[목차] == 개요 == {{{+1 conic section · [[圓]]錐[[曲]][[線]]}}} '''원뿔곡선'''은 위 아래로 연장된 직원뿔을 평면으로 잘랐을 때 나오는 곡선을 의미한다. 종류로는 [[원(도형)|원]], [[타원]], [[포물선]], [[쌍곡선]]이 있다. == 특징 == 그리스 수학자 아폴로니우스(Apollonius of Perga)에 의해 연구되었다. 후대에 [[해석 기하학]]의 발전으로 이 곡선들이 정확히 [math(x)]와 [math(y)]에 대한 일반적인 이차곡선, 즉, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey +F = 0 )]}}} 꼴로 표현됨이 증명되었고, 원뿔곡선과 이차곡선이 구분없이 쓰이게 되었다.[* 참고로 일반적인 이차곡선의 개형이 될 수 있는 것은 다음과 같다: 타원, 쌍곡선, 포물선, 두 교차하는 직선(축퇴 쌍곡선), 두 평행한 직선(축퇴 포물선), 한 직선(축퇴), 한 점, 없음.] 위에서 [math(A \sim F)]는 상수이며, [math(A\sim C)] 중 적어도 하나는 0이 아니다. ||<tablealign=center><bgcolor=#ffffff><table width=300> {{{#!wiki style="margin: -5px -10px" [[파일:원뿔곡선.png|width=100%&align=center]]}}} || || '''원뿔곡선의 모습''' || 아폴로니우스는 원뿔면과 절단면이 이루는 각도를 기준으로, 원뿔곡선을 [[타원]], [[포물선]], [[쌍곡선]]의 세 종류로 다음과 같이 분류하였다. * '''①''': 절단면과 원뿔면이 평행하면 '''[[포물선]]'''을 잘라낸다. * '''②''': 절단면이 원뿔면보다 더 기울어져 있으면 '''[[타원]]'''을 잘라낸다. 닫힌 곡선 하나의 형태로 나타난다. [[원(도형)|원]]은 타원의 특수한 형태로, 절단면이 원뿔의 회전중심과 수직할 때 나타난다. * '''③''': 절단면이 원뿔면보다 덜 기울어져 있으면 '''[[쌍곡선]]'''을 잘라낸다. 직원뿔의 위아래에서 모두 곡선을 잘라내고, 따라서 쌍곡선은 말굽 형태의 곡선 둘이 마주보는 형태이다. 참고로 타원, 포물선, 쌍곡선의 영명인 ellipse, parabola, hyperbola도 아폴로니우스의 작명으로, '모자란', '알맞은', '넘는'의 뜻을 담아 지은 것이다.[* 영단어 Hyperbole이 '과장'의 뜻임을 생각해 보자.] == 종류 == [include(틀:원뿔곡선)] 아폴로니우스는 다음과 같은 정의를 도출하였다. * '''[[포물선]]''': 평면 상의 어떤 직선과의 거리와 정점으로부터의 거리가 서로 같은 점들의 집합 * '''[[타원]]''': 평면의 두 정점으로부터 거리의 합이 일정한 점들의 집합 * '''[[원(도형)|원]]''': 평면 상에서 한 정점으로부터 특정 거리만큼 떨어진 점의 집합 * '''[[쌍곡선]]''': 평면상의 고정된 두 정점으로부터 거리의 차가 일정한 점들의 집합 === 그 외의 이차곡선 === * '''1개의 점(퇴화 타원)''': 원뿔곡선의 점점(원점)과 평면이 가로로 만나면 점이 된다. 예를 들어 [math(\displaystyle x^2 + y^2 = 0)] 의 경우 * '''1개의 직선(퇴화 포물선)''': 원뿔곡선에 평면이 접하면 직선이 된다. 예를 들어 [math(\displaystyle x^2 + 2xy + y^2 = 0)] 의 경우 * '''2개의 교차하는 직선(퇴화 쌍곡선)''': 원뿔곡선의 점점(원점)과 평면이 수직으로 만나면 2개의 직선이 된다. 예를 들어 [math(\displaystyle x^2 - y^2 = 0)] 의 경우 * '''2개의 평행하는 직선(퇴화 포물선)''': [math(\displaystyle Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey +F = 0 )] 형식인 또다른 경우도 있다. 예를 들어 평행하는 2개의 직선 [math(\displaystyle x + y = 0)] 과 [math(\displaystyle x + y + 1 = 0)] 을 서로 곱하면 [math(\displaystyle x^2 + 2xy + y^2 + x + y = 0 )] 이 되는데, 이는 2개의 평행하는 직선을 나타낸다. 하지만, 원뿔곡선의 정의로는 만들어 질 수 없다. * '''없음(허상)''': 예를 들어 [math(\displaystyle x^2 + y^2 + 1 = 0 )] 이 식으로 표현되는 실수 해는 존재하지 않는다. 