[include(틀:해석학·미적분학)] [목차] == 개요 == {{{+1 epsilon-delta argument}}} [[오귀스탱 루이 코시]]를 필두로 해서 규정한 [[극한]]의 정의. == 나오게 된 배경 == [[고등학교 수학]]에서 문제를 풀고 있으면 [[편법|왠지 꼼수로 문제를 풀어나간다는 생각]]을 지우기가 힘든데, 솔직히 [[0으로 나누기|'분모에 0이 들어가면 안 된다']]는, 이때까지 깨뜨리면 안 된다고 알고 있었던 절대적인 명제를 '0은 아니지만 0에 한없이 다가간다'는 이도 저도 아닌 [[궤변]]으로 때워버렸다고 느낄 수도 있다. 제대로 된 접근 없이 고등학교 미적분을 현실에 응용했다가 들어맞지 않는 경우도 많다. 이는 현재의 고등학생들뿐만 아니라 미적분의 개념이 제시될 당시, 그러니까 함수와 극한의 개념이 모호해 [[무한소]]라는 개념으로 때워버렸을 당시에 많은 학자들에게도 마찬가지로 적용되었다. 그 당시 학자들은 혁명적인 개념이었던 [[미적분]]을 엄청나게 사용했고, 그러다가 미적분을 적용해서는 안 될 식에서조차 적용해버려 결국 이상한 값이 나와버리는, 한마디로 '''미적분 만능주의'''에 걸려버린 것이다. 그를 대체하기 위해 극한이 나왔지만 역시 빈틈이 많았던 건 매한가지였기 때문에 직관력에 있어 타의 추종을 불허했던 [[레온하르트 오일러|오일러]] 역시 활발히 극한을 사용했지만 당시의 한계를 넘어서지는 못하여 무한소 개념에 대해 이견을 표시하지 않은 채 극한만 그대로 사용했다. 프랑스의 수학자 [[피에르 드 페르마]]는 극대-극소 문제를 해결하기 위해서 "Adequality"라는 개념을 내놓았다. "ad-"+"equality", 즉 거의 같다는 뜻으로, 극점에서 독립변수가 아주 조금 변해도, 함수값이 거의 같다는 것이다. 구체적인 예를 들면, [math(f(x)=x^4)]일 때, 극점 [math(x=c)]에서, 아주 작은 변화 [math(e)]에 대하여 [math(f(c+e)\approx f(c))]가 성립해서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} c^{4}+4c^{3}e+6c^{2}e^{2}+4ce^{3}+e^{4} &\approx c^{4} \\ 4c^{3}e+6c^{2}e^{2}+4ce^{3}+e^{4}&\approx 0 \end{aligned} )]}}} 가 되는데, 양변을 [math(e)]로 나누면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle 4c^{3}+6c^{2}e+4ce^{2}+e^{3}\approx 0 )]}}} 이 되고, [math(e)]를 0으로 취급하면 [math(4c^3 =0)]이 되어 [math(c=0)]으로 구할 수 있는 것이다.[* 물론 미분가능한 함수의 미분계수가 [math(0)]인 점은 극점일 필요조건일 뿐이지 충분조건은 아니므로, 이게 진짜 극점인지는 확인이 필요하다.] 또한, [[뉴턴]]은 시간에 따라 변화하는 양의 순간변화율을 구하기 위해 무한소 [math(\omicron)]을 도입한 '''[[유율법]]'''을 고안하였다. 여기서 뉴턴은 '시간에 따라 변화하는 양'을 유량(Fluent, Fluxio)', 순간변화율을 '[[유율법|유율(Fluxion)]]'이라 불렀다. [math(y=(t+2)(t-2))]이라는 유량에 대하여 [math(t=1)]일 때의 유율은 다음과 같이 계산할 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \dot{y}&=\displaystyle\frac{y(1+\omicron)-y(1)}{(1+\omicron-1)} \\&=\frac{(\omicron+3)(\omicron-1)+3}{\omicron}\\&=\frac{\omicron^{2}+2\omicron}{\omicron}\\&=\omicron+2\\&=2 \end{aligned} )]}}} 다만, 페르마의 "Adequality"에서든지, 뉴턴의 "Fluxion"에서든지, [math(0)]은 아니지만 아주 작고, 또 가끔은 [math(0)]으로 취급해버리는 [[무한소]]라는 게 도대체 무엇인지 큰 논란이 생길 수밖에 없었다. 그렇게 미적분의 맹점이 몇 가지 발견되면서 비판이 나왔고, 특히 [[롤의 정리]]를 발견한 미셸 롤과 철학자 [[조지 버클리]]가 맹렬히 비판했는데, 특히 버클리는 '사라진 값들의 유령(the Ghosts of departed quantities)'이라는 표현까지 빌려와 신랄하게 까내렸다. 유율법의 자세한 개념과 역사에 대해서는 [[유율법]]을 참고하라. 