이런 식으로 처리한다.][* [[카를 프리드리히 가우스]]가 묘비에 정17각형을 새겨달라는 염원이 끝내 이뤄지지 못한 이유이기도 하다. 원과 거의 차이가 없어서 17각별을 대신 새겼다고.], 원과의 정의와는 부합하지 않으므로 엄밀한 의미에서의 원으로는 간주하지 않는다. [[컴퍼스]]라는 기구를 사용하면, 손으로도 쉽게 그릴 수 있다. [[작도]] 시에도 굉장히 중요한 역할을 하는 도형으로, 원의 중심과 원 위의 한 점 사이의 거리가 일정하다는 사실을 이용하여, 일정한 길이의 선분을 옮길 때 사용한다. 대한민국 교육과정 상 원은 초등학교 때 부터 등장하는 도형 중 하나이며, 중학교 때는 [[논증 기하학]]적인 방법으로 원의 기하학적 특성을 파악하는 것에 초점에 맞춰져있고, 고등학교 1학년 때 원의 방정식을 배움으로써 [[해석 기하학]]적인 원을 다루게 된다. === 관련 개념 === [[파일:나무_원_구성요소.png|width=180&align=center]] 위 그림은 원 관련 개념들을 나타낸 것이다. 원의 중심을 [math(\mathrm{O})]라 놓고, 원 위의 점 [math(\mathrm{A} \sim \mathrm{F})]에 대하여 다음과 같은 개념들이 있다. * '''호''': 원 위의 두 점을 양끝으로 하는 곡선. 위 그림에서 호의 예로, 양끝점이 [math(\mathrm{A})], [math(\mathrm{B})]로 하는 호가 있는데, 이를 호 [math(\mathrm{AB})]라 하고, 기호로는 [math(\overset{\Large\frown}{\mathrm{AB}})]로 나타낸다. 짧은 쪽을 '''열호''', 긴 쪽을 '''우호'''라고 하는데, 특별한 언급이 없는 한 호의 기호는 열호를 나타낸다. 혹은 호 위에 점 [math(\mathrm{P})]가 있다면, [math(\overset{\huge\frown}{\mathrm{APB}})]로 명확하게 표기하기도 한다. * '''[[할선]]''': 원 위의 두 점을 지나는 '''직선'''이며, 위 그림에서는 직선 [math(\mathrm{EF})] 등이 있다. * '''현''': 원 위의 두 점을 잇는 '''선분'''이며, 위 그림에서는 [math(\overline{\mathrm{EF}})] 등이 있다. 현의 길이는 [math(\operatorname{crd}{(\angle \mathrm{EOF})})] 등으로 나타낸다. * '''지름''': 현 중에서 원의 중심을 지나는 선분이며, 위 그림에서는 [math(\overline{\mathrm{AD}})]가 있다. * '''반지름''': 원의 중심으로부터 원 위의 점까지 이은 선분이며, 위 그림에서는 [math(\overline{\mathrm{OB}})] 등이 있다. 원의 정의에 의해 원의 모든 반지름의 길이는 같다. * '''[[부채꼴]]''': 위 그림에서 두 반지름 [math(\overline{\mathrm{OB}})], [math(\overline{\mathrm{OC}})]와 [math(\overset{\Large\frown}{\mathrm{BC}})]로 이루어진 것과 같이 두 반지름과 한 호로 이루어진 도형.(위 그림에서 청색 영역) 이때, 두 반지름이 이루는 각을 [math(\theta (0<\theta<2 \pi) )][* 여기서 각은 [[라디안]]을 사용한다.] 라 할 때, 이 각을 부채꼴의 '''중심각'''이라 한다. * '''[[활꼴]]''': 위 그림에서 [math(\overset{\Large\frown}{\mathrm{FE}})]와 현 [math(\overline{\mathrm{EF}})]로 이루어진 것과 같이 한 호와 한 현으로 둘러싸인 도형.(위 그림에서 적색 영역) == [[원(도형)/방정식|방정식]] == [include(틀:상세 내용, 문서명=원(도형)/방정식)] == 원의 둘레와 넓이 == === 둘레 === 경험적으로 고대부터 원의 지름과 원주의 비는 일정함을 알고 있었다. 이 상수를 [math(\pi)]라고 한다. 그러면 반지름 [math(r)]인 원의 둘레는 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle l=2 \pi r )]}}} 경험적인 것이 아닌 해석적으로 정확하게 인류가 곡선의 길이를 정의할 수 있게 된 것은 미적분학이 정립된 이후니 이 식을 미적분학으로 정당화할 수 있는지를 검토해보자. 일단 모든 원에서 반지름과 원주의 비는 일정하다는 것부터 증명하자. 단위원의 방정식은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle x^2+y^2=r^2)]}}} 로 나타낼 수 있고, [math(y \geq 0)] 영역만 생각하여 해당 영역의 곡선의 길이를 구해보자. 