[include(틀:해석학·미적분학)] [include(틀:기하학·위상수학)] [목차] == 개요 == {{{+1 continuous function · 連續函數}}} '''연속함수'''란 [[함수]]의 일종으로, 변수의 연속적인 변화에 따라 함숫값이 연속적으로 변하는 함수를 일컫는다. 연속함수는 일반 [[위상수학]], [[해석학(수학)|해석학]] 등에서 주로 사용하는 수학적 도구이다.[* 단, [[해석학(수학)|해석학]]은 수치화한 연속과 연산을 병행하는 학문이기 때문에 순수한 연속성만을 다루는 경우는 적다. 특히 '''[[미분]]'''에 대해 다루려면 연속만으로는 모자라며(후술하겠지만 [[병리적 함수|연속이지만 미분불가능한 함수]]도 있다.), 함수의 연속과 '''[[적분]]'''가능성은 필요조건 관계도 아니다. 그래서 해석학에서는 연속함수 조건을 강화하여 미분가능한 함수(Differentiable function), 균등연속함수(Uniformly continuous function), 해석함수(Analytic function)등을 사용한다.] == 정의 == === 실함수의 연속 === ==== 고교 교육과정 하에서의 정의 ==== ||<tablewidth=100%><(> '''[ 정의 ]''' 함수 [math(f(x))]가 실수 [math(a)]에 대하여 * [math(\displaystyle\lim_{x\to a-}f(x)=\lim_{x\to a+}f(x)=f(a))] 이면 [math(f(x))]는 '''[math(x = a)]에서 연속'''([math(f(x))] is '''continuous at [math(x = a)]''')이라고 한다. 특히, 함수 [math(f(x))]가 '''실수 전체의 집합'''에서 연속이면, [math(f)]를 '''연속함수(continuous function)'''라고 한다. || 다시 말해서 어떤 점에서 좌극한, 우극한, 함숫값이 모두 존재하면서 값이 같으면 연속이라는 뜻이다. ||<tablewidth=100%><(> '''[ 정의 ]''' 실수 위에서 정의된 함수 [math(f: \mathbb R \to \mathbb R)]가 다음 성질을 만족시킬 때, [math(f(x))]는 '''[math(x = a)]에서 연속'''([math(f(x))] is '''continuous at [math(x = a)]''')이라고 한다. * 함수 [math(f(x))] 가 [math(x = a)]에서 [[잘 정의됨|잘 정의되어 있다]]. * 극한 [math(\lim \limits_{x \to a} f(x))]가 존재한다. * [math(\lim \limits_{x \to a} f(x) = f(a))] 만약 세 조건 중 단 하나라도 만족시키지 않으면, [math(f(x))]는 '''[math(x = a)]에서 불연속'''([math(f(x))] is '''discontinuous at [math(x = a)]''')이라고 한다. 특히, 함수 [math(f(x))]가 모든 [math(x = a \in \mathbb R)]에서 연속이면, [math(f)]를 '''연속함수(continuous function)'''라고 한다. || 직관적으로, 어떤 함수가 '연속이다'라고 말하려면 함수가 끊어짐이 없이 부드럽게 그려져야 한다. 하지만 '부드럽게' 등은 전혀 수학적이지 못한 정의이므로, 고교 수준에서는 [[극한]]을 이용한 정의를 도입한다. ==== [[엡실론-델타 논법]]을 사용한 정의 ==== ||<tablewidth=100%><(> '''[ 정의 ]''' 실수 위에서 정의된 함수 [math(f: \mathbb R \to \mathbb R)]가 다음 성질을 만족시킬 때, [math(f(x))]는 '''[math(x = a)]에서 연속'''([math(f(x))] is '''continuous at [math(x = a)]''')이라고 한다. * 임의의 실수 [math(\varepsilon > 0)]에 대하여, 다음을 만족시키는 실수 [math(\delta > 0)]가 존재한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [math(0<\lvert x - a \rvert < \delta \ \Rightarrow \ \lvert f(x) - f(a) \rvert < \varepsilon)]}}}그렇지 않다면, [math(f(x))]는 '''[math(x = a)]에서 불연속'''([math(f(x))] is '''discontinuous at [math(x = a)]''')이라고 한다. 특히, 함수 [math(f(x))]가 모든 [math(x = a \in \mathbb R)]에서 연속이면, [math(f)]를 '''연속함수(continuous function)'''라고 한다. || 위 '고교과정 하에서의 정의'에서 애매한 부분이었던 [[극한]] 관련 서술을 [[엡실론-델타 논법]]으로 보강한 정의. 