그러다가 19세기 수학자 [[오귀스탱 루이 코시]]가 본문에서 말하는 엡실론-델타([math( \varepsilon - \delta )]) 논법을 꺼내들었다.[* 사실 코시 이전에 [[베르나르트 볼차노]]와 [[카를 바이어슈트라스]]가 먼저 이 정의를 제안했다.] 그야말로 철저하고 빈틈없는 정의로, 이해만 하면 극한은 물론이고 다른 극한용 정리의 증명까지 쉽게 만들어 버릴 수 있었으며 더 나아가 이 새로운 정의로 인해 [[해석학(수학)|해석학]]이라는 분야가 등장했다. == 정의 == 먼저, 엡실론-델타 논법을 사용해 새로 쓴 극한의 정의를 보자. 열린 구간 [math(D)]에 대하여 ||<table width=100%> [math(\displaystyle \begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \rightarrow a}{ f (x ) } = L \overset{\mathsf{def}}{\iff} & \forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x\in D \\& : ( 0 < | x - a | < \delta \Rightarrow | f ( x ) - L | < \varepsilon ) \end{aligned} )] || 이를 쉽게 풀어쓰면 다음과 같다. ||<table width=100%>함수 [math( f ( x ) )]가 존재할 때, 임의의 양수 [math( \varepsilon )]에 대하여 적당한 양수 [math( \delta ( = \delta ( \varepsilon ) ) )]가 존재하여 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( 0 < | x - a | < \delta \Rightarrow | f ( x ) - L | < \varepsilon )]}}} 가 성립하면, [math( x \to a )]일 때 함수 [math( f ( x ) )]의 극한값을 [math( L )]이라고 정의한다. 이때, 함수 [math( f ( x ) )] 는 [math( x \rightarrow a )]에서 [math( L )]에 수렴한다고 하며, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \lim_{ x \rightarrow a }{ f ( x ) } = L )]}}} 로 표현한다. || === 설명 1 === ||<table width=100%>임의의 양수 [math(\varepsilon)]에 대하여 적당한 양수 [math(\delta(=\delta(\varepsilon)))]가 존재하여 [math( 0 < | x - a | < \delta \Rightarrow | f ( x ) - L | < \varepsilon)]가 될 때, || * '''임의의 양수 [math(\varepsilon)]'''이라는 말은 [math(\varepsilon)]이 어떠한 양수이든 상관없다는 뜻이다. 거기에 저 조건을 만족시키는 적절한 양수 [math(\delta(=\delta(\varepsilon)))][* [math(\delta)]가 [math(\varepsilon)]에 관한 함수라는 뜻. [math(y=f(x))]와 같은 뜻의 표기이다,]의 값을 찾을 수 있으면 된다. * 정의에 나오는 절댓값들이 이해를 어렵게 하는데, [math(0<\left|x-a\right|<\delta)]는 [math(x)]에서 [math(a)]까지의 거리가 [math(\delta)]보다는 작지만 [math(0)]은 아닌, 즉 [math(x)]는 [math(a)]가 아니라는 뜻이고, [math(|f(x)-L|<\varepsilon)]는 [math(f(x))]에서 [math(L)]까지의 거리가 [math(\varepsilon)]보다 작다는 뜻이다.[* 엡실론과 델타 둘 다 임의의 양수이기 때문에 '거리'라는 표현을 쓸 수 있다.] 절댓값의 정의에 따라 각각 [math(x\ne a\wedge a-\delta<x<a+\delta)]와 [math(L-\varepsilon<f(x)<L+\varepsilon)]로 쓰면 더 이해하기 쉽지만, 복잡하므로 줄여서 [math(0<\left|x-a\right|<\delta)]와 [math(|f(x)-L|<\varepsilon)]를 쓰게 된 것. * [math(x\to a)]로 갈 때 [math(f(x))]가 어디로 가는가[* 즉,임의의 [math(\delta)]값에 대하여 적당한 [math(\varepsilon(=\varepsilon(\delta)))]값을 생각하면 안 된다는 말이다.]를 생각하면 안 된다. 거꾸로 [math(|f(x)-L|)]에 대한 값을 생각하고, 그에 따라 [math(\delta)]값을 찾아야 한다. 