전체 원주는 이 곡선의 길이의 2배다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle y = \sqrt{r^2-x^2})]}}} 이때, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{x}{\sqrt{r^2-x^2}})]}}} 이므로 길이 적분에 의해 원주는 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} l &= 2 \int^{r}_{-r} \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \,dx \\&= 2 \int^{r}_{-r} \frac{1}{\sqrt{r^2-x^2}} \,dx \\&= 2r\int^{1}_{-1} \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \, dt \quad \left(t =\frac{x}{r}\right) \end{aligned} )]}}} 따라서 모든 원의 원주는 반지름 [math(r)]의 상수배로 표현되는 것을 알 수 있다. 따라서 반지름과 원주의 반의 비례상수인 오른쪽 식의 적분값을 원주율로 정의하자. 즉, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \pi = \int^{1}_{-1} \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \, dt)]}}} 이로써 원주율의 값을 표현하는 정적분을 구했다. 다만, 아직 저 정적분의 값을 구하는 데까지는 이르지 못했다. 이는 원의 넓이에서 다시 의논하자. === 넓이 === 중심이 원점이고, 반지름이 [math(r)]인 원의 매개변수 방정식은 아래와 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \left.\begin{matrix} x=r\cos{\theta} \\ y=r\sin{\theta} \end{matrix}\right\} \qquad (0 \leq \theta \leq 2 \pi) )]}}} 이상에서 면적소는 아래와 같이 구할 수 있고, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} dA &=y\,dx \\&=-r^{2} \sin^{2}{\theta}\,d \theta \end{aligned} )]}}} 적분을 통해 상반원의 넓이에 2배를 해줌으로써 원의 넓이를 구할 수 있다: {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle 2\int_{\pi}^{0}-r^{2} \sin^{2}{\theta}\,d \theta =\pi r^{2} )]}}} 여담으로, 초등학교 과정에서는 [[PWW|아래와 같이 원을 무수히 많고, 같은 등분으로 쪼갰을 때, 해당 등분들을 아래와 같이 붙였을 때, 만드는 도형은 가로가 원주의 반, 세로가 반지름과 같은 직사각형이 만들어진다는 것을 이용하여 원의 넓이를 증명한다]]. 물론 수학적으로 봤을 땐 엄밀하진 못하지만 직관적이어서 초등학교 과정에 이용된다. [[파일:namu_원넓이_초등_NEW.svg|width=370&align=center&bgcolor=#ffffff]] 아래는 이 과정을 영상으로 나타낸 것이다. ||<table align=center><table bgcolor=#ffffff> {{{#!wiki style="margin: -5px -10px" [youtube(YokKp3pwVFc)]}}} || ==== 엄밀한 증명 ==== [[삼각치환]][* [math(\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} = \dfrac{d}{dx}\arcsin{x})]]을 이용해서 증명하면 되지 않느냐며 주장하는 사람이 있는데, 그렇게 하면 문제가 생긴다. 왜냐하면, 삼각치환을 한다면 결국 삼각함수를 적분하게 되는데, 미적분학의 기본정리를 쓰지 않으려고 해도 리만 합을 구하기 힘들다는 문제에 봉착하기 때문에 [[미적분의 기본정리]]를 이용하려고 할 텐데 이러면 삼각함수의 역도함수를 구하는 방향으로 흐른다. 그렇게 되면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin{\theta}}{\theta} = 1)]}}} 임을 이용할 수밖에 없는데 이 값을 구하는 과정에 [math(\sin{\theta} \leq \theta \leq \tan{\theta})]가 포함되어 있는데 이는 원의 넓이를 알아야 증명할 수 있기 때문에 순환논증이다.[* 삼각함수의 정의를 다르게 한 경우([[수학/약어 및 기호|e.g.]] [math(\sin x = ({e^{ix} - e^{-ix}})/{2i})])는 괜찮다.] 