보통 이과 학생들이 대학교에서 처음 배우는 [[미적분학]]에서 연속을 정의하는 방식이다. ||<tablewidth=100%><(> '''[ 정의 ]''' 실수의 부분집합 [math(X \subset \mathbb R)]에서 정의된 함수 [math(f: X \to \mathbb R)]가 주어져 있다고 하자. [math(a \in X)]에 대하여 * [math(a)]가 집합 [math(X)]의 고립점(isolated point)이라면, 함수 [math(f(x))]는 [math(x = a)]에서 연속인 것으로 '''정의'''한다.[* 고립점에서는 [[극한]]이 정의되지 않기 때문.] * [math(a)]가 [math(X)]의 극한점(limit point)이라면, * [math(\lim \limits_{x\to a} f(x) = f(a))]일 때 [math(f(x))]는 '''[math(x = a)]에서 연속'''([math(f(x))] is '''continuous at [math(x = a)]''')이라고 한다. * [math(\lim \limits_{x\to a} f(x) \neq f(a))]일 때 [math(f(x))]는 '''[math(x = a)]에서 불연속'''([math(f(x))] is '''discontinuous at [math(x = a)]''')이라고 한다. 특히, 함수 [math(f(x))]가 모든 [math(x = a \in X)]에서 연속이면, [math(f)]를 '''연속함수(Continuous function)'''라고 한다. || 위의 정의를 실수의 일반적인 부분집합 [math(X \subset \mathbb R)]로 확장한 것이다. 주의할 점은, [math(a \notin X)]일 때 함수 [math(f)]는 '''정의하지 않는다고 해서 연속, 불연속을 따질 수 없는 것이 아니다'''. 예를 들어 [math(\mathbb R - \left\{ 0 \right\})]에서 정의된 함수 [math(x \mapsto \dfrac 1x)]는 '''불연속함수'''이다. 입실론-델타 논법의 수식 자체를 잘못 이해해서 특정 지점에서 정의되지 않는 함수는 연속 여부 자체를 말할 수 없다고 생각하는 경우가 있는데, 델타의 정의에서 볼 수 있듯이 특정 지점의 근방에서 정의되면 그 근방의 성질로 연속 여부를 판별 할 수 있다. === 거리공간에 주어진 함수의 연속 === ||<tablewidth=100%><(> '''[ 정의 ]''' 두 거리공간 [math((X, d_X))]와 [math((Y, d_Y))] 사이에 정의된 함수 [math(f: X \to Y)]가 다음 성질을 만족시킬 때, [math(f)]는 '''[math(a \in X)]에서 연속'''([math(f)] is '''continuous at [math(a \in X)]''')이라고 한다. * 임의의 실수 [math(\varepsilon > 0)]에 대하여, 다음을 만족시키는 실수 [math(\delta > 0)]가 존재한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [math(d_X(x, a) < \delta \ \Rightarrow \ d_Y(f(x), f(a)) < \varepsilon)]}}}그렇지 않다면, [math(f)]는 '''[math(a \in X)]에서 불연속'''([math(f)] is '''discontinuous at [math(a \in X)]''')이라고 한다. 특히, 함수 [math(f)]가 모든 [math(a \in X)]에서 연속이면, [math(f)]를 '''연속함수(Continuous function)'''라고 한다. || 위에서 정의한 실함수의 연속성을 임의의 거리공간으로 확장한 버전. 실제로 실수 위의 거리 함수 [math(d_\mathbb R(a, b) = \lvert b - a \rvert)]를 생각하면, 위 정의와 [[엡실론-델타 논법]]을 이용한 정의는 서로 충돌하지 않음을 확인할 수 있다. 일반적인 거리 함수와 거리공간의 정의는 [[#거리 함수(Metric function)|거리 함수]]에 설명되어 있다. 이 정의로부터 [[다변수함수]]의 연속성을 정의할 수 있다. === 일반 위상공간에 주어진 함수의 연속 === ||<tablewidth=100%><(> '''[ 정의 ]''' 두 위상공간 [math(X)]와 [math(Y)] 사이에 정의된 함수 [math(f: X \to Y)]가 다음 성질을 만족시킬 때, [math(f)]는 '''[math(a \in X)]에서 연속'''([math(f)] is '''continuous at [math(a \in X)]''')이라고 한다. * [math(f(a) \in Y)]의 임의의 열린 근방(Open neighborhood)[* [math(f(a) \in Y)]를 포함하는 [math(Y)]의 열린 부분집합.] [math(V \subset Y)]에 대하여, 다음을 만족하는 [math(a \in X)]의 열린 근방 [math(U \subset X)]가 존재한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [math(x \in U \ \Rightarrow \ f(x) \in V)][* 동등한 표현으로 [math(f(U) \subset V)]가 있다.]}}}그렇지 않다면, [math(f)]는 '''[math(a \in X)]에서 불연속'''([math(f)] is '''discontinuous at [math(a \in X)]''')이라고 한다. 