이 논법은 극한의 존재성을 논하는 것이지, 극한값을 찾는 것이 목적이 아니다. 즉, 위의 정의를 풀어 설명하면, 다음과 같다. ||<table width=100%> {{{#!wiki style="text-align: center" [math( \displaystyle \lim_{ x \rightarrow a }{ f ( x ) } = L )]}}} 이라는 것은 양수 [math(\varepsilon)]이 아무리 작아도 그에 따라 적당한 양수 [math(\delta(=\delta(\varepsilon)))]가 존재하여, [math(x)]와 [math(a)]의 거리가 [math(\delta )]보다 작고 [math(0)]보다 크기만 하면 항상 [math(f(x))]와 [math(L)]의 거리가 [math(\varepsilon)]보다 작게 된다는 뜻이다. || 더 쉽게 설명하자면, ||<table width=100%> {{{#!wiki style="text-align: center" [math( \displaystyle \lim_{ x \rightarrow a }{ f ( x ) } = L )]}}} 이라는 것은 어떠한 양수 [math(\varepsilon)]이 주어지더라도 어떠한 양수 [math(\delta(=\delta(\varepsilon)))]가 있어서 [math(a)]와 같지 않은 [math(x)]가 [math(a-\delta)]와 [math(a+\delta)] 사이에 있는 값이라면 [math(f(x)\in(L-\varepsilon,\,L+\varepsilon))]라는 뜻이다. || 핵심은 양수 [math(\varepsilon)]에 비해 거기에 대응하는 어떠한 [math(x)]값을 설정해도 그보다는 작다는 것이다. 복잡한 전제를 떼고 논리적 비약을 약간 섞어서 핵심 아이디어만을 바라보면 결국 이 논법이 이야기하는 것은, [math(x)]와 [math(a)]의 거리를 적절히 줄여서 (어떤 [math(\delta)]), 함수의 값 [math(f(x))]를 [math(L)]에 '''원하는 만큼''' (임의의 [math(\varepsilon)]) 접근시킬 수 있다는 말이다. [math(\varepsilon)] 즉, 원하는 오차가 아무리 작더라도, 그 오차를 만족시킬 수 있는 델타가 '''언제나''' 존재함을 증명할 수 있다면 함수의 극한값을 [math(L)]로 정의하겠다는 것이다. === 설명 2[* [[http://sos440.tistory.com/17|출처]]] === 극한의 애매한 설명 ||<table width=100%>[math(x)]가 [math(a)]에 한없이 가까울 때, [math(f\left(x\right))]의 값도 [math(L)]에 한없이 가깝다. || 여기에서 '한없이 가깝다'가 수학적으로는 의미가 명확하지 않으니, [[잘 정의됨|잘 정의되도록]] 해야 한다. * '가깝다'와 '멀다'를 확실히 말하려면, 특정한 기준이 존재해서 그 기준보다 작으면 '가깝다', 그 기준보다 크면 '멀다'라고 할 수 있어야 한다. 그 기준을 양의 실수 [math( \varepsilon )]으로 정의하자. * '한없이 가까울 때'는, '[math(x)]와 [math(a)]의 차이가 얼마나 작은 값이든'이란 말과 같다. 즉, '어떻게 기준을 잡아도'로 해석할 수 있다. 그러면 이제 주어진 문장은 이렇게 바뀐다. ||<table width=100%>양수 [math( \varepsilon )]의 값이 무엇이든 간에, [math(x)]가 [math(a)]에 한없이 가까우면 [math( \left| f \left( x \right) - L \right| < \varepsilon )]이다. || '[math(x)]가 [math(a)]에 한없이 가까우면'도 기준 [math( \delta > 0 )]를 선언해서 위와 비슷한 방식으로 바꿀 수 있다. 하지만 [math(f\left(x\right))]가 [math(L)]에 가까워지고 멀어지는 것은 [math(f\left(x\right))]의 성질과 [math( \varepsilon )]의 선택에 달려 있기 때문에, [math( \delta )]는 먼저 선언된 [math( \varepsilon )]을 무시할 수 없다. 따라서 [math( \varepsilon )]에 따른 [math( \delta )]를 적당히 잡을 수 있다면 최종 문장은 아래와 같다. ||<table width=100%>임의의 실수 [math( \varepsilon > 0 )]에 대해, 적당한 실수 [math( \delta > 0 )]가 존재해서, [math( 0 < \left| x - a \right| < \delta \Rightarrow \left| f \left( x \right) - L\right|< \varepsilon)] || 이는 처음에 소개된 정의와 일치한다. 