따라서 [math(\pi)]의 값을 표현하는 정적분을 이용하여 아래와 같이 증명하자. ||<table width=100%>{{{#!folding [증명] ------- [math(\pi)]의 정의에 의하여, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \pi = \int^{1}_{-1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \,dx)]}}} 이다. 이때 [math({(1-x^2)}^{-1/2})]는 [math(y)]축 [[대칭함수]](even function)이므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \frac \pi 2 =\int^{1}_{0} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \,dx)]}}} 이다. 이제 반지름이 [math(r)]인 원의 넓이를 [math(A)]라 하자. 그러면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle A = 4\int^{r}_{0} \sqrt{r^2-x^2} \,dx)]}}} 로 표현할 수 있다.[* 이는 4분원 넓이의 4배를 의미한다.] 그렇다면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \sqrt{r^2-x^2} =\frac{r^2-x^2}{\sqrt{r^2-x^2}} \qquad (0 \leq x < r) )]}}} 이다. 한편, 미적분학의 기본정리 1에 의해 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle g(x)=\int^{x}_{0} \sqrt{r^2-t^2} \,dt)]}}} 는, [math([0,\,r])]에서 연속이므로 [math(\displaystyle \lim_{x \to r^-} g(x) = g(r) )]이므로, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \int^{r}_{0} \sqrt{r^2-x^2} \,dx &=\lim_{b \to r^-} \int^{b}_{0} \sqrt{r^2-x^2} \,dx \\ &=\lim_{b \to r^-} \int^{b}_{0} \frac{r^2-x^2}{\sqrt{r^2-x^2}} \,dx \\ &=\int^{r}_{0} \frac{r^2-x^2}{\sqrt{r^2-x^2}} \,dx \end{aligned} )]}}} 이다. 적분의 선형성에 의해 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \int^{r}_{0} \frac{r^2-x^2}{\sqrt{r^2-x^2}} \,dx=\int^{r}_{0} \frac{r^2}{\sqrt{r^2-x^2}} \,dx +\int^{r}_{0} \frac{-x^2}{\sqrt{r^2-x^2}} \,dx )]}}} 이때 우변의 첫째 항에서 [math(x=ru)]로 치환하면, [math(dx=r\,du)]이고, 적분구간은 [math([0,\,r])]에서 [math([0,\,1])]로 바뀐다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \int^{r}_{0} \frac{r^2}{\sqrt{r^2-x^2}} \,dx = r^2\int^{1}_{0} \frac{r}{\sqrt{r^2-(ru)^2}} \,du)]}}} {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle =r^2\int^{1}_{0} \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \,du = \frac \pi 2 r^2)]}}} 두 번째 항의 경우 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \frac{d}{\,dx} \sqrt{r^2-x^2}=\frac{-x}{\sqrt{r^2-x^2}})]}}} 임을 이용하자. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \int^{r}_{0} \frac{-x^2}{\sqrt{r^2-x^2}} \,dx = \int^{r}_{0} \frac{-x}{\sqrt{r^2-x^2}} \cdot x \,dx )]}}} 부분적분을 쓰면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \int^{r}_{0} \frac{-x}{\sqrt{r^2-x^2}} \cdot x\,dx &= \biggl[ x\sqrt{r^2-x^2} \biggl]^{r}_{0}-\int^{r}_{0} \sqrt{r^2-x^2}\,dx \end{aligned})]}}} 