이 경우도, 원뿔곡선의 정의로는 만들어 질 수 없다. === 3차원 확장 === * '''[[구(도형)|구]]''': 모든 방향에서 절단 시 원이 되는 곡면 * '''[[타원면]]''': 모든 방향에서 절단 시 타원이 되는 곡면 * '''[[타원포물면]]''': [math(x)], [math(y)]축 방향에서 절단 시 포물선, [math(z)]축 방향에서 절단 시 원 또는 타원이 되는 곡면 * '''[[https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperboloid|쌍곡면]]''': [math(x)], [math(y)]축 방향에서 절단 시 쌍곡선, [math(z)]축 방향에서 절단 시 원 또는 타원이 되는 곡면 * '''[[쌍곡포물면]]''': [math(x)], [math(y)]축 방향에서 절단 시 포물선, [math(z)]축 방향에서 절단 시 쌍곡선이 되는 곡면 퇴화 형태는 다음과 같다. * '''[[원기둥]](퇴화 타원포물면)''' * '''타원기둥(퇴화 타원포물면)''' * '''원뿔면(퇴화 쌍곡면)''': 원뿔 두 개를 뾰족한 쪽으로 맞닿게 하는 곡면. 이 문서 상단에서 원뿔곡선을 정의하는 곡면이기도 하다. * '''포물기둥(퇴화 쌍곡포물면)''' * '''쌍곡기둥(퇴화 쌍곡포물면)''' == 직교좌표계에서 이차곡선의 표준화 == 일반적인 이차곡선의 식 (단, [math(ABC \neq 0)]) {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \Phi(x,\,y) = Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey +F = 0 )]}}} 은 선형대수학 관점에서 다음처럼 요약될 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \mathbf{ x^{t}} \boldsymbol{\mathsf{A}} \mathbf{x} + \mathbf{b^t x} + f = 0)],}}} 이때, 다음이 성립한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \begin{aligned} \displaystyle {\bf x} &= \begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix}\\ \boldsymbol{\mathsf{A}} &= \begin{bmatrix}A & B/2 \\ B/2 & C\end{bmatrix} \\ {\bf b} &= \begin{bmatrix}D \\ E\end{bmatrix} \end{aligned} )]}}} 대칭행렬의 [[스펙트럼 정리]]를 생각하면 이차형식의 행렬 [math(\boldsymbol{\mathsf{A}})]을 직교 회전변환을 통해 대각행렬로 변환시킬 수 있고, 즉 이 변환을 통해 [math(b=0)]으로 만들어 줄 수 있다는 것을 의미한다. 직교 회전변환에 쓰이는 회전각 [math(\theta)]는 직접 계산을 하지 않고 다음의 공식으로 얻을 수도 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \cot{2 \theta} = \frac{A-C}{B} \qquad \left( -\frac{\pi}{4} \le \theta < \frac{\pi}{4} \right) )]}}} 이후에는 대각화된 [math(a,c)]의 부호가 같냐, 하나가 0이냐, 다르냐에 따라서 각각 타원, 포물선, 쌍곡선의 표준화 작업을 거치면 된다. 이를 좀 더 일반적으로 본다면 회전변환에 대해 불변인 '''판별식'''(discriminant) [math(\mathfrak{D})][* 상수 [math(D)]와의 구분을 위해 [[블랙 레터]]를 썼다.][math(=B^2-4AC)]의 부호에 따라서 크게 다음처럼 분류된다. * [math(\mathfrak{D}<0)]: 타원 혹은 축퇴형(한 점) 혹은 허타원(없음) * [math(\mathfrak{D}=0)]: 포물선 혹은 축퇴형(두 평행한 직선, 이중 직선, 없음) * [math(\mathfrak{D}>0)]: 쌍곡선 혹은 축퇴형(두 교차하는 직선) 축퇴(degeneracy)의 정확한 정의는 이차곡선의 식 [math(\Phi)]가 복소수 범위 내에서 인수분해되는 것을 말하고, 이에 대해서는 (즉 [math(y)]에 대해 판별식을 취하고 다시 [math(x)]에 대해 판별식을 취한) 이중 판별식 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \frac{1}{16} \mathfrak{D}_x \mathfrak{D}_y \Phi(x,\,y)= (B^2 - 4 AC) F+ AE^2 -BDE + CD^2)] }}} 의 값이 0일 때 정확히 축퇴가 된다는 판별법이 있다. == 극좌표계에서 원뿔곡선 == 이 문단에서는 극좌표계에서 원뿔곡선은 어떻게 표현되는지 알아볼 것이다. 