더 간단히 말하자면, 엡실론-델타의 핵심은 '''두 수의 차이를 줄이는 것'''이다. 다만 차이를 줄이고자 하는 비교 대상이 '''셀 수 없이 많은 양수[* 무한대도 셀 수 있는 무한이 있고 셀 수 없는 무한이 있다. 그중 양수는 셀 수 없는 무한에 해당한다.] [math(\boldsymbol \varepsilon )]'''이기 때문에 각각에 대해 다 비교를 할 수 없기에 아무거나 찍어서 되게 할 수 있는지를 확인하는 것이다. === 그래프를 통한 이해 === [[집합 판별 함수#s-2|디리클레 함수]]나 [[위상수학자의 사인곡선|[math(y=\sin{(x^{-1})})]]]처럼 그래프를 그릴 수 없는 함수도 있지만, 특수한 경우에 한해서 그래프를 통해 엡실론-델타 논법을 이해해보자. [[파일:나무_엡실론_델타_1.png|width=210&align=center]] 위 그림과 같이 [math(\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)=L)]인 실수 전체의 집합에서 연속인 [math(y=f(x))]의 그래프에서 적당한 양수 [math(\varepsilon)]이 존재하고, 함숫값 [math(f(x))]와 [math(L)] 사이의 거리가 [math(\varepsilon)]보다 작은 영역을 회색 영역으로 하고, [math(x \neq a)]이면서 [math(x)]와 [math(a)]의 거리가 [math(\delta)]보다 작은 영역을 적색 영역으로 하자. 엡실론-델타 논법의 핵심은 [math(\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)=L)]이면, 적당한 양수 [math(\varepsilon)]가 얼마나 작든, 함숫값 [math(f(x))]가 회색 영역 내부에 존재하게 하는 [math(x)]가 적색 영역 안에 존재하게 하는 양수 [math(\delta)]가 항상 존재한다는 것이다. 이번에는 아래와 같이 [math(x=a)]에서 불연속인 함수 [math(y=f(x))]를 고려하자. 이 경우 [math(\displaystyle \lim_{x \to a} f(x))]는 존재하지 않는다. 이것을 엡실론-델타 논법의 시각에서 보고자 한다. [[파일:나무_엡실론_델타_2.png|width=210&align=center]] 위 그림과 같이 적당한 양수 [math(\varepsilon)]이 존재하고, 함숫값 [math(f(x))]와 [math(L)] 사이의 거리가 [math(\varepsilon)]보다 작은 영역을 회색 영역으로 하고, [math(x \neq a)]이면서 [math(x)]와 [math(a)]의 거리가 [math(\delta)]보다 작은 영역을 적색 영역으로 하자. 하지만 이번 경우에는 회색 영역에 함숫값 [math(f(x))]가 존재하지 않게 하는 [math(x)]가 적색 영역에 포함된 것을 알 수 있다. 따라서 엡실론-델타 논법을 만족시키지 않으므로 이 경우의 극한값이 존재하지 않는 것이다. === 변형 === ==== 좌극한과 우극한 ==== 함수 [math(f(x))]에 대하여 [math(x)]가 [math(a)]보다 작은 값을 가지면서 [math(a)]에 다가가는 극한을 좌극한이라 하고, 다음과 같이 표기한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \lim_{ x \rightarrow a^{-} }{ f ( x ) } = L )] }}} 좌극한은 아래와 같이 정의된다. ||<table width=100%>[math(\displaystyle \lim_{ x \rightarrow a^{-} }{ f ( x ) } = L)]은 임의의 [math(\varepsilon>0)]에 대하여 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(a-\delta<x<a \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon)]}}} 이 성립하는 [math(\delta>0)]이 존재할 때 정의된다. || 함수 [math(f(x))]에 대하여 [math(x)]가 [math(a)]보다 큰 값을 가지면서 [math(a)]에 다가가는 극한을 우극한이라 하고, 다음과 같이 표기한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \lim_{ x \rightarrow a^{+} }{ f ( x ) } = L )] }}} 우극한은 아래와 같이 정의된다. ||<table width=100%>[math(\displaystyle \lim_{ x \rightarrow a^{+} }{ f ( x ) } = L)]은 임의의 [math(\varepsilon>0)]에 대하여 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(a<x<a+\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon)]}}} 이 성립하는 [math(\delta>0)]이 존재할 때 정의된다. || ==== 무한 ==== [math(x)]가 발산하는 경우에 대해서도 극한을 정의할 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \lim_{ x \rightarrow \infty }{ f ( x ) } = L \quad)] 또는 [math(\quad \displaystyle \lim_{ x \rightarrow -\infty }{ f ( x ) } = L)] }}} 라는 식으로, 간단히 [math(x)]가 끝없이 커지거나 작아질 때, [math(f(x))]는 [math(L)]에 접근한다는 것이다. 이 경우에는 다음과 같이 극한을 정의할 수 있다. ||<table width=100%>[math(\displaystyle \lim_{ x \rightarrow \infty }{ f ( x ) } = L)]은 임의의 [math(\varepsilon>0)]에 대하여 임의의 [math(M>0)]이 존재해서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(M<x \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon)]}}} 이 성립하는 것으로 정의한다. || ||<table width=100%>[math(\displaystyle \lim_{ x \rightarrow -\infty }{ f ( x ) } = L)]은 임의의 [math(\varepsilon>0)]에 대하여 임의의 [math(M>0)]이 존재해서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(-M>x \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon)]}}} 이 성립하는 것으로 정의한다. || [math(x \to a)]에서 극한값이 발산하는 경우에도 극한을 정의할 수 있으며, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \lim_{ x \to a }{ f ( x ) } = \infty \quad)] 또는 [math(\quad \displaystyle \lim_{ x \to a }{ f ( x ) } = -\infty)] }}} 이 경우 아래와 같이 정의된다. ||<table width=100%>[math(\displaystyle \lim_{ x \rightarrow a }{ f ( x ) } = \infty)]은 임의의 [math(M>0)]에 대하여 임의의 [math(\delta>0)]가 존재해서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(0<|x-a|<\delta \Rightarrow f(x)>M)]}}} 이 성립하는 것으로 정의한다. || ||<table width=100%>[math(\displaystyle \lim_{ x \rightarrow a }{ f ( x ) } = -\infty)]은 임의의 [math(M>0)]에 대하여 임의의 [math(\delta>0)]가 존재해서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(0<|x-a|<\delta \Rightarrow f(x)<-M)]}}} 이 성립하는 것으로 정의한다. || [math(x)]가 발산하고, 그 극한값 또한 발산하는 경우에도 극한을 정의할 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \lim_{ x \to \pm \infty }{ f ( x ) } = \pm \infty)] }}} 이 경우 아래와 같이 정의된다. ||<table width=100%>[math(\displaystyle \lim_{ x \rightarrow \infty }{ f ( x ) } = \infty)]은 임의의 [math(M>0)]에 대하여 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(x>K \Rightarrow