한편, 우변의 제 1항은 0이므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \int^{r}_{0} \frac{-x}{\sqrt{r^2-x^2}} \cdot x\,dx = -\int^{r}_{0} \sqrt{r^2-x^2}\,dx)]}}} 즉, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \int^{r}_{0} \frac{r^2-x^2}{\sqrt{r^2-x^2}} \,dx =\frac \pi 2 r^2-\int^{r}_{0} \sqrt{r^2-x^2} \,dx )]}}} 이때, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \int^{r}_{0} \sqrt{r^2-x^2} \,dx =\int^{r}_{0} \frac{r^2-x^2}{\sqrt{r^2-x^2}} \,dx = \frac A 4)]}}} 이므로, 이 식은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \frac A 4=\frac \pi 2 r^2-\frac A 4 \quad \to \quad A=\pi r^2 )]}}} 로 표현됨에 따라 반지름의 길이가 [math(r)]인 원의 넓이는 [math(\pi r^2)]임을 알 수 있다. }}} || 이렇게 함으로써 원주율 정적분을 계산하지 않고도 원의 넓이와 원주의 관계를 증명할 수 있다. == 원과 접선 == === 성질 === * 원의 반지름과 접선은 항상 수직으로 만난다. [[파일:나무_원_접선성질.png|width=180&align=center]] * 원 외부의 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 같다. [[파일:원_접선의 길이.png|width=240&align=center]] 즉, 위 그림의 원 외부의 한 점 [math(\mathrm{P})]에서 그은 두 접선 [math(\overrightarrow{\mathrm{PA}})], [math(\overrightarrow{\mathrm{PB}})]에 대하여, 그 접선의 길이 [math(\overline{\mathrm{PA}}=\overline{\mathrm{PB}})]가 성립한다.[* 두 삼각형 [math(\bigtriangleup \mathrm{POA})], [math(\bigtriangleup \mathrm{POB})]로 부터 [math(\angle \mathrm{OAP}=\angle \mathrm{OBP}=\pi/2)], [math(\overline{\mathrm{PO}})]는 공통, [math(\overline{\mathrm{OA}}=\overline{\mathrm{OB}})](반지름)이므로 [math(\bigtriangleup \mathrm{POA} \equiv \bigtriangleup \mathrm{POB})] ([math(\mathrm{RHS})] 합동)임을 이용하면 쉽게 증명할 수 있다. ] ==== [[사각형]]의 내접원 ==== [[파일:나무_사각형 내접원.png|width=180&align=center]] 위 그림과 같이 원이 사각형 [math(\mathrm{ABCD})]에 내접하는 상황을 고려해보자. 이때, 사각형의 각변은 원의 접선이되고, 이때 원 위에 생성되는 접점을 [math(\mathrm{P} \sim \mathrm{S})]이라 하자. 원 밖의 한 점에서 접선을 그었을 때, 접선의 길이는 같으므로 [math(\overline{\mathrm{AP}}=\overline{\mathrm{AS}})], [math(\overline{\mathrm{BP}}=\overline{\mathrm{BQ}})], [math(\overline{\mathrm{CQ}}=\overline{\mathrm{CR}})], [math(\overline{\mathrm{DR}}=\overline{\mathrm{DS}})]이 성립한다. 이 성질을 이용하면, 다음의 결과 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}+ \overline{\mathrm{CD}}=\overline{\mathrm{AD}}+ \overline{\mathrm{BC}})]}}} 를 얻는데, 이는 원이 사각형에 내접할 경우, 사각형의 마주보고 있는 두 변의 길이의 합은 일정하다는 것을 얻는다. === 접선의 방정식 === ==== 원 위의 한 점에서 접선의 방정식 ==== 중심이 원점이고, 반지름이 [math(r)]인 원을 고려하자. 