[include(틀:이산수학·수리논리학)] [목차] == 개요 == Continuum hypothesis > '''[[초한기수|[math( \aleph_0 )]]] 보다 크고 [math( 2^{\aleph_0} )] 보다 작은 기수를 가지는 무한집합은 존재하지 않는다.''' 수학자 [[게오르크 칸토어]]가 제시한 가설로, 무한집합의 크기에 대한 내용이다. 위의 내용을 간단히 표현하면 [math( 2 ^{\aleph_0} = \aleph_1 )] 가 성립한다는 것이다. 여기서 [math( \aleph_0 )] 은 자연수, 정수 등의 가산 집합의 크기, [math( \aleph_1 )] 은 비가산집합 중 가장 크기가 작은 집합의 크기를 말한다. 간단히 말하자면 '원소의 개수가 자연수의 개수보다 많고 실수의 개수보다 적은 그런 오묘한 집합이 존재하느냐'에 대한 문제이다. == 상세 == 이를 일반화한 가설은 '일반화 연속체 가설'이라고 한다. > 어떠한 [[서수(수학)|서수]] [math( n )]에 대해서 [math( \aleph_n )] 보다 크고 [math(2 ^{\aleph_n} )] 보다 작은 기수를 가지는 무한집합은 존재하지 않는다. > 즉, [math( 2^{\aleph_n} = \aleph_{n+1} )] 가 성립한다. 집합론을 정립하는 과정에서 칸토어는 처음에 '자연수의 집합과 짝수의 집합의 크기는 같다'고 주장했으며, 이는 처음에 '뭔 소리냐? 짝수는 자연수의 부분 집합인데 어떻게 부분이 전체랑 크기가 같아?'라는, 유클리드 제 5공리인 '전체는 부분보다 더 크다.'는 것에 배치되는 것이라 논란에 휩싸였으나, 칸토어의 일대일 대응에 의한 증명을 통해 '어? 네 말, 뭔가 이상한데(?) 맞는거 같어.'라고 인정하게 된다. 칸토어는 '자연수 전체 집합의 모든 부분집합의 집합'과 실수 집합 사이에는 일대일대응이 존재한다, 즉 원소의 개수가 같다'는 사실을 발견했다. 더 나아가서 칸토어는 어떤 무한집합을 가져오더라도 '그 집합의 부분집합 전체의 집합([[멱집합]])'은 그것보다 기수가 높은 집합이 된다는 것을 알게 된다. 다시 말해 무한에도 급이 있다는 것을 알아낸 것이다. 자연수보단 실수(=자연수의 멱집합)가, 실수보단 실수의 멱집합이, 실수의 멱집합보단 실수의 멱집합의 멱집합이 더 크다는 식으로 말이다. 그런데 칸토어는 실수가 자연수보다 큰 건 알아냈지만 과연 실수보다 작고 자연수보다 큰 집합이 있는지는 알 수 없었다. 더 나아가 임의의 무한집합과 그 멱집합 사이에 존재하는 집합이 있는지에 대해서도 마찬가지였다. 그래서 칸토어는 남은 평생을 이것을 알아내는데 몰두하다가 [[정신병원]]에서 사망한다. 칸토어 사망 이후에는 "칸토어는 우리를 위해 무한이라는 낙원을 만들고 갔다. 그 무엇도 우리를 이 낙원에서 쫒아낼 수 없을 것이다"라며 칸토어의 죽음을 애도한 친구 다비드 힐베르트가 이 문제를 이어받게 되고, 결국은 현대수학에서 중요한 문제들을 모은 [[힐베르트의 23가지 문제]]에서 1번 문제의 자리를 차지하는 영광을 누렸다. == 결론 : 답이 없다 == 이 문제는 1940년에 [[쿠르트 괴델]]이 연속체 가설은 ZFC와 무모순임을 증명하고, 1963년에 [[폴 코헨]]이 가설의 부정이 ZFC와 무모순임을 증명하면서 결론적으로 해결되었다. 