f(x)>M)]}}} 을 만족시키는 [math(K>0)]이 존재할 때 정의된다. || ||<table width=100%>[math(\displaystyle \lim_{ x \rightarrow \infty }{ f ( x ) } = -\infty)]은 임의의 [math(M>0)]에 대하여 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(x<-K \Rightarrow f(x)>M)]}}} 을 만족시키는 [math(K>0)]이 존재할 때 정의된다. || ||<table width=100%>[math(\displaystyle \lim_{ x \rightarrow -\infty }{ f ( x ) } = \infty)]은 임의의 [math(M>0)]에 대하여 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(x>K \Rightarrow f(x)<-M)]}}} 을 만족시키는 [math(K>0)]이 존재할 때 정의된다. || ||<table width=100%>[math(\displaystyle \lim_{ x \rightarrow -\infty }{ f ( x ) } = -\infty)]은 임의의 [math(M>0)]에 대하여 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(x<-K \Rightarrow f(x)<-M)]}}} 을 만족시키는 [math(K>0)]이 존재할 때 정의된다. || === 예제 === ||<table width=100%>'''[문제]''' ----- 엡실론-델타 논법을 사용하여 [math(\displaystyle \lim_{x\to 3}(2x-1)=5)]임을 보이시오. || {{{#!folding [풀이 보기] ----- 임의의 적당한 양수 [math(\varepsilon)]이 존재하여 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle 0<|x-3|<\delta \Rightarrow |(2x-1)-5|<\varepsilon )] }}} 이 되게 하는 양수 [math(\delta)]를 찾자. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle |(2x-1)-5|=2|x-3| )] }}} 이고, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle |x-3|<\frac{\varepsilon}{2} )] }}} 따라서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \delta=\frac{\varepsilon}{2} )] }}} 로 놓으면 충분하다. 따라서 임의의 양수 [math(\varepsilon)]에 대하여 위의 결과를 사용하면 [math(0<|x-3|<\delta)]일 때 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle |x-3|<\frac{\varepsilon}{2} \quad \to \quad |(2x-1)-5|<\varepsilon )] }}} 로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \lim_{x\to 3}(2x-1)=5 )] }}} 임을 알 수 있다. 이를 일반화해서 [math(a\neq0)]일 때 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \delta = \frac{\epsilon}{| a |} )] }}} [math(a=0)]일 때 [math(\delta)]를 임의의 양수로 잡으면 임의의 실수 [math(a)], [math(b)]에 대하여 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \lim_{x \to m} (ax+b) = am+b )] }}} 가 성립함을 알 수 있다. }}} == 확장 == === 이변수함수에서의 정의 === [[다변수함수]]의 일종인 이변수함수의 극한은 [math( \displaystyle \lim_{( x,\, y )\rightarrow ( a,\, b )}{f ( x,\, y )} = L)]로 쓴다. 대략적인 뜻은 [math( ( x,\, y ))]가 한없이 [math( ( a,\, b ))]에 가까워질 때 [math( f ( x,\, y ))]가 한없이 [math( L )]에 가까워진다는 뜻이다. 일변수함수에서는 [math( x )]를 [math( a )]에 접근시키는 방법이 좌극한과 우극한으로 딱 두 가지밖에 없다. 