특히, 함수 [math(f)]가 모든 [math(a \in X)]에서 연속이면, [math(f)]를 '''연속함수(continuous function)'''라고 한다. || 일반 위상공간에는 거리와 같은 좋은 함수가 없기 때문에, 기존 정의를 대체하기 위해 '열린 근방'을 도입한 정의이다. 거리 공간에서의 정의와 다르게 보이지만 본질은 같다. 이를 확인하기 위해 실함수 [math(f: \mathbb R \to \mathbb R)]에 대하여 이 정의를 살펴보자. [math(f(a))]를 포함하는 열린 근방 [math(V \subset \mathbb R)]이라는 것은, [math(f(a))]를 포함하는 열린 집합을 의미한다. 이는 충분히 작은 [math(\varepsilon > 0)]에 대하여 [[구간#s-2|구간]] [math((f(a) - \varepsilon, f(a) + \varepsilon))]를 포함하는데, 이 구간은 [math(\left\{ y \in \mathbb R \rvert \lvert y - f(a) \rvert < \varepsilon \right\})]라고 쓸 수도 있다. 비슷하게 [math(a \in X)]의 열린 근방도 적절한 [math(\delta > 0)]에 대하여 [math((a - \delta, a + \delta) = \left\{ x \in \mathbb R \rvert \lvert x - a \rvert < \delta \right\})]을 포함한다. 따라서 조건 [math(f(U) \subset V)]는 다음처럼 쓸 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\lvert x - a \rvert < \delta \ \Rightarrow \ \lvert f(x) - f(a) \rvert < \varepsilon)]}}} 이는 실함수의 연속과 같은 조건이므로, 두 정의는 충돌 없이 공존할 수 있다. 한편, 일반 위상공간에서는 연속함수에 대한 다음과 같은 동치조건이 있다. 보통 문제 등을 풀 때 다음 조건을 증명하여 연속성을 보인다. ||<tablewidth=100%><(> '''[ 정의 ]''' 두 위상공간 [math(X)]와 [math(Y)] 사이에 정의된 함수 [math(f: X \to Y)]가 다음 성질을 만족시킬 때, [math(f)]는 '''연속함수(Continuous function)'''라고 한다. * 임의의 열린 부분집합 [math(V \subset Y)]에 대하여, [math(f^{-1}(V))]는 [math(X)]의 열린 부분집합이다. || 이 정의 역시 기존 정의들과 전혀 충돌하지 않는다. 또한 연속의 정의 중 가장 간결하여, 현대 수학에서는 위 정의를 일반적인 연속함수의 정의로 받아들인다. 이 정의는 거리를 비롯한 다양한 개념들이 추상화된 채 포함되어 있는데, 이 때문에 실공간 [math(\mathbb R)]과 같이 잘 알던 공간에서 성립하던 직관적인 성질들은 더 이상 성립하지 않는 경우가 많다. 예를 들어 보통 위상이 주어진 [math(\mathbb R)]에서, 하한 위상(lower limit topology)이 주어진 [math(\mathbb R_l)]로의 항등함수 [math(f: \mathbb R \to \mathbb R_l, f(x) = x)]가 있다. 직관적으로는 이 함수가 당연히 연속함수지만, 실제로 이 함수는 '''연속함수가 아니다'''. 왜냐하면 하한 위상공간에서는 [math([a, b))] 따위가 모두 열린 집합인데, 이 반열린구간의 역상 [math(f^{-1}([a, b)) = [a, b))]는 실수 집합 [math(\mathbb R)]의 열린 집합이 아니기 때문이다.[* 일반적으로 이 함수는 정의역의 모든 점에 대하여 불연속인 완전 불연속 함수(Totally discontinuous function)이다.] 역으로, 이산 위상(discrete topology)가 주어진 [math(\mathbb R_d)]에서 보통 위상이 주어진 [math(\mathbb R)]로의 [[디리클레 함수]] [math(g: \mathbb R_d \to \mathbb R)]은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(g(x) = \begin{cases} 1, & \mathsf{if}\ x \in \mathbb Q \\ 0, & \mathsf{if}\ x \in \mathbb R - \mathbb Q \end{cases})]}}} 라 쓸 수 있다. 이는 완전 불연속 함수처럼 보이지만, 이산 위상공간에서는 임의의 집합이 열린 집합이므로 [math(g)]는 '''연속함수이다'''. == 성질 == 연속함수는 수학, 특히 [[해석학(수학)|해석학]]과 [[위상수학]]의 아이콘과도 같은 중요한 개념이다. 