[[분류:수학 용어]][[분류:한자어]][[분류:수열]][[분류:나무위키 수학 프로젝트]] [include(틀:이산수학·수리논리학)] [목차] == 개요 == '''염주순열'''([[念]][[珠]][[順]][[列]])은 [[원순열]]을 그대로 뒤집었을 때 같은 것은 하나로 보는 [[순열]]을 말한다. 곧, 회전하는 것뿐 아니라 뒤집어서 나오는 모양까지 모두 같은 것으로 보아 경우의 수를 세는 순열이다. '''목걸이 순열'''이라고도 하는데, 염주, 목걸이, 팔찌 등은 뒤집는다고 하여 그 대상의 본질이 변하지는 않으므로 이러한 이름이 붙었다. == 공식 == 어떤 원순열을 뒤집으면 '''하나의 새로운 모양'''이 나온다. 다시 말해 원래 모양과 뒤집은 모양이 '''쌍'''을 이룬다. 곧, 뒤집어서 나오는 모양을 모두 같은 것으로 보는 염주순열에서는 '''한 쌍이 한 가지 경우의 수'''가 되므로 경우의 수는 '''원순열의 절반'''이다. ||<tablewidth=100%>[math(n)]개의 서로 다른 구슬로 염주를 만드는 경우의 수는 [math(\dfrac{(n-1)!}2\;(n\geq 3))]이다.|| 그러나 위 식대로라면 [math(n=1)], [math(n=2)]인 경우에는 염주순열의 값이 [math(\boldsymbol{1/2})]이 되어 버리는 이상한 상황이 나온다. 실제로는 한 개 혹은 두 개의 구슬로 염주를 만드는 경우의 수는 [math(1)]임을 직관적으로 알 수 있는데, [math(1/2)]보다 크거나 같은 정수의 최솟값은 [math(1)]이기에 위 식에 [[최소 정수 함수]]를 취하면 하나의 예외도 없이 일반화되어 이 문제는 해결된다. ||<tablewidth=100%>[math(n)]개의 서로 다른 구슬로 염주를 만드는 경우의 수는 [math(\left\lceil\dfrac{(n-1)!}2\right\rceil)]이다.|| == 예제 == 〈교육부 고시 제2015-74호 [별책 8] 수학과 교육과정〉 p. 97에서 '''''염주순열'과 '같은 것이 있는 원순열'은 다루지 않는다.''''로 명시하고 있으나 '간접적으로'는 다루고 있다. 그 대표적인 예는 '정(직)육면체에 숫자 쓰기(색칠하기)'이다. 일부 참고서와 교과서를 제외하면 해당 유형 문제는 거의 보이지 않는다. === 정육면체에 숫자 쓰기 === ||<tablewidth=100%>'''[문제]''' ---- 정육면체의 각 면에 1, 2, 3, 4, 5를 적어도 한 번 쓰는 경우의 수를 구하시오. || {{{#!folding [풀이 보기] 다섯 개의 숫자를 적어도 한 번 쓴다면 어느 한 숫자는 두 번 써야 한다. 그렇다면 1을 두 번 쓰는 경우의 수를 구하고 5배를 하면 된다. '''[1] 두 밑면에 1을 쓰는 경우''' 위아래로 뒤집어도 같으므로 '''염주순열'''로 간주하면 [math({(4-1)!}/2=3)] '''[2] 인접한 두 면에 1을 쓰는 경우''' 1을 쓴 뒤 2를 쓰는 경우의 수는 1을 쓴 두 면과 '''모서리 하나'''를 공유하는 면에 쓰는 경우와 '''모서리 둘'''을 공유하는 면에 쓰는 경우 '''두 가지'''이다. 각 경우마다 나머지 숫자 3개를 배치하는 경우의 수 [math(3!)]이 있으므로 총 [math(2\times 3!=12)] 따라서 1을 두 번 쓰는 경우의 수는 [math(3+12=15)]이므로 구하는 전체 경우의 수는 [math(15\times 5=75)]}}} === 직육면체에 숫자 쓰기 === ||<tablewidth=100%>'''[문제]''' ---- 두 밑면만이 정사각형인 직육면체의 각 면에 1부터 6까지의 숫자를 쓰는 경우의 수를 구하시오. || {{{#!folding [풀이 보기] 예를 들어 두 밑면에 1과 2를 쓰고 위아래로 뒤집으면 같으므로 '''염주순열'''이 된다. 따라서 한 밑면 경우의 수 [math(\times)] 다른 밑면 경우의 수 [math(\times)] 옆면 경우의 수(원순열) [math(\times 1/2)] 구하는 전체 경우의 수는 [math(6\times 5\times(4-1)!\times 1/2=90)]}}}