하지만 평면에서 점 [math( ( x,\, y ))]가 점[math( ( a,\, b ))]로 가까워지는 방법은 무한히 많다. 굳이 직선경로를 따라가며 가까워질 필요가 없기 때문이다. 따라서 점 [math( ( x,\, y ))]가 이 무한한 수의 경로를 따라 [math( ( a,\, b ))]에 가까워지면 그러한 경로에 따른 함숫값 [math( f ( x,\, y ))]가 모두 [math( L )]에 가까워져야 한다. 위에 나와있는 직관력만 무한히 좋은 극한의 정의는 수학에서는 좋아하지 않으니 코시의 엡실론 델타로 다시 정의해야 한다. 하지만 코시의 엡실론 - 델타 논법은 일변수 함수에서의 극한이므로 그대로 적용하여 정의하기는 힘들다. 코시의 엡실론 델타를 변형시켜서 적용하면 다음과 같다. ||<table width=100%>이변수 함수 [math( f )]는 중심이 [math( (a,\, b ))]인 원의 내부에서 정의된다고 하자. 이때 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \lim_{( x,\, y )\rightarrow ( a,\, b )}{ f ( x,\, y )} = L)]}}} 이란 임의의 [math( \varepsilon > 0 )]에 대하여 적당한 [math( \delta > 0 )]가 존재하여 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( 0 < \sqrt{( x - a )^2 + ( y - b )^2 } < \delta \Rightarrow | f ( x,\, y)- L | < \varepsilon )]}}} 이 성립한다는 의미이다. 이때 [math( L )]을 [math( ( x,\, y)= ( a,\, b ))]에서의 극한값이라 부른다. || === 복소함수의 극한 === 복소수 자체가 이미 실수부와 허수부의 두 성분이 있기 때문에 본질적으로 이변수함수의 극한과 동일하다. 어떤 복소수 [math(z_0)]로 향하는 경로는 무한히 많기 때문에 이로 인해 복소함수는 실함수와는 다른 독특한 성질을 가진다. 복소함수의 극한은 아래와 같이 정의된다. ||<table width=100%>모든 [math(\varepsilon > 0)]에 대하여, 적당한 [math(\delta > 0)]가 존재하여, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(0 < \vert z - z_0 \vert < \delta \Rightarrow \vert f ( z ) - L \vert < \varepsilon)]}}} 이면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \lim_{z \rightarrow z_{0}}{f ( z )} = L)]}}} 로 정의한다. || === 거리 공간에서의 정의 === 두 거리 공간 [math(\left(X, \, d_X\right), \left(Y,\, d_Y\right))]이 있을 때, 함수 [math(f:X\to Y)]의 극한은 다음과 같이 정의한다.([math(a\in X, \,L\in Y)]) ||<table width=100%>임의의 [math( \varepsilon > 0 )]에 대해 [math( \delta > 0 )]가 존재하여 [math(d_X\left(x, a\right)<\delta)]인 모든 [math(x\in X)]에 대해 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(d_Y\left(f\left(x\right), L\right)<\varepsilon)]}}} 일 때 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \lim_{x\to a}{f \left( x \right) } = L)]}}} 로 정의한다. || 즉, 일변수함수, 다변수함수 그리고 복소함수에서의 극한의 정의는 유클리드 거리 공간에서의 극한의 정의의 특수한 경우다. == 문제 풀이 팁 == 수렴하는 극한을 보이는 경우에 적절하게 델타를 잡아서 부등식 [math(|f(x)-L|<\epsilon)]을 만족시키는지 보여야 하므로, 부등식에 대한 이해가 필요하다. 다음과 같은 방법들을 사용하자. * [[삼각부등식]] [math(|a+b|\leq |a|+|b|)]을 적절히 활용한다. * 분모와 분자가 모두 양수일 때 분모가 작을수록 분수의 값이 커진다. * 산술-기하평균 부등식: [math(x^{2}+y^{2}\geq 2|xy|)][* 이변수함수의 엡실론-델타 논법 같은 경우 자주 나오는 패턴.] * [math(\delta=\text{min}\{\delta_{1},\,\delta_{2},\,\cdots\})] 꼴로 잡으면, [math(0<|x-a|<\delta_{1})]일 때에 성립하는 부등식도 사용할 수 있고, [math(0<|x-a|<\delta_{2})]일 때에 성립하는 부등식도 사용할 수 있고, [math(\cdots)].