아래와 같이 상당히 좋은 성질들을 가지고 있기 때문에, 다양한 분야에서 연속함수를 사용한다. === 기본 성질 === ||<tablewidth=100%><(> '''[ 명제 ]''' 함수 [math(f, g, h: \mathbb R \to \mathbb R)]가 [math(f, g)]는 [math(x = x_0)]에서, [math(h)]는 [math(x = f(x_0))]에서 연속일 때, * 함수 [math(kf: \mathbb R \to \mathbb R)][* 여기서 [math(k \in \mathbb R)]는 임의의 상수이며, [math((kf)(x) = kf(x))]이다.], [math(f \pm g: \mathbb R \to \mathbb R)][* 여기서 [math((f \pm g)(x) = f(x) \pm g(x))]이다.], [math(fg: \mathbb R \to \mathbb R)][* 여기서 [math((fg)(x) = f(x) \cdot g(x))]이다.] 모두 [math(x = x_0)]에서 연속. * [math(g(x_0) \neq 0)]일 때, 함수 [math(\dfrac fg: \mathbb R \to \mathbb R)]는 [math(x = x_0)]에서 연속.[* 여기서 [math(\Bigl(\dfrac fg \Bigr)(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}(g(x) \neq 0))]이다.] * 함수 [math(h \circ f: \mathbb R \to \mathbb R)]가 [math(x_0)]에서 연속.[* 여기서 [math((h \circ f)(x) = h(f(x)))]이다. 이 성질은 실함수가 아닌 일반 위상공간에 정의된 함수에서도 성립한다.] || 위 성질들은 고등학교 과정에서도 배우는 연속함수의 기본적인 성질이다. 합성함수의 연속성을 제외한 나머지 성질들은 고교 과정의 [[극한]] 정의를 이용하여 증명 가능하다. 한편, 합성함수의 연속성 증명은 고교 과정에서는 생략한 채 넘어간다. ||<tablewidth=100%><(> '''[ 명제 ]''' 함수 [math(f: X \to Y)]가 [math(x_0 \in X)]에서 연속, [math(g: Y \to Z)]가 [math(f(x_0) \in Y)]에서 연속일 때 [math(g \circ f: X \to Z)] 또한 [math(x_0 \in X)]에서 연속이다. ---- {{{#!folding [ 증명 ] [math((g \circ f)(x_0) \in Z)]의 열린 근방 [math(W \subset Z)]가 주어져 있다고 하자. 함수 [math(g)]가 [math(f(x_0))]에서 연속이므로, [math(f(x_0) \in Y)]의 열린 근방 [math(V \subset Y)]가 존재하여 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(g(V) \subset W)]}}} 이게 할 수 있다. 또, 함수 [math(f)]가 [math(x_0)]에서 연속이므로 [math(f(U) \subset V)]인 [math(x_0)]의 열린 근방 [math(U \subset X)]를 택할 수 있다. 따라서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math((g \circ f)(U) \subset g(V) \subset W \subset Z)]}}} 이다. 즉, [math(g \circ f)]는 [math(x_0)]에서 연속이다.□}}} || === 위상적 성질 === ||<tablewidth=100%><(> '''[ 명제 ]''' 함수 [math(f: X \to Y)]가 연속함수이면, * [math(C \subset X)]가 [[콤팩트성|옹골집합(compact set)]] [math(\ \Rightarrow \ f(C) \subset Y)]도 옹골집합.[* 이 사실로부터 [[컴팩트성]](중에도 특히 점렬 컴팩트성)이 왜 그런 식으로 정의되는지 유추할 수 있다. 컴팩트성을 이용하지 않고 일변수함수의 [[최대·최소 정리]]를 증명하려면, 닫힌 집합 [math([a, b])]에서의 볼차노-바이어슈트라스 정리를 이용하는 것이 핵심이다. 그런데 이 정리는 점렬 컴팩트성으로부터 나오며, 이를 일반화하여 컴팩트성이 정의가 된다. 실제로 거리공간에서는 점렬 컴팩트성과 컴팩트성이 동치.] * [math(C \subset X)]가 [[연결 집합|연결 집합(connected set)]] [math(\ \Rightarrow \ f(C) \subset Y)]도 연결 집합. ---- {{{#!folding [ 증명 ] * [math(\left\{ V_\alpha \right\})]가 [math(f(C) \subset Y)]의 열린 덮개라면, [math(\left\{ f^{-1}(V_\alpha) \right\})]는 [math(C \subset X)]의 열린 덮개가 된다. [math(C)]가 옹골집합이므로, [math(C)]의 유한 부분덮개 [math(\left\{ f^{-1}(V_i) \right\})]가 존재한다. 그러므로 [math(\left\{ V_i \right\})]는 [math(f(C) \subset Y)]의 유한 부분덮개이고, 따라서 [math(f(C) \subset Y)]는 옹골집합. * (대우) [math(f(C) \subset Y)]가 연결 집합이 아님 [math(\ \Rightarrow \ C \subset X)]가 연결 집합이 아님. 