이 점 위에서 접선의 기울기는 음함수의 미분으로 구할 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle 2x+2y \frac{dy}{dx}=0 \, \to \, \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y} )]}}} 이때, 만약 원 위의 점 [math((x_{1}, \, y_{1}))]을 고려하고, 이 점 위에서 접선을 구한다면, 접선의 기울기는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle 2x+2y \frac{dy}{dx}=0 \, \to \, \frac{dy}{dx}=-\frac{x_{1}}{y_{1}} )]}}} 따라서 우리는 구하는 접선을 다음과 같이 놓을 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle y-y_{1}=-\frac{x_{1}}{y_{1}}(x-x_{1}) )]}}} 이 방정식을 다시 쓰면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle xx_{1}+yy_{1}=x_{1}^{2}+y_{1}^{2} )]}}} 그런데, [math((x_{1}, \, y_{1}))]이 원 위의 점이므로 우변은 반지름의 제곱이다. 즉, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle xx_{1}+yy_{1}=r^{2} )]}}} 만약, 원의 중심이 원점에서 [math((a,\,b))]로 이동했을 때, 그 원 위의 점 [math((x_{2},\,y_{2}))] 위의 접선의 방정식을 구한다면, [math(x \to x-a)], [math(y \to y-b)]이므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle (x-a)(x_{2}-a)+(y-b)(y_{2}-b)=r^{2} )]}}} 가 된다. ==== 특정한 기울기의 접선의 방정식 ==== 이번 문단에서는 특정한 기울기의 접선의 방정식을 찾고자 한다. 만약 우리가 중심이 원점이고, 반지름의 길이가 [math(r)]인 원 위에 대해 기울기가 [math(m)]인 접선을 찾는다면, 해당 직선은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle y-mx+n=0 )]}}} 의 형태가 될 것이다. 그런데, 이 직선은 원점으로 부터 [math(r)]만큼 떨어져있으므로 다음이 성립한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \frac{|n|}{\sqrt{m^{2}+1}}=r \, \to \, n=\pm r\sqrt{m^{2}+1} )]}}} 이상에서 우리가 구하는 접선은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle y=mx\pm r\sqrt{m^{2}+1} )]}}} 임을 얻는다. 만약, 원의 중심이 원점에서 [math((a,\,b))]로 이동한다면, [math(x \to x-a)], [math(y \to y-b)]이므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle y=m(x-a)\pm r\sqrt{m^{2}+1}+b )]}}} 가 된다. == 두 원의 위치 관계 == 반지름이 각각 [math(r)], [math(r')](단, [math(r \geq r')])이고, 원의 중심이 각각 [math(\mathrm{O})], [math(\mathrm{O'})]인 원을 고려하자. 이 두 원의 위치 관계는 아래와 같이 총 6개 존재한다. 이때, [math(d)]는 두 원의 중심 사이의 거리 [math(\overline{\mathrm{OO'}})]이다. * '''만나지 않는 경우 ''' * 외부에서 만나지 않음 * [math(r+r'<d)]인 경우 [[파일:namu_두 원의 위치 관계_1.png|height=150&align=center]] * 내부에 포함 * [math(r-r'>d)]인 경우 [[파일:namu_두 원의 위치 관계_2.png|height=150&align=center]] * 동심원[* 두 원의 중심이 같은 원] * [math(d=0)]인 경우 [[파일:namu_두 원의 위치 관계_3.png|height=150&align=center]] * '''접하는 경우(한 점에서만 만나는 경우)''' * 외접 * [math(r+r'=d)]인 경우 [[파일:namu_두 원의 위치 관계_4.png|height=150&align=center]] * 내접 * [math(r-r'=d)]인 경우 [[파일:namu_두 원의 위치 관계_5.png|height=150&align=center]] * '''두 점에서 만나는 경우''' * [math(r-r'<d<r+r')]인 경우 [[파일:namu_두 원의 위치 관계_6.png|height=150&align=center]] === 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식 === 좌표평면 위에서 두 원 [math(x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0)]과 [math(x^{2}+y^{2}+A'x+B'y+C'=0)]을 고려해보자. 