[[분류:수]][[분류:수학 용어]][[분류:한자어]][[분류:나무위키 수학 프로젝트]] [목차] == 개요 == {{{+1 Continued fraction · [[連]][[分]][[數]]}}} 분모가 정수와 분수의 합으로 연달아 표기되는 [[분수(수학)|분수]]. 일반적으로 [[유리수]]는 두 [[정수]]의 비로 나타낼 수 있고 [[무리수]]는 그럴 수 없지만, 연분수라는 특수한 분수를 사용하면 무리수도 분수로 나타낼 수는 있다. 다만, 어떤 수를 연분수로 나타낼 때, [[유리수]]라면 언젠가는 끝이 나지만 [[무리수]]라면 연분수가 한없이 이어진다. 후술했듯이 어떤 무리수의 [[근삿값|근사치]]인 유리수, 즉 '''근사분수'''를 찾기 위해서도 연분수가 쓰인다. 간혹 이런 것과는 상관없이 식을 전개하다 연분수가 나오는 경우가 있는데, 이 경우에는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\dfrac{\dfrac{d}{c}}{\dfrac{b}{a}}=\dfrac{d}{c} \times \dfrac{a}{b}=\dfrac{ad}{bc} )]}}} 꼴로 정리하면 일반적인 분수로 바꿀 수 있다. 아래 연분수 전개 방법을 오른쪽에서 왼쪽으로 읽어보자. == 연분수 전개 방법 == 가장 기본적으로는, 전개하고자 하는 수를 [[정수]] 부분과 [[소수(실수)|소수]] 부분으로 나눈 뒤, 그 소수 부분의 역수를 취하는 조작을 반복한다. [math(\dfrac{12}7)]를 연분수로 전개해보자. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\dfrac{12}7 = 1+\dfrac57 = 1+\cfrac1{\cfrac75} = 1+\cfrac1{1+\cfrac25} = 1+\cfrac1{1+\cfrac1{\cfrac52}} = 1+\cfrac1{1+\cfrac1{2+\cfrac12}} )]}}} 이 방법을 쓰면 연분수의 모든 분자 자리가 1이 되는데, '여러 무리수의 연분수 전개' 문단에서 보듯이 꼭 이렇게 해야만 수학적으로 옳은 것은 아니다. == 근사분수 == {{{+1 Convergents · [[近]][[似]][[分]][[數]]}}} 앞서 설명했듯이, 전개하고자 하는 수를 정수 부분과 소수 부분으로 나눈 뒤, 그 소수 부분의 역수를 취하는 조작을 반복하여 얻는 연분수의 모든 분자 자리는 1이 된다. 이렇게 연분수로 전개해가다가, 특별히 큰 수가 등장하면 거기에서 전개를 멈추고, 그 수가 나오기 바로 전까지의 연분수를 계산해서 얻는 값이 해당 무리수의 근사치인 유리수가 된다. 이 수를 '''근사분수'''라고 한다. 그 '특별히 큰 수'가 크면 클수록 정밀도 높은 근삿값이 나온다. 예를 들어 [math(\pi)]의 근사치인 유리수를 찾아보자. [math(\pi)]는 무리수이므로 [math(\pi)]를 이 방법으로 전개하면 다음과 같이 한없이 이어진다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\pi=3+\cfrac1{7+\cfrac1{15+\cfrac1{1+\cfrac1{292+\cfrac1{1+\cfrac1{\ddots}} }} }} )]}}} 여기에서 292라는 특별히 큰 수가 등장하였으므로, 그 바로 전에서 연산을 멈춘 후 그 값을 계산하면 된다. 곧, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(3+\cfrac1{7+\cfrac1{15+\cfrac1{1} }} = \dfrac{355}{113} (\approx 3.1415929204) )]}}} 가 바로 [math(\pi)]의 근삿값이다. 물론, 연분수 계산을 많이 진행할수록 값은 정확해지겠지만 그 계산 결과는 매우 복잡해질 것이다. 적당한 선에서 간결한 근삿값을 얻고 싶다면, 연분수 계산 도중 특별히 큰 수가 나오면 계산을 중단하는 편이 좋다. 한편, 극히 예외적인 경우로는 [[황금수]] {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\varphi = \dfrac{1+\sqrt5}2 = 1+\cfrac1{1+\cfrac1{1+\cfrac1{1+\cfrac1{1+\cfrac1{1+\cfrac1{\ddots}} }} }} )]}}} 가 있다. 모든 정수 부분에 계속해서 1만 나오는데, 이 방법으로는 [math(\varphi)]의 근사치가 되는 마땅한 유리수를 찾을 수 없다. 이런 경우는 달리 찾아볼 수가 없다.[* 다만, 피보나치 수열의 항의 비율 [math(F_n/F_{n-1} )]의 극한값이 다름 아닌 [math(\varphi)]가 되는 점을 이용하여 [math(\varphi)]에 어느 정도 근사시킬 수 있다. 그러나 상대오차 기준으로 [math(\varphi)]와 [math(2584/1597)]가 [math(\pi)]와 [math(355/113)]보다 약간 떨어지는 정밀도로, 정밀도를 높이려면 어마어마하게 큰 피보나치 수가 필요하단 걸 알 수 있다. [[피보나치 수열]] 참고.] 짝수 근사분수는 실제 값보다 작고 홀수 근사분수는 실제 값보다 크다. == 여러 무리수의 연분수 전개 == 아래는 각각 [[√2|[math(\sqrt2)]]], [[√3|[math(\sqrt3)]]], [[황금비|황금수]], [[원주율]], [[자연로그의 밑]], [[오메가 상수]]의 연분수 전개이다. * [math(\displaystyle\sqrt2=1+\cfrac1{2+\cfrac1{2+\cfrac1{2+\cfrac1{2+\cfrac1{2+\cfrac1{2+\cfrac1{2+\cfrac1{\ddots}} }} }} }})] * [math(\sqrt3=1+\cfrac1{1+\cfrac1{2+\cfrac1{1+\cfrac1{2+\cfrac1{1+\cfrac1{2+\cfrac1{1+\cfrac1{\ddots}} }} }} }})] * [math(\varphi=\dfrac{1+\sqrt5}2 = 1+\cfrac1{1+\cfrac1{1+\cfrac1{1+\cfrac1{1+\cfrac1{1+\cfrac1{\ddots}} }} }})] * [math(\displaystyle \pi=3+\cfrac{1^2}{6+\cfrac{3^2}{6+\cfrac{5^2}{6+\cfrac{7^2}{6+\cfrac{9^2}{6+\cfrac{11^2}{6+\cfrac{13^2}{6+\cfrac{15^2}{\ddots}} }} }} }} = 3+\cfrac1{7+\cfrac1{15+\cfrac1{1+\cfrac1{292+\cfrac1{1+\cfrac1{\ddots}} }} }} =\cfrac4{1+\cfrac{1^3}{2+\cfrac{3^2}{2+\cfrac{5^2}{2+\cfrac{7^2}{2+\cfrac{9^2}{\ddots}} }} }} )] * [math(e= 2+\cfrac1{1+\cfrac1{2+\cfrac2{3+\cfrac3{4+\cfrac4{5+\cfrac5{\ddots}} }} }})] * [math(\Omega= W(1)= \cfrac1{1+\cfrac1{1+\cfrac1{2+\cfrac5{3+\cfrac{17}{10+\cfrac{133}{\ddots}} }} }})][* [math(W)]는 [[람베르트 W 함수]]이다.]