두 열린 집합 [math(A, B)]가 [math(f(C) \subset Y)]를 분할(separate)한다면, 역시 두 열린 집합 [math(f^{-1}(A), f^{-1}(B))]가 [math(C \subset X)]를 분할한다.□}}} || ==== 따름정리 ==== 특히, 위의 첫 번째, 두 번째 성질은 각각 [[최대·최소 정리]], [[중간값 정리]]의 일반화이다. [include(틀:상세 내용, 문서명=최대·최소 정리)] [include(틀:상세 내용, 문서명=중간값 정리)] === [[수열의 극한]]과의 관계 === ||<tablewidth=100%><(> '''[ 정리 ]''' 함수 [math(f: \mathbb R \to \mathbb R)]가 [math(x = c)]에서 연속이라고 하자. 수열 [math(\left\{ x_n \right\})]이 실수 [math(c \in \mathbb R)]로 수렴할 때, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math({\lim \limits_{n \to \infty}} f(x_n) = f \left({\lim \limits_{n \to \infty}} x_n \right) = f(c))]}}} 이 성립한다. 말로 풀어 쓰면, 수열 [math(\left\{ f(x_n) \right\})]은 극한 [math(f(c))]을 가진다. ---- {{{#!folding [ 증명 ] 함수 [math(f)]가 [math(x = c)]에서 연속이므로, 임의의 [math(\varepsilon>0)]에 대해 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\lvert x - c \rvert < \delta \ \Rightarrow \ \lvert f(x) - f(c) \rvert < \varepsilon)]}}} 이게 하는 [math(\delta > 0)]을 잡을 수 있다. 또한, 수열 [math(\left\{ x_n \right\})]의 극한이 [math(c)]이므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(n > N \ \Rightarrow \ \lvert x_n - c \rvert < \delta)]}}} 를 만족시키는 자연수 [math(N \in \mathbb N)]이 존재한다. 두 사실을 결합하면 [math(n > N \ \Rightarrow \ \lvert f(x) - f(c) \rvert < \varepsilon)]을 얻고 이는 수열 [math(\left\{ f(x_n) \right\})]이 극한 [math(f(c))]을 가진다는 말과 같다.□}}} || 위 정리는 고등학교 과정에서 암암리에 증명 없이 쓰이곤 한다. 고등학교 과정에서는 거의 대부분 연속함수만 등장하기 때문에 사용에는 무리가 없다. 당연히 [math(f)]가 [math(x = c)]에서 불연속이면 이 정리를 적용할 수 없다. 이 정리를 혼동하여 발생하는 대표적 오해가 [[0.999…=1|[math(0.999 \cdots = 1)]]]과 관련된 것이다. 위 정리에서 [math(f)]가 [[최대 정수 함수]] [math(\lfloor\ \cdot \ \rfloor)]이고, 수열 [math(\left\{ x_n \right\})]이 [math(x_n = 1 - 10^{-n})]인 경우를 생각해 보자. 이 때 [math(\left\{ x_n \right\})]은 [math(c = 1)]로 수렴하지만, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math({\lim \limits_{n \to \infty}} f(x_n) = \lfloor 0.999 \cdots \rfloor = 0 \ne 1 = \lfloor 1\rfloor = f(c))]}}} 임을 알 수 있다. 정리가 성립하지 않는 이유는 최대 정수 함수 [math(f)]는 [math(x = 1)]에서 불연속이기 때문.[* 일반적으로, 최대 정수 함수는 모든 정수점에서 불연속이다.] 그러나 최대 정수 함수의 불연속성을 고려하지 않은 채, 위 정리를 그대로 적용할 수 있는 것으로 오해하여 [math(0.999 \cdots \neq 1)]이 아닌가 하는 '''오류'''를 범하게 되는 것이다. == 관련 함수들 == 연속이거나 연속은 아니지만 연속함수와 비슷한 개념들. 이 개념들은 특정 공간이나 함수의 성질들을 이해하기 위해 만들어졌으며, 보통 학부 [[위상수학]] 시간에 배울 수 있다. 아래 단락에서, [math(X)]와 [math(Y)]는 주어진 위상공간을 나타낸다. === 위상동형사상(homeomorphism) === ||<tablewidth=100%><(> '''[ 정의 ]''' 위상동형사상(homeomorphism) ---- 함수 [math(f: X \to Y)]가 다음 성질을 만족시키면 [math(f)]을 '''위상동형사상(homeomorphism)'''이라고 부른다. * [math(f: X \to Y)]는 [[전단사함수|전단사]] 연속함수 * 역사상 [math(f^{-1}: Y \to X)] 또한 연속함수 이런 함수 [math(f)]가 존재할 때, 두 공간 [math(X)]와 [math(Y)]는 '''위상동형(homeomorphic)'''하다고 말하며 기호로는 [math(X \approx Y)][* 표기는 교재별, 사람별로 전부 다르므로 문맥에 맞게 사용하는 것이 좋다.]