[* 작은 구간의 원소는 당연히 그 구간을 포함하는 더 큰 구간의 원소도 되기 때문.] * [math(\delta\leq 1)]이면 임의의 자연수 [math(n)]에 대하여 [math(\delta^{n}\leq\delta)]. 이 부등식이 필요한 경우 [math(\delta=\text{min}\{1,\,a\})]꼴로 잡으면 된다.[* 1 대신 1보다 작은 양수도 가능] * 함수가 유리식일 경우와 같이 실수 전체 중에서 정의되지 않는 부분이 생기는 경우 [math(\delta)]를 좁히고 가면 편하다. 예를 들어서 [math(f(x)=x^{-1})] 에서 [math(x\to 1)]로의 극한을 생각할 때, [math(\delta\geq 1)] 이면 [math(f(x))]가 한없이 커질 수 있으므로, [math(\epsilon)]이 아무리 크더라도 엡실론-델타 논법을 만족시키는 것은 불가능하다. 이런 경우 [math(\delta=\text{min}\{2^{-1},\,a\})]꼴로 잡으면 된다. * [math(|f(x)-L|)]에서 점점 커지는 방향으로 부등식을 만들어야지, 작아지는 쪽의 부등식은 생각하면 안 된다. [math(|f(x)-L|)]보다 작은 값보다 [math(\epsilon)]이 커봤자 의미가 없기 때문. * [math(|f(x)-L|)]에서 출발한 부등식의 변이 [math(x)]만에 대한 함수일 때 그 극한이 [math(0)]이 아니면 부등식 자체는 옳은 부등식일지 몰라도 엡실론-델타 논법에 대한 풀이로서는 방향을 잘못 잡은 것이다. 왜냐하면, 적절하게 구한 [math(\delta)]에 대해서, [math(0<|x-a|<\delta)] 일 때, [math(|f(x)-L|\leq g(x)<\epsilon)]이 성립한다면, [math(g(x))]의 [math(x\to a)]에 대한 극한이 [math(0)]일 때의 엡실론-델타 논법도 만족시키기 때문이다. * [math(\delta)]는 작게 잡을수록 [math(|f(x)-L|<\epsilon)]를 만족시켜야 하는 [math(x)]의 범위가 줄어들어서 편하지만, 그렇다고 분수꼴로 너무 작게 잡으면 계산이 지저분해지므로, 계산이 편한 한도 내에서 작게 잡으면 된다. 그리고 한 가지 주의할 점은, 문제를 푸는 방향[* [math(\delta)]를 구하는 것]과 실제로 풀이를 적는 방향이 거꾸로란 것. 즉, [math(\delta)]를 구하는 것은 부등식을 다 구하고 난 다음 최종적으로 구할 수 있지만, 실제로 풀이를 적을 때는 [math(\delta)]를 먼저 적어놓고 부등식을 써야 한다.[* 채점자는 [math(\delta)]를 어떻게 구했는지는 관심이 없다. 구한 [math(\delta)]가 엡실론-델타 논법을 만족시키는지만이 관심 사항이다.] == 기타 == * 엄밀하게 정의, 증명하는 방식을 채택하는 대한민국 교육 과정에서도 [[미적분]] 부분에 있어서는 증명하지 않고 넘어가는 게 많은데, [[해석학(수학)|해석학]]의 엡실론-델타 논법 때문이다. 하지만 바꿔 말하면 이거 가지고 해석학 이거저거 다 증명한다는 소리이므로 이걸 이해하는 것이 해석학에 있어서는 '''필수'''이다. 수학과나 어지간한 이공계 학생들이라면 학부 들어가자마자 기초 미적분학의 첫 단원에서 이 논법을 만나기 때문에 충분히 공부했다면 다 이해하고 있으며, 이 정의가 굉장히 도움이 된다는 것을 느낄 수 있을 것이다. * 이 정의가 충격으로 다가오는 이유는, 처음 보는 사람들이 언뜻 보기에 난해하기 때문이다. 정의 자체가 이해하기 어렵고, 또 왜 쓰이는지에 대한 이해도 어렵다는 것이 진입장벽이다. 그렇다고 [[초실수체|무한소를 이용한 정의]]를 쓰자니 더 어렵다는 것이 문제지만. * [[세상에서 가장 재미있는 세계사]]로 유명한 수학 석사 '래리 고닉'의 또 다른 저서 '세상에서 가장 재미있는 미적분(''The Cartoon Guide to Calculus'')'에서는 적절한 구간 내에서 어떤 [math(\varepsilon)]값이라도 그에 해당하는 [math(\delta)]값을 보여줄 수 있다는 식으로 설명해 놓았다. * 이산함수 버전으로 [[수열의 극한|엡실론-N 논법]]이 있다. [각주][include(틀:문서 가져옴, title=극한, version=513)] [[분류:해석학(수학)]][[분류:미적분]][[분류:수학 용어]]