하지만 그 해답은 사람들이 생각하는 일반적인 수학적 정리와는 굉장히 괴리된 해답이다.[* 흔히 연속체 가설에 관한 증명가능성은 [[선택공리]]의 증명가능성과 함께 세트로 묶이는데 선택공리도 ZF에서 증명도 반증도 불가능하다는 것을 괴델과 코헨이 증명했기 때문이다.] 답이 무엇이냐 하면... ''''참'이라고 해도 상관 없고, '거짓'이라고 해도 상관 없다.''' 다시 말해, '''이 가설 자체를 '[[ZFC|현재의 정수론적 수학 공리계]]에서' 증명하거나 반증하는 것이 불가능하다.''' 이게 어떻게 수학에서 할 소리냐! 라고 하고 싶은 분들도 계실 것이나, 이게 결론이다. 무슨 말이냐 하면, 이 명제를 참이라고 하건 거짓이라고 하건 현재 존재하는 [[수학]]의 [[공리]]들과 전혀 모순되지 않는다는 것이다. 즉 연속체 가설이 참이든 거짓이든 뭘 선택해도 현재 사용되는 수학 체계에서는 아무런 하자가 없다는 것이다.[* 이해하기 힘들다면, 수학을 하나의 균형잡힌 건물로 보고, 공리를 그 건물을 지탱하는 기둥이라고 했을 때, 연속체가설이 참인지 거짓인지를 알기 위해서, 즉 연속체가설이 참이라는 건물 혹은 거짓이라는 건물을 만든다고 해도, 반드시 지금의 기둥만으로는 부족해서 새로운 기둥(공리)을 '''지금 알려진 정수론의 영역 외부에''' 추가해야 한다는 것이다. 반대로 연속체가설을 떠받드는 건물이 튼튼하든 튼튼하지 않든, 기본적인 [[ZFC|정수론을 구성하는 기둥]]에는 아무런 문제가 없다.][* 참이라고 가정했을 때 공리계와 모순이 없기에 반증이 불가능하고, 공리계로부터 가설이 유도되지 않기 때문에(즉, 공리계와 가설이 서로 독립) 증명도 불가능하다는 식으로 이해해도 된다.] 이걸 어떻게 증명했냐면, 수리논리의 한 분야인 모델론(model theory)의 기법이 사용되었다. 모델이란 어떤 이론 속의 모든 공리를 성립하게 만드는 구조를 가리키는 말인데, 괴델은 "ZFC + 연속체가설"의 모델을 구성해냈다. 그리고 수십년간 소강 상태이다가 코언이 [[갑툭튀]]해서 강제법(forcing)이라는 독특한 수법을 개발해서는 "ZFC + 연속체가설 부정"의 모델을 구성해낸 것이다. 이후 이 forcing이라는 방법은 이후 집합론의 곳곳에 응용되었다. 아무튼 힐베르트의 23가지 문제 중에서 1번 문제로 꼽힐 정도로 중요한 문제였으나, 괴델의 [[불완전성 정리]]의 실례가 되어 버리면서 수학의 논리주의와 형식주의는 큰 타격을 입게 된다. 이 가설을 제시한 [[게오르그 칸토어]]가 '수학의 본질은 그 자유로움에 있다'라는 말을 남기기도 했고... 현재 수학의 주류는 참 거짓을 굳이 정하지 않는 것인데, 연속체 가설을 참으로 가정하면 [[초한기수]]의 지수연산이 깔끔하게 정의되는 등 이점도 많다. 그래서, 아예 연속체 가설을 현대 수학의 '''공리'''로 받아들일 수도 있지만, 이렇게 되면 그 부정을 가정한 정리가 있다고 할 때 그것은 모순이 되어버린다. 여튼 inaccessible cardinals의 존재 등과 함께 [[ZFC]]의 한계점을 암시하는 개념이다... 집합론에서는 여전히 공리계의 확장에 관한 여러 의논이 있다. 괴델도 이런 집합론의 불완전함을 언급하며 더 확장해나가면서 집합론이 발전할 수 있을 것이라고 말한 바 있다. == 관련 문서 == * [[초한기수]] [[분류:집합론]]