로 표시한다. || 위상동형사상 [math(f: X \to Y)]가 존재하면, 두 위상공간 [math(X)]와 [math(Y)]는 '''모든 위상적 성질[* 집합의 열림, 닫힘 및 and, or 등으로 표현되는 성질]을 공유'''한다. 그러므로 이런 위상동형사상의 활용 가능성은 무궁무진한데, 실제로 어떤 복잡한 공간 [math(Y)]의 성질을 위상동형사상 [math(f: X \to Y)]를 이용하여 [math(X)]의 성질로 옮겨서 다루고는 한다. 위상공간, 위상동형사상의 관계는 [[대수학]]에서의 [[군(대수학)|군]], [[군(대수학)#s-5.1.2|동형사상(isomorphism)]]의 관계와 같다. === 열린 사상(open map) === ||<tablewidth=100%><(> '''[ 정의 ]''' 열린 사상(Open map) ---- 함수 [math(f: X \to Y)]가 다음 성질을 만족시키면 [math(f)]을 '''열린 사상(open map)'''이라고 부른다. * [math(O \subset X)]가 열린집합 [math(\ \Rightarrow \ f(O) \subset Y)]가 열린집합​ || 언뜻 보면 연속사상과 그다지 달라 보이지 않지만, 연속이 아님에도 열린 사상이 되는 함수들이 존재한다. 대표적으로 [math( f: \mathbb R \to \mathbb R_l )]인 항등함수는 연속이 아니지만 열린 사상이다. === 닫힌 사상(closed map) === ||<tablewidth=100%><(> '''[ 정의 ]''' 닫힌 사상(Closed map) ---- 함수 [math(f: X \to Y)]가 다음 성질을 만족시키면 [math(f)]을 '''닫힌 사상(closed map)'''이라고 부른다. * [math(C \subset X)]가 닫힌집합 [math(\ \Rightarrow \ f(C) \subset Y)]가 닫힌집합​ || 이 또한 열린 사상과 마찬가지로 연속이 아님에도 열린 사상이 되는 함수가 존재한다. [math(f: \mathbb R \to \mathbb R_l )]인 항등함수는 열린 사상인 동시에 닫힌 사상이다. 또 닫힌 사상이지만 열린 사상이 아닌 함수, 열린 사상이지만 닫힌 사상이 아닌 함수 등도 다 존재한다. === 상사상(quotient map) === ||<tablewidth=100%><(> '''[ 정의 ]''' 상사상(quotient map) ---- 함수 [math(p: X \to Y)]가 다음 성질을 만족시키면 [math(p)]를 '''상사상(quotient map)''', 또는 '''몫사상'''이라 한다. * [math(p: X \to Y)]는 전사 연속함수 * [math(O \subset Y)]가 열린 집합 [math(\ \Leftrightarrow \ p^{-1}(O) \subset X)]가 열린 집합​ || 언뜻 보면 연속과 정의가 달라보이지 않으나, 연속은 위 필요충분조건에서 [math(\Rightarrow)] 방향만 성립할 때를 말함에 주의하자. 일반적인 연속사상은 애매한 집합들의 역상이 열린집합인 것도 허용하지만, 상사상은 그런 경우도 없을 때만 가능하다. 이 개념은 [[대수적 위상수학]]을 공부하면 흔하게 접할 수 있는데, 예를 들어 두 위상공간 [math(A, B)]의 쐐기 합(wedge sum) [math(A \vee B)]는 두 공간에서 한 점 [math(a \in A)], [math(b \in B)]를 골라 두 점을 붙인 공간으로 정의된다. 이 공간에 사상 [math(p: A \sqcup B \to A \vee B)]을 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(p(x) = \begin{cases} x, & \mathsf{if}\ x \neq a, b\\ c, & \mathsf{if}\ x = a, b \end{cases})]​}}} 로 정의하면, ([math(c \in A \vee B)]는 두 공간을 붙인 점.) 이는 [math(A \vee B)]로부터 자연스럽게 유도된 상사상(induced quotient map)이 된다. === 거리 함수(metric function) === ||<tablewidth=100%><(> '''[ 정의 ]''' 거리 함수(metric function) ---- 함수 [math(d_X: X \times X \to \mathbb R)]가 다음 조건을 만족시키면, [math(d_X)]를 공간 [math(X)]의 '''거리(metric)'''이라 한다.[* [[노름(수학)]]의 정의와 비교하여 보자. 이렇게 거리 함수가 주어진 [math(X)]를 '''거리공간(metric space)''' 혹은 '''거리화 가능 공간(metrizable space)'''이라고 부른다.] 