들어가기 앞서 우리는 가장 간단한 케이스인 곡선의 초점이 원점에 있는 경우만 다룰 것이다. === 이심률 === 원뿔곡선에 해당되는 곡선들은 공통적으로 한 가지 특징이 있으며, 곡선 위의 점 [math(\mathrm{P})]가 있고, 점 [math(\mathrm{P})]에서 준선에 내린 수선의 발을 [math(\mathrm{H})]라고 하자. 또한, 초점을 [math(\mathrm{F})]라 하면, 원뿔곡선은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{PF} }}{\overline{\mathrm{PH} }}={\sf const.} )]}}} 을 만족한다. 따라서 두 선분 길이의 비를 이심률 [math(e)][* '''e'''ccentricity의 머릿글자에서 따왔다. 표기가 같은 [[자연로그의 밑]]과 혼동하지 말 것.]라 정의하는데, 즉, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle e := \frac{\overline{\mathrm{PF} }}{\overline{\mathrm{PH} }} )]}}} 이다. 수학적으로 다음이 밝혀져있다. * [math(e=0)]: [[원(도형)|원]] * [math(0<e<1)]: [[타원]] * [math(e=1)]: [[포물선]] * [math(e>1)]: [[쌍곡선]] === 원뿔곡선의 극방정식 === ==== 유도 ==== 들어가기 앞서 다음을 약속한다. * '''점 [math(\mathbf{P})]''': 원뿔곡선 위의 점 * '''점 [math(\mathbf{F})]''': 원뿔곡선의 초점이자 원점 * '''점 [math(\mathbf{H})]''': 점 [math(\mathrm{P})]에서 준선에 내린 수선의 발 * '''점 [math(\mathbf{A})]''': 점 [math(\mathrm{P})]에서 축에 내린 수선의 발 * '''점 [math(\mathbf{B})]''': 축과 준선의 교점 * [math(p>0)] '''[1] 준선이 [math(\boldsymbol{x=p})]인 경우''' [[파일:나무_원뿔곡선_극방정식_1.png|width=150&align=center]] [math(\displaystyle \overline{\mathrm{PH}}=\overline{\mathrm{FB}}-\overline{\mathrm{FA}} =p-r\cos{\theta} )]이므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle e := \frac{\overline{\mathrm{PF} }}{\overline{\mathrm{PH} }}=\frac{r}{p-r\cos{\theta}} )]}}} 이다. 위 식을 정리하면 아래와 같은 극방정식을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle r=\frac{ep}{1+e\cos{\theta}} )]}}} '''[2] 준선이 [math(\boldsymbol{x=-p})]인 경우''' [[파일:나무_원뿔곡선_극방정식_2.png|width=150&align=center]] [math(\displaystyle \overline{\mathrm{PH}}=\overline{\mathrm{FB}}+\overline{\mathrm{FA}} =p+r\cos{\theta} )]이므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle e := \frac{\overline{\mathrm{PF} }}{\overline{\mathrm{PH}} } = \frac{r}{p+r\cos{\theta} })]}}} 이다. 위 식을 정리하면 아래와 같은 극방정식을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle r=\frac{ep}{1-e\cos{\theta}} )]}}} '''[3] 준선이 [math(\boldsymbol{y=p})]인 경우''' [[파일:나무_원뿔곡선_극방정식_3.png|width=145&align=center]] [math(\displaystyle \overline{\mathrm{PH}}=\overline{\mathrm{FB}}-\overline{\mathrm{FA}} =p-r\sin{\theta} )]이므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle e := \frac{\overline{\mathrm{PF} }}{\overline{\mathrm{PH}} }=\frac{r}{p-r\sin{\theta} } )]}}} 이다. 