이 두 원의 교점을 [math((\alpha,\,\beta))]라 놓으면, 교점에서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \alpha^{2}+\beta^{2}+A\alpha+B\beta+C&=0 \\ \alpha^{2}+\beta^{2}+A'\alpha+B'\beta+C'&=0 \end{aligned} )]}}} 이 성립한다. 다음과 같은 도형 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle (x^{2}+y^{2}+Ax+By+C)+k(x^{2}+y^{2}+A'x+B'y+C')=0 )] (단, [math(k \neq -1)])}}} 을 고려해보도록 하자. 이 도형은 이차항의 계수가 모두 같으므로 좌표평면 상 원을 기술한다고 볼 수 있다. 이 도형에 두 원의 교점을 대입하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle (\alpha^{2}+\beta^{2}+A\alpha+B\beta+C)+k(\alpha^{2}+\beta^{2}+A'\alpha+B'\beta+C')=0 )]}}} 이고, 이는 임의의 [math(k)]의 값에 관계 없이 항상 성립한다. 즉, 위 도형은 [math(k)]의 값에 관계 없이 항상 두 원의 교점을 지남을 알 수 있다. 참고적으로 [math(k=-1)]일 때는 이차항이 상쇄되기 때문에 위 도형은 직선이 되므로 이를 제외해야 한다. === 공통현의 방정식 === 공통현이란 두 원의 두 교점을 지나는 직선이다. 이는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle (x^{2}+y^{2}+Ax+By+C)+k(x^{2}+y^{2}+A'x+B'y+C')=0 )]}}} 의 도형이 좌표평면 위에 두 원 [math(x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0)]과 [math(x^{2}+y^{2}+A'x+B'y+C'=0)]의 교점을 지나는 도형임을 생각하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle (x^{2}+y^{2}+Ax+By+C)-(x^{2}+y^{2}+A'x+B'y+C')=0 )]}}} 으로 구해짐을 쉽게 알 수 있다. 이를 정리하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle (A-A')x+(B-B')y+C-C'=0 )]}}} 으로 쓸 수 있다. == 기타 성질 == === 원과 직선의 관계 === 우리는 임의의 직선 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle y-mx-n=0 )]}}} 이 원 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2} )]}}} 과 어떤 관계에 있는지 조사해보고자 한다. 이것은 다음의 순서를 따른다. ||<table width=100%> 1. '''우선 직선의 방정식을 한 변수에 대하여 정리하라.''' 1. 1'''에서 정리한 직선을 원의 방정식에 대입하고, 적절히 이항하여, 이차 방정식을 만든다.''' 1. 2'''에서 나온 이차방정식에 판별식을 적용한다.''' || 3의 과정에서 판별식의 부호에 따라 다음을 얻는다: * '''판별식의 부호가 양이다''' : 원과 직선은 두 점에서 만난다. * '''판별식이 0이다''' : 원과 직선은 접한다.(즉, 원과 직선은 한 점에서 만난다.) * '''판별식의 부호가 음이다''' : 원과 직선은 만나지 않는다. 아래의 그림을 참조하라: [[파일:나무_원_방정식_직선과의 관계.png|width=190&align=center]] === 현의 수직이등분선 === [[파일:나무_원_할선이등분선.png|width=180&align=center]] 위의 그림과 같이 현 [math(\mathrm{AB})]를 고려하고, 원의 중심 [math(\mathrm{C})]에서 현에 내린 수선의 발을 [math(\mathrm{H})]라 하자. 우리는 현과 원이 만나는 두 점에 반지름을 긋자 그렇다면, 삼각형 [math(\mathrm{CAH})]와 삼각형 [math(\mathrm{CHB})]의 직각 삼각형이 나타난다. 이때, 선분 [math(\mathrm{CH})]는 공통이고, 선분 [math(\mathrm{CA})], 선분 [math(\mathrm{CB})]는 반지름이므로 길이는 같다. 