임의의 [math(x, y, z \in X)]에 대하여, * [math(d_X(x, y) \geq 0)] (nonnegative) * [math(x = y \ \Leftrightarrow \ d_X(x, y) = 0)] (identity of indiscernibles) * [math(d_X(x, y) = d_X(y, x))] (symmetry) * [math(d_X(x, z) \leq d_X(x, y) + d_X(y, z))] ([[삼각부등식|triangle inequality]]) || 정의를 보면 알 수 있듯이 우리가 이미 알고 있는 '두 점 사이의 거리'는 거리 함수가 된다. 실제로 실수 공간 [math(\mathbb R)]에 주어진 거리 [math(d_\mathbb R(x, y) = \lvert x - y \rvert)], 좌표 평면 [math(\mathbb R^2)]에 정의된 거리 [math(d_{\mathbb R^2}((x_1, x_2), (y_1, y_2)) = \sqrt{(x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2})]는 위 정의를 모두 만족한다. 거리 함수는 그 자체로도 [math(X \times X)] 위에 정의된 연속함수일 뿐만 아니라, 함수의 연속성 증명을 더 간단하게 만들어 준다. ||<tablewidth=100%><(> '''[ 명제 ]''' 거리 함수의 연속 ---- 임의의 거리 함수 [math(d_X: X \times X \to \mathbb R)]는 곱 위상(product topology)이 주어진 [math(X \times X)] 위의 연속함수이다. ---- {{{#!folding [ 증명 ] 한 점 [math((x, y) \in X \times X)]을 고정하고, [math(d_X(x, y) \in \mathbb R)]을 포함하는 열린집합 [math(V \subset \mathbb R)]을 생각하자. [math(\mathbb R)]에도 거리가 주어져 있으므로, [math(\varepsilon > 0)]를 잘 선택하여 [math(B_\mathbb R(d_X(x, y), \varepsilon) \subset V)]이게 할 수 있다. 이제, [math((x, y) \in X \times X)]의 열린 근방 [math(U \subset X \times X)]를 다음과 같이 정의하자. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(U := B_X \left(x, \dfrac \varepsilon 2 \right) \times B_X \left(y, \dfrac \varepsilon 2 \right) \subset V)]}}} 그렇다면 삼각부등식에 의해, [math((x', y') \in U)]일 때 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(d_X(x', y') \leq d_X(x', x) + d_X(x, y) + d_X(y, y') < d_X(x, y) + \varepsilon)] [br] [math(d_X(x', y') \geq d_X(x, y) - d_X(x, x') - d_X(y', y) > d_X(x, y) - \varepsilon)]}}} 이므로 [math(d_X(x', y') \in B_\mathbb R(d_X(x, y), \varepsilon) \subset V)]. 따라서 [math(d_X(U) \subset V)]임을 알 수 있고, [math(d_X)]가 연속이 된다.□}}} || === 경로(path) === ||<tablewidth=100%><(> '''[ 정의 ]''' 경로(path), 닫힌 곡선(loop) ---- 정의역이 구간 [math(I = [0, 1])]인 연속함수 [math(f: I \to X)]를 [math(X)]의 '''경로(path)'''라고 부른다. * 이 때 [math(f(0))]를 경로의 '''시작점(Initial point)''', [math(f(1))]을 경로의 '''끝점(terminal point)'''라고 한다. 특히 시작점과 끝점이 일치하는, 즉 [math(f(0) = f(1))]인 경로를 '''닫힌 곡선[* 또는 회로](loop)'''이라고 한다. || 쉽게 말해서, 경로란 위상공간 안에서 실수의 구간과 비슷한 대상을 의미한다. 이는 [[연결 공간]]의 하위 분류인 [[경로 연결 공간]]을 정의할 때 필요하다. 실제로 연결공간과 경로연결공간은 같은 개념이 아니며, [math(\mathbb R^2)]만 되어도 [[위상수학자의 사인곡선|연결 공간이지만 경로 연결 공간은 아닌 공간]]이 존재한다. 