위 식을 정리하면 아래와 같은 극방정식을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle r=\frac{ep}{1+e\sin{\theta}} )]}}} '''[4] 준선이 [math(\boldsymbol{y=-p})]인 경우''' [[파일:나무_원뿔곡선_극방정식_4.png|width=145&align=center]] [math(\displaystyle \begin{aligned} \overline{\mathrm{PH}}=\overline{\mathrm{FB}}+\overline{\mathrm{FA}} =p+r\sin{\theta} \end{aligned} )]이므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle e := \frac{\overline{\mathrm{PF}} }{\overline{\mathrm{PH}} } = \frac{r}{p+r\sin{\theta} } )]}}} 이다. 위 식을 정리하면 아래와 같은 극방정식을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle r=\frac{ep}{1-e\sin{\theta}} )]}}} ==== 종합 ==== 이상에서 초점이 원점인 원뿔곡선의 극방정식은 아래와 같이 나타낼 수 있다. * '''준선이 [math(\boldsymbol{x=\pm p\,(p>0)})]인 경우''' {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle r=\frac{ep}{1 \pm e\cos{\theta}} \quad)]([[복부호 동순]])}}} * '''준선이 [math(\boldsymbol{y=\pm p\,(p>0)})]인 경우''' {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle r=\frac{ep}{1 \pm e\sin{\theta}}\quad)]([[복부호 동순]])}}} 아래는 준선이 [math(x=1)]일 때, 세 가지 이심률에 대해 나타나는 곡선을 그래프로 그린 것이다. [[파일:namu_원뿔곡선_케이스_new.png|width=280&align=center]] 이와 같이 [math(e=0.5<1)]일 때는 [[타원]]이, [math(e=1)]일 때는 [[포물선]]이, [math(e=1.5>1)]일 때는 [[쌍곡선]]이 된다. == 기타 == * 대한민국 고등학교 수학 교육과정에서는 모든 원뿔곡선을 다 배운다.[* 하지만 2020년 10월 15일 기준, 2015년 개정교육과정에서는 기하(기존 기하와 벡터)를 진로선택과목으로 바꿨고 이에 따라 수능 직접출제범위에서 벗어나기 때문에 학생들이 심도 있게 공부할 기회가 훨씬 적어진 것 같다.] 다만, 배우는 학년은 다르다.[* 과거에는 이 네 가지를 모두 고1 때 배웠으나 5차 교육과정 이후 타원과 쌍곡선, 6차 교육과정 이후 포물선이 올라가 고1 때는 원만 배운다.] * 뉴턴의 만유인력의 법칙을 따르는 행성의 궤도를 계산하면 항상 이차곡선이 된다.[* 정확히 말하면 역제곱 중심력장 안에서 외력이 작용하지 않은 물체는 이차곡선의 궤도를 따라야만 한다.] 행성의 공전 속도를 [math(v)], 항성을 중심으로 한 원운동 속도를 [math(v_1)], 항성에 대한 탈출 속도를 [math(v_2)]라 할 때, [math(v=v_1)]이면 궤도는 원이 되고, [math(v_1<v<v_2)]이면 타원, [math(v=v_2)]이면 포물선, [math(v>v_2)]이면 쌍곡선이 된다. 이로서 모든 행성이 타원 궤도를 그리며 공전한다는 [[요하네스 케플러|케플러]]의 1법칙이 설명된다. * 파라볼라(parabola) [[안테나]]가 포물선 모양으로 만들어진 것은, 포물면을 향해 똑바로 들어오는 선들은 반사되어 모두 초점으로 모인다는 기하학적 성질을 응용한 것이다. * 재미있는 사실 중 하나로, '''[[타원]]은 초등함수로 길이를 나타낼 수 없다.''' 타원의 둘레를 구하기 위한 적분에서 유래한 것이 그 유명한 [[타원곡선]]이다. == 관련 문서 == * [[수학 관련 정보]] * [[기하학]] * [[해석 기하학]] * [[포물선]], [[타원]], [[원(도형)|원]], [[쌍곡선]] [각주] [include(틀:문서 가져옴, title=긴반지름, version=29)] [include(틀:문서 가져옴, title=짧은반지름, version=28)] [[분류:수학]][[분류:기하학]][[분류:나무위키 수학 프로젝트]]