따라서 삼각형 [math(\mathrm{CAH})]와 삼각형 [math(\mathrm{CHB})]는 [math(\mathrm{RHS})]합동이므로 다음이 성립한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \overline{\mathrm{AH}}=\overline{\mathrm{HB}} )]}}} 이상에서 다음을 얻는다. ||<table width=100%> '''원의 중심에서 현에 내린 수선의 발은 현을 수직이등분한다.''' || 위의 결과로 부터 현의 길이를 구하는 공식을 유도할 수 있는데, 반지름을 [math(r)]이라 하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \overline{\mathrm{AH}}=r\sin{\left( \frac{\angle \mathrm{ACB}}{2} \right)} )]}}} 따라서 [math(\displaystyle \overline{\mathrm{AH}}=\overline{\mathrm{HB}} )]이므로 현의 길이는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle 2r\sin{\left( \frac{\angle \mathrm{ACB}}{2} \right)} )]}}} 임을 알 수 있다. [math(\angle \mathrm{ACB} \equiv \alpha)]라 쓰고, 이것이 곧 현과 만나는 두 점과 원의 중심점 사이의 사잇각이라하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle 2r\sin{\left( \frac{\alpha}{2} \right)} = r\,\mathrm{crd}\,\alpha )]}}} 으로 쓸 수 있다. === 삼각형과 원 === * [[외심]] * [[내심]] * [[방심]] === 사각형과 원 === * 원이 사각형에 내접할 경우, 사각형의 마주보고 있는 두 변의 길이의 합은 일정하다.[*역 역 성립] * 원에 내접하는 사각형의 마주보는 내각의 크기는 [math(\pi)]가 된다.[*A [[원주각]] 문서 참조.][*역] * 원에 내접하는 사각형의 한 외각의 크기와 내대각의 크기는 같다.[*A][*역] === [[원주각]] === [include(틀:상세 내용, 문서명=원주각)] === [[사인 법칙]] === [include(틀:상세 내용, 문서명=사인 법칙)] === 등주 곡선 === * 원은 길이가 같은 폐곡선들 중 가장 큰 넓이를 갖는다. 반대로 넓이가 같은 폐곡선들 중 가장 짧은 둘레를 갖는다. == 확장 == 원의 정의를 확장해서, [math(n)]차원 공간에서 한 점으로부터 특정 거리만큼 떨어진 점들의 집합 [math(S^{n-1}:=\left\{x\in\mathbb{R}^n:\left\Vert x\right\Vert=1\right\})]을 [math(n)]차원 원이라고 부른다. 간단한 예시를 들자면 구(Sphere)는 2차원 원[* 도형 자체는 3차원이지만 거리가 2개이기 때문에 2차원 원이다.]으로 [math(S^{2})]이고, 1차원 원은 특정한 점으로부터 특정 거리만큼 떨어진 두 개의 점으로 정의된다. 4차원 이상인 경우 [math(n)]차원 원을 그냥 '원'이라고 불러도 보통은 문맥상 의미가 통하지만, 3차원 공간인 경우 반드시 '구'라고 불러야 3차원 원을 지칭한다. 2차원 원 [math(S^{1})]은 흔히 생각하는 그 원으로, [math(\mathbb{C})]의 부분집합으로 생각할 수 있다([math(S^{1})]의 원소 [math(\left(x,\,y\right))]를 [math(\mathbb{C})]의 [math(x+yi)]에 대응시키면 된다. [[복소평면]]을 생각하면 아주 당연한 대응이다). 이렇게 생각하면, [math(S^{1})] 자체는 하나의 가환군이된다. 대수적 [[위상수학]]에서 기본군을 계산하는 가장 간단한 예가, [math(S^{1})]으로 [math(\pi_{1}(S^{1})=\mathbb{Z})]이다. == 기타 == * 원을 잘 그리면 [[변태]]라는 우스갯소리가 있다. * 원은 [[타원]]의 특수한 경우로 간주할 수 있다. 타원의 정의는 '평면 상의 두 정점으로부터 거리의 합이 일정한 점들의 집합'인데, 이 때 기준이 되는 두 정점의 위치가 동일한 경우 원이 된다. == 관련 문서 == * [[수학 관련 정보]] * [[기하학]] * [[도형]] * [[구(도형)]]: 원의 2차원 확장 * [[초구#s-2]]: 원의 [math(n)]차원 확장 * [[푸앵카레 원반]]: 원에 [[비유클리드 기하학#s-2|쌍곡 공간]]을 사영한 것 [각주] [include(틀:문서 가져옴, title=원, version=76)]