한편 경로는 [[대수적 위상수학]]에서 [[호모토피]] 이론의 주인공이기도 하다. === 수축(retract) === ||<tablewidth=100%><(> '''[ 정의 ]''' 수축(retract) ---- 위상공간 [math(X)]와 그 부분공간 [math(A \subset X)]에 대하여, 연속함수 [math(r: X \to A)]를 '''수축(retract)'''이라고 부른다. '''공간 [math(A)]가 [math(X)]의 수축이다([math(A)] is a retract of [math(X)])''', '''공간 [math(X)]는 [math(A)] 위로 수축한다([math(X)] retracts onto [math(A)])'''와 같은 표현도 사용한다. || 수축은 특수한 형태의 연속함수로, [[대수적 위상수학]]에서 [[기본군]]을 공부하다 보면 수도 없이 만나게 된다. [[연속변형성#변형수축(Deformation retract)|변형수축]]과도 연관이 있는 함수의 종류이다. === [[매끄러움|매끄러운 함수(smooth function)]] === ||<tablewidth=100%><(> '''[ 정의 ]''' 매끄러운 함수(Smooth function) ---- 함수 [math(f: X \to Y)]가 무한 번 [[미분]] 가능하며, 임의의 정수 [math(n \geq 0)]에 대하여 [math(f)]의 [[도함수|[math(n)]계 도함수]] [math(f^{(n)})]이 모두 연속일 때[* 이상의 조건을 기호로 [math(f \in \mathcal C^\infty)]라 표시한다.], 연속함수 [math(f)]를 '''매끄러운 함수(smooth function)'''이라고 한다. || 미분가능성은 연속성의 충분조건이므로, 매끄러운 함수는 당연히 연속함수가 된다. 매끄러운 함수는 [[미분 기하학]]처럼 연속 이상의 강력한 조건을 사용하는 학문에서 자주 등장하는 대상이다. [include(틀:상세 내용, 문서명=매끄러움)] === [[병리적 함수|병리적 함수(pathological function)]] === 행동 양상이 특이한 함수들. 보통 학부 해석학 첫 학기에 배우게 되며, 기존 수학적 직관을 깨부수는 다양한 함수들을 만나보게 된다. 대표적으로 '''모든 점에서 연속이지만 모든 점에서 미분 불가능한 함수'''가 있다. [include(틀:상세 내용, 문서명=병리적 함수)] == 고등학교 시험 == 고등학교 시험에서는 '''불연속점이 있는 함수에 다른 함수를 곱했더니 그 점에서 연속이 되는 상황'''을 많이 출제한다. 함수 [math(f(x))]가 [math(x=f_1, \,f_2,\, \cdots)]에서, [math(g(x))]가 [math(x=g_1,\, g_2,\, \cdots)]에서 불연속일 때, [math(f(x)g(x))]가 실수 전체의 집합에서 연속이려면 다음을 만족시켜야 한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(f(g_1)=f(g_2)=\cdots=g(f_1)=g(f_2)=\cdots=0)]}}} 쉽게 말해서 한 함수의 불연속점의 [math(x)]좌표를 다른 함수에 대입하면 0이 되는 경우, 두 함수를 곱한 제3의 함수는 실수 전체의 집합에서 연속이다. 이유는 다음과 같다. 우선, [math(f(x))]가 [math(x=a)]에서 불연속이라는 것은 [math(x=a)]에서의 좌극한, 우극한, 함숫값이 일치하지 않는다는 뜻이다. 그런데 여기에 다른 함수 [math(g(x))]를 곱했더니 [math(x=a)]에서 연속이 되려면, [math(g(a)=0)]이어야 [math(f(x)g(x))]의 [math(x=a)]에서의 좌극한, 우극한, 함숫값이 모두 0이 되어 일치하게 된다. 0이 아니면 안 된다. 요컨대, '''서로 다른 수들에 어떤 수를 각각 곱한 결과가 모두 같다는 것은, 그 곱한 수가 0이라는 뜻이다.''' === 예제 === ||<tablealign=center><#fff> [[파일:2020년도 6월 나형 15번.png|width=350&align=center]]|| || '''2020학년도 6월 고3 나형 15번''' || {{{#!folding [풀이 보기] ---- {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle\lim_{x\to 0-}f(x)=3,\;\lim_{x\to 0+}f(x)=2)]}}} 이므로 [math(f(x))]는 [math(x=0)]에서만 불연속이다. 따라서, [math(f(x)g(x))]가 실수 전체의 집합에서 연속이려면 [math(\boldsymbol{g(0)=0})]'''이어야 한다.''' [math(g(x))]에 나오는 식 [math(2x)]와 [math(2x-1)] 중 [math(g(0)=0)]이 되는 경우는 [math(2x)]이므로, 아래 그림에 따라 [math(\boldsymbol{a>0})]이다. [[파일:2020년도 6월 나형 15번 풀이.jpg|width=400&align=center]] {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle\lim_{x\to a-}g(x)=2a,\;\lim_{x\to a+}g(x)=2a-1)]}}} 이므로 [math(g(x))]는 [math(x=a)]에서만 불연속이다. 따라서, [math(f(x)g(x))]가 실수 전체의 집합에서 연속이려면 [math(\boldsymbol{f(a)=0})]'''이어야 한다.''' 그러면 [math(f(a)=-2a+2\;(\because a>0))]이고 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(-2a+2=0 \; \to \; a=1)]}}} }}} [[분류:해석학(수학)]][[분류:위상수학]][[분류:수학 용어]][[분류:한